Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Доказательство разобьём на два шага.Шаг 1. Вначале докажем утверждение в случае, когда оператор нильпотентный: = 0.97Выделим один блок. Допустим, что степень нильпотентности оператора равна , т.е. = 0, −1 ≠ 0Рассмотрим произвольный вектор 1 ∈ такой, что −1 1 ≠ 0. Пусть = −1 1 . Тогда подпространство ∐︀1 , . . . , ̃︀ изотропно. Также несложнопроверить, что вектора линейно независимы.Так как форма невырождена на , существует вектор ∈ такой,что( , ) = Существование такого вектора также легко следует из следующихдвух простых утверждений из линейной алгебры.Утверждение 32. Любое изотропное подпространство симплектическогопространства содержится в некотором лагранжевом подпространстве.Утверждение 33.
Любой базис 1 , . . . , лагранжева подпространства ⊂ (, ) можно расширить до симплектического базиса , пространства (, ):( , ) = Положим = − . Тогда вектора , образуют базис жордановаблока. Легко видеть, что( , ) = 0,( , ) = 0(3.2.1)(это утверждение 31). Также несложно проверить, что( , ) = Действительно, ( , ) = ( , − ) = ( − , ) = (+− , ) =+−= .Отсюда следует, что вектора , линейно независимы.
В базисе1 , . . . , ,1 , . . . , матрицы ограничения оператора и формы на подпространство = ∐︀1 , . . . , , 1 , . . . , ̃︀ равны98⎛0⎜1 0⎜⎜⎜⋱ ⋱⎜⎜⎜1 0⎜ =⎜⎜0 1⎜⎜⎜0 ⋱⎜⎜⎜⋱ 1⎜⎝0⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=⎛ 0 ⎞⎝− 0 ⎠Таким образом, нам удалось выделить один жорданов блок. Используяутверждение 30, можно перейти от пространства к подпространству ⊥— ортогональному дополнению к относительно формы . Выделяя в пространстве ⊥ аналогичным образом жордановы блоки, мы получим требуемый вид матриц оператора и формы в нильпотентном случае.Шаг 2. Общий случай. Пространство распадается в прямую суммукорневых подпространств оператора = ⊕∈KНапомним, что корневое подпространство с собственным значением состоит из всех векторов ∈ таких, что ( − ) = 0 для некоторого ∈ N.Утверждение 34.
Пусть — самосопряжённый оператор в симплектическом пространстве (, ). Тогда корневые подпространства, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны относительноформы : ⊥ , ≠ .Доказательство. Если ≠ , то ограничение оператора ( − ) на является невырожденным оператором. Поэтому для любого вектора ∈ корректно определён вектор = ( − )−1 ∈ , задаваемый равенством( − ) = .99Для любых ∈ , ∈ имеем( , ) = ( , ( − )( − )−1 ) = (( − ) , ( − )−1 ) == ⋅ ⋅ ⋅ = (( − ) , ( − )− ) = 0.Утверждение доказано.Остаётся применить Шаг 1 к ограничению оператора − на соответствующее корневое подпространство для каждого собственного значения.Теорема 30 доказана.Замечание 11.
Отметим, что доказательство теоремы 30 также являетсядоказательством теоремы Жордана-Кронекера в случае, если char K = 2 иформа невырождена. Действительно, несложно проверить, что условиеchar K ≠ 2 использовалось только при доказательстве равенства (3.2.1). Эторавенство останется верным согласно замечанию 10.3.2.2Доказательство теоремы Жордана-Кронекера.Общий случайБез ограничения общности можно считать, что форма вырождена:Ker ≠ 0. (Если форма невырождена, то всё доказано, см. теорему 30и замечание 11.)Выделим один блок. Точнее, выделим либо кронекеров блок, либо жорданов блок с собственным значением ∞.
Прежде всего заметим, что если1 , . . . , , 0 , . . . , −1 — базис жорданова блока с собственным значением ∞,то в базисе 0 , 1 , 1 , . . . , −1 , матрицы форм имеют вид⎛0 −1⎞⎜1 0⎟⎜⎟⎟⎜⎜⎟0−1⎜⎟⎜⎟⎟ = ⎜10⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋱⎜⎟⎜⎟⎜⎟0−1⎟⎜⎝1 0⎠100⎛0⎞⎜ 0 1⎟⎜⎟⎟⎜⎜ −1 0⎟⎜⎟⎜⎟⎟ = ⎜⋱⎜⎟⎜⎟⎜⎟01⎜⎟⎟⎜⎜⎟−10⎜⎟⎝0⎠Если же 1 , . .
. , , 0 , 1 , . . . , — базис кронекерова блока, то в базисе0 , 1 , 1 , 2 , 2 , . . . , , матрицы форм имеют вид⎛0 −1⎞⎜⎟⎜1 0⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋱⎜⎟ = ⎜⎟⎜⎟0−1⎜⎟⎜⎟1 0 ⎟⎜⎜⎟0⎠⎝⎛0⎞⎜⎟⎜ 0 1⎟⎜⎟⎜⎟⎜ −1 0⎟⎜⎟ = ⎜⎟⎜⎟⋱⎜⎟⎜⎟0 1⎟⎜⎜⎟−1 0⎠⎝(3.2.2)Поэтому, чтобы выделить кронекеров блок или жорданов блок с собственным значением ∞, нужно сделать следующее:1. Разложить пространство в прямую сумму подпространств ортогональных относительно обеих форм и : = ⊕ , ⊥, 2. Найти базис , пространства такой, что( , ) = +1,( , ) = ,а все остальные пары базисных векторов ортогональны относительно и .Здесь = 1, . .
. , , = 0, . . . , − 1 для жорданова 2 × 2 блока, и = 1, . . . , , = 0, . . . , для кронекерова (2 + 1) × (2 + 1) блока.Выделим искомый блок за несколько шагов. На нечётных шагах мы будемискать вектора , а на чётных — вектора . Блок будет выделен, как тольконам не удастся найти очередной вектор.Шаг 1. Возьмём произвольный вектор 0 ∈ Ker и любое дополнительное подпространство 1 ⊂ :∐︀0 ̃︀ ⊕ 1 = Шаг 2.
Если существует такой вектор 1 ∈ 1 , что(1 , 0 ) = 1,101то положим 2 = ∐︀1 , 0 ̃︀ и 2 = 2⊥ . Если же такого вектора 1 нет, тоалгоритм завершил свою работу. При этом нам удалось выделить один кронекеров 1 × 1 блок, так как 0 ∈ Ker ∩ Ker .Таким образом (если алгоритм не завершил свою работу на первом шаге),после двух шагов матрицы форм имеют вид⎛ 0 -1=⎜⎜ 1 0⎝002⎞⎟⎟⎠⎛ 0=⎜⎜⎝ 0⎞⎟⎟⎠01Шаг 2 + 1. После 2 шагов уже построены подпространства 2 , 2 ибазис 0 , 1 , 1 , .
. . , −1 , пространства 2 такие, что1. Все вектора , ортогональны пространству 2 относительно формы:2 ⊥ 22. Все вектора, возможно, кроме вектора ортогональны подпространству 2 относительно формы :2−1 ⊥ 2 ,где 2−1 = ∐︀0 , 1 , 1 , . . . , −1 ̃︀.3. При этом ограничения форм и на подпространство 2 определяются следующими равенствами:( , ) = +1,( , ) = 0,( , ) = ,( , ) = 0( , ) = 0,( , ) = 0Проще говоря, матрицы форм имеют вид⎛ 0⎜ 1⎜⎜⎜⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝-1001-100⋱010-102⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛ 0⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0-110⋱00-10102−1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(︃2−1 = 2 ⊕ ∐︀ ̃︀ ещё один блок матрицы .Выделим в пространстве 102Если существует такой вектор ∈ 2 , что( , ) = 1,⊥(︃2−1 . Если же такого векторато положим 2+1 = 2 ⊕∐︀ ̃︀ и 2+1 = 2+1∩ ∈ 2 нет, то алгоритм завершил свою работу.Шаг 2 + 2.
После предыдущих шагов уже построены подпространства2+1 , 2+1 и базис 0 , 1 , 1 , . . . , , пространства 2+1 такие, что1. Все вектора , ортогональны подпространству 2+1 относительноформы :2+1 ⊥ 2+12. Все вектора, возможно, за исключением ортогональны подпространству 2+1 относительно формы :2 ⊥ 2+1 ,где 2 = ∐︀0 , 1 , 1 , . . . , ̃︀3. При этом ограничения форм и на подпространство 2+1 определяются следующими равенствами:( , ) = +1,( , ) = ,( , ) = 0,( , ) = 0( , ) = 0,( , ) = 0На этот раз матрицы форм имеют вид⎛ 0⎜ 1⎜⎜⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝-10⋱0010-102⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛ 0⎜⎜⎜⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0-1100⋱0-10102+1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(︃2 = 2+1 ⊕ ∐︀ ̃︀ ещё один блок матрицы .Выделим в пространстве Если существует такой вектор +1 ∈ 2+1 , что(+1 , ) = 1,103⊥(︃2 .
Если же такого векто положим 2+2 = 2+1 ⊕ ∐︀+1 ̃︀ и 2+2 = 2+2∩тора +1 ∈ 2+1 не существует, то процедура выделения блока завершена.Ясно, что описанный процесс завершится, так как подпространства образуют семейство вложенных подпространств1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ . . .размерность которых монотонно возрастает: dim = .Если процесс остановится на нечётном шаге (не удалось найти вектор+1 ), то будет выделен кронекеров блок (2+1 будет (2 + 1) × (2 + 1) кронекеровым блоком). Если же процесс остановится на чётном шаге (не нашливектор ), то 2 будет 2 × 2 жордановым блок с собственным значением∞.Теорема Жордана–Кронекера полностью доказана.Замечание 12. На самом деле можно было обойтись и без теоремы 30.
Еслиполе K алгебраически замкнуто, то всегда существует вырожденная линейная комбинация форм + для некоторого ∈ K ∪ {∞}. Если поле K неявляется алгебраически замкнутым, то теорема 30 останется верной тогдаи только тогда, когда все собственные значения оператора принадлежатполю K, или, что эквивалентно, если характеристический многочлен оператора разлагается на линейные множители над полем K (так же, как и втеореме о жордановой нормальной форме). Кронекеровы блоки и жордановы блоки с собственным значением ∞ можно выделить над любым полем(мы не пользовались алгебраической замкнутостью поля в этой части доказательства).3.2.3Вещественная теорема Жордана–КронекераПриведём два доказательства вещественного аналога теоремы Жордана–Кронекера.Для простоты будем предполагать, что мы уже выделили все кронекеровы блоки и жордановы блоки с собственным значением ∈ R∪{∞} (это можно сделать, см.
замечание 12), а затем разложили пространство в прямую104сумму корневых подпространств оператора = −1 . (Здесь под корневымподпространством, отвечающим паре комплексно-сопряжённых собственныхзначений ± , мы имеем в виду ядро Ker ( 2 − 2 + (2 + 2 )) , где — достаточно большое натуральное число). Аналогично доказательствуутверждения 34 можно показать, что корневые подпространства, отвечающие различным парам комплексно-сопряжённых собственных значений, попарно ортогональны относительно обеих форм и .Первое доказательство. Достаточно комплексифицировать пространство иприменить комплексную теорему Жордана–Кронекера. Несложно проверить, что если 1 + ⧹︂1 , . . .
, + ⧹︂ , 1 + ⧹︂1 , . . . , + ⧹︂ — базис комплексногожорданова блока с собственным значением = + , то⌋︂⌋︂⌋︂⌋︂⌋︂⌋︂⌋︂⌋︂21 ,2⧹︂1 , . . . , 2 ,2⧹︂ ,21 , − 2⧹︂1 , . . . ,2 , − 2⧹︂— базис вещественного жорданова блока с комплексным собственным значением +. Чтобы доказать это, следует учесть, что вектора +⧹︂ и +⧹︂ортогональны сопряжённым векторам − ⧹︂ и − (︃ , так как они принадлежат различным корневым подпространствам оператора = −1 .Второе доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
