Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса и интегрируемые гамильтоновы системы (1102455), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рассмотрим бесконечное продолжение E ⊂ J ∞ (π) общего дифференциального уравнения как подмногообразие в многообразии J ∞ (π). В локальных координатах уравнение Eзадается системой уравнений F j (x1 , . . . , xn , u1 . . . , um , . . . , ujσ , . . . ) = 0,j = 1, . . . , r. Пусть F 1 , . . . , F r ∈ P , где P — модуль сечений некоторого векторного расслоения над J ∞ (π). Рассмотрим оператор линеаризации `E : κ → P и его сопряженный `∗E : P̂ → κ̂. Подобно эволюционномуслучаю, мы можем построить `- и `∗ -накрытия, расширяя E с помощьюуравнений `E (q) = 0 и `∗E (p) = 0, соответственно.Мы ищем такие C -дифференциальные операторы R и A, что(ii) Ā ◦ `∗E = `E ◦ A.(i) R̄ ◦ `E = `E ◦ R,(9)Поставим в соответствие оператору R из левого равенства в (9) qлинейную функцию NR = (NR1 , .
. . , NRm ) на L E , а оператору A изправого — p-линейную функцию HA = (HA1 , . . . , HAm ) на L ∗ E . Удовлетворение уравнениям (9) операторами R и A обеспечивается выполнением условий `˜E (NR ) = 0 и `˜E (HA ) = 0.Аналогом кососопряженности оператора A является условие(`E ◦ A)∗ = `E ◦ A.Если E — эволюционное уравнение, то это означает, что A∗ = −A.20(10)Определение 3.4. Пусть E ⊂ J ∞ (π) — дифференциальное уравнение.1. C -дифференциальный оператор A : P̂ → κ называется гамильтоновой структурой на E , если он удовлетворяет левому уравнению (9),выполнены условия (10) и {HA , HA } = 0.
Две гамильтоновых структуры A и B являются совместными, если {HA , HB } = 0.2. C -дифференциальный оператор R : κ → κ называется Нийенхейсовым оператором для уравнения E , если он удовлетворяет правомууравнению (9) и {NR , NR } = 0.3. Пара C -дифференциальных операторов (A, R) называется структурой Пуассона–Нийенхейса на E , если R является Нийенхейсовымоператором, A является такой гамильтоновой структурой, что A∗ ◦R∗ =R̄ ◦ A∗ и {NR , HA } = 0.Теорема 3.16. Если (A, R) — структура Пуассона–Нийенхейса на E ,то Ri A, i = 0, 1, 2, . .
. , является семейством попарно совместных гамильтоновых структур на E .Раздел 3.4 посвящен обобщению полученных результатов применительно к нелокальным структурам Пуассона–Нийенхейса. Пусть E —gуравнение и τ : LE → L E — накрытие над L E . Решения уравнения`˜E (N ) = 0, линейные по нечетным переменным, дают нелокальныеоператоры рекурсии RN . Эти решения являются тенями симметрий вgнакрытии LE → L E → E , представляющем собой композицию `накрытия и накрытия τ .
Используя конструкцию скобки Якоби для теней симметрий и принимая во внимание изложенные выше результаты,мы определяем нелокальные операторы Нийенхейса RN как операторы,удовлетворяющие уравнению {N , N } = 0.∗ E → L ∗ E и, решая урав]Аналогично, рассмотрим накрытие τ ∗ : Lнение `˜E (H ) = 0, будем искать нелокальные гамильтоновы операто∗E → L ∗E → E .]ры AH , соответствующие теням H в накрытии LУсловие гамильтоновости — это {H , H } = 0.
Условие совместностидля RN и AH выражается с помощью {H , N } = 0, где скобка Якобитеней H и N рассматривается в сумме Уитни накрытий τ и τ ∗ .21В подразделе 3.4.3 в качестве примера применения построенных теоретических конструкций рассматривается бездисперсионное уравнениетипа Буссинеска.В главе 4 проводится исследование уравнения Камассы–Холма (КХ)с применением теоретических методов и конструкций, изложенныхпредыдущих главах настоящей работы, а также методов символьныхвычислений, реализованных в программе REDUCE 3.7 с использованием некоторых специальных пакетов.В разделе 4.1 изложена схема вычислений, подробности которой можно найти, например, в 9 .В части I главы 4 (разделы 4.2–4.6) мы рассматриваем уравнение КХ,сведенное к системе (3).
Для удобства вычислений в уравнение вводитсяградуированная постоянная α, в результате чего оно принимает видwt = −2ux w − uwx ,uxx = αu − w,(11)и становится однородным относительно градуировок |x| = −1, |t| =−2, |u| = 1, |α| = 2, |w| = 3.В разделе 4.2 найдены законы сохранения, симметрии, косимметрии(производящие функции законов сохранения) уравнения (11). Их можно разбить на две серии.
Это так называемые положительная серия,куда входят симметрии (косимметрии), зависящие от u, w и их производных (локальная серия), а также от нелокальных переменных и t(нелокальная серия), и отрицательная серия, куда входят симметрии(косимметрии), зависящие только от w и производных (локальная серия), а также от нелокальных переменных (нелокальная серия).В разделе 4.3 найдены операторы рекурсии для симметрий. Первыедва нетривиальных оператора рекурсии имеют вид!h12 w−1/2 Dx−1 ◦ w−1/2 /2 − 4w2 Dx2 + 10ww1 Dx + h8 01R−1 =,8w3−4w2 w1 w−1/2 Dx−1 ◦ w−1/2 /2 + 4w20где h12 = −4w2 w1 α+4w2 w3 −18ww1 w2 +15w13 , h8 = 4w2 α+8ww2 −15w12 ,и!w1 Dx−1w1 Dx + 2wαR3 =.u1 Dx−1 + u −Dxt + w22В разделе 4.4 построены необходимые накрытия и найдены гамильтоновы структуры, являющиеся тенями симметрий в `∗ -накрытии, и операторы рекурсии для косимметрий, являющиеся тенями косимметрий в`∗ -накрытии.
Первые два гамильтоновых оператора являются локальными и образуют бигамильтонову пару, они имеют вид!!−Dx3 + αDx 02wDx + w1 0H−3 =,H−2 =.Dx00−1В разделе 4.5 описано действие операторов рекурсии и гамильтоновых операторов. Там же дается распределение симметрий и косимметрий по градуировкам и приводятся некоторые алгебраические соотношения: коммутаторы симметрий и теней симметрий, действия операторов рекурсии и гамильтоновых операторов на симметриях и косимметриях, соответственно, некоторые композиции операторов. В этом жеразделе дается упрощенная схема построения симметрий и косимметрийи доказывается локальность отрицательной серии симметрий. Доказывается существование структуры Пуассона–Нийенхейса на уравненииКХ в матричной форме.
А именно, доказывается бигамильтоновостьоператоров H−3 и H−2 , нийенхейсовость оператора R3 , проверяется выполнение условия совместности операторов R3 и H−2 , откуда следует,что операторы R3 и H−3 образуют структуру Пуассона–Нийенхейса.В части II главы 4 (разделы 4.7–4.9) рассматривается уравнение КХв скалярной форме (2). Для него также получены положительная иотрицательная серии симметрий и косимметрий, законы сохранения, атакже гамильтоновы структуры, симплектические структуры, операторы рекурсии для симметрий и косимметрий. В разделе 4.10 приводитсясводная таблица соответствия результатов частей I и II.В заключении сформулированы основные результаты работы.В приложении 1 даны основные обозначения, используемые в тексте работы.
В приложении 2 приведены некоторые «громоздкие» формулы, полученные при исследовании уравнения Камассы–Холма.23Публикации по теме диссертации1. Головко В. А., Красильщик И. С., Вербовецкий А. М. Вариационные структуры Пуассона–Нийенхейса на дифференциальных уравнениях в частных производных // ТМФ. — 2008. — Т. 154:2. — C.
268–282.2. В. А. Головко Вариационные скобки Схоутена и Нийенхейса //УМН. — 2008. — T. 63:2 (380). — C. 165–166.3. Вербовецкий А.М., Головко В., Красильщик И.С. Скобка Ли длянелокальных теней // Научн. вестник МГТУ ГА, серия «Математика ифизика». — 2007. — T. 91. — C. 13–21.4. Golovko V., Kersten P., Krasil’shchik I., Verbovetsky A. On integrability of the Camassa–Holm equation and its invariants.
A geometricalapproach // Acta Appl. Math. — 2008. — Vol. 101:1–3. — P. 59.5. Golovko V. Variational Poisson–Nijenhuis structures for evolutionPDEs // Proc. Int. Conf. «Symmetries and Perturbation Theory 2007»(Otranto, 2007, June 2-9). — Р. 249–250.6. Головко В. О вариационных структурах Пуассона–Нийенхейса //Тезисы Международного Семинара «Геометрия в Одессе-2005. Дифференциальная геометрия и ее приложения» (Одесса, 23-29 мая 2005 г.). —2005. — C. 27–29.7. Golovko V. The Jacobi bracket for shadows of symmetries and nonlocalHamiltonian operators // Abstr. of Int. Conf. «Geometry in Odessa-2006»(Odessa, 2006, May 22-27). — 2006. — P.
54.8. Головко В. Вариационные структуры Пуассона–Нийенхейса длянелокальных операторов // Тезисы Международной Конференции«Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 21-26 мая 2007г.). — 2007. — C. 104–105.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
