Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса и интегрируемые гамильтоновы системы (1102455), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Построена скобка Ли для теней симметрий — нелокальных аналогов симметрий, являющаяся аналогом скобки Якоби для (высших)симметрий.102. Получено обобщение структур Пуассона–Нийенхейса на пространствах бесконечных джетов.3. Получено обобщение структур Пуассона–Нийенхейса для эволюционных УрЧП в терминах скобки Ли соответствующих теней симметрий.4. Получено обобщение структур Пуассона–Нийенхейса на случайпроизвольных уравнений в частных производных, а также на случайнелокальных операторов.
В частности, построена скобка Схоутена дляоператоров на произвольных уравнениях в частных производных.5. Доказано существование структур Пуассона–Нийенхейса для бездисперсионного уравнения типа Буссинеска.6. Исследовано уравнение Камассы–Холма:— Получены локальные и нелокальные серии симметрий и косимметрий уравнения КХ и соответствующие им законы сохранения. Доказаналокальность так называемой положительной серии симметрий.— Найдены операторы рекурсии и гамильтоновы структуры, первыедве из которых являются локальными.— Доказано существование структур Пуассона–Нийенхейса на уравнении КХ (соответствующие операторы также найдены), что в своюочередь влечет существование бесконечной серии попарно совместныхгамильтоновых структур.— Найдены симплектические структуры и операторы рекурсии длякосимметрий.Теоретическая и практическая значимость работыРезультаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер.
Они могут быть использованы для исследования интегрируемости нелинейных УрЧП. В диссертационной работе приведены примеры применения полученных результатов к уравнениям математической физики: бездисперсионному уравнению типа Буссинеска иуравнению Камассы–Холма. Результаты работы позволяют по-новомувзглянуть на проблему гамильтоновости неэволюционных уравнений.Работа выполнена при частичной поддержке грантов NWO–РФФИ11047.017.015 и РФФИ–Консорциум E.I.N.S.T.E.I.N 06-01-92060, РФФИ–CNRS 08-07-92496-НЦНИЛ а.Апробация работыОсновные результаты диссертации были представлены на следующихконференциях и семинарах:— на Международном семинаре «Геометрия в Одессе-2005.
Дифференциальная геометрия и ее приложения» (Одесса, Украина, май2005 г.);— на Международной школе «Formal theory of PDEs and their applications» (Университет Йонсу, Финляндия, апрель 2006 г.);— на Международной конференции «Геометрия в Одессе-2006»(Одесса, Украина, май 2006 г.);— на Международной конференции «Дифференциальные уравненияи смежные вопросы», посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва,Россия, май 2007 г.);— на Международной конференции «Symmetries and PerturbationTheory 2007» (Отранто, Италия, июнь 2007 г.);— на Международной конференции «The 2007 Twente Conference onLie Groups» (Энсхеде, Нидерланды, декабрь 2007 г.);— на семинаре «Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений» под руководством профессора И.С.
Красильщика(Москва, Независимый Московский Университет, 2006, 2007 гг.).ПубликацииВсе результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах автора, список которых приводится в конце автореферата.Личный вклад автораВсе результаты диссертации получены автором самостоятельно.12Структура и объем диссертацииДиссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы. Диссертациясодержит 10 таблиц, 16 диаграмм. Библиографический список включает130 наименований. Полный объем диссертации составляет 190 страницмашинописного текста.Краткое содержание диссертацииВо введении дается общая характеристика работы, формулируются основные результаты и приводится краткий исторический обзор поисследованиям структур Пуассона–Нийенхейса и уравнения КХ в контексте вполне интегрируемых систем.В главе 1 кратко изложены все необходимые сведения из геометриирасслоения джетов и геометрии дифференциальных уравнений.Пусть π : E → M — m-мерное гладкое векторное локально тривиальное расслоение над гладким многообразием M размерности n,J ∞ (π) — многообразие бесконечных джетов сечений расслоения π, аπ∞ : J ∞ (π) → M — расслоение бесконечных джетов.Пусть x1 , .
. . , xn — локальные координаты в некоторой окрестности U на M , а u1 , . . . , um — в слое проекции π|U . Адаптирован−1ные координаты ujσ в π∞(U ) ⊂ J ∞ (π) определяются соотношениямиj∞ (s)∗ (ujσ ) = ∂ |σ| sj /∂xσ , где s = (s1 , . . . , sm ) — локальное сечение расслоения π, σ = i1 i2 . . . i|σ| , iα = 1, . . .
, n, — симметричный мультииндекс.Распределение Картана C на J ∞ (π) порождено полными производныPми Di = ∂/∂xi + j,σ ujσi ∂/∂ujσ , i = 1, . . . , n. Ему соответствует связность Картана, сопоставляющая полю X на M поле C X на J ∞ (π).Вертикальное относительно проекции π∞ векторное поле X называется эволюционным, если оно сохраняет распределение Картана. Алгеб-ра Ли эволюционных векторных полей обозначается через κ(π). Существует взаимно-однозначное соответствие между κ(π) и множеством се∗чений расслоения π∞(π). В координатах эволюционное векторное поле,13∗соответствующее производящему сечению ϕ = (ϕ1 , . . .
, ϕm ) ∈ Γ(π∞(π)),Pимеет вид ϕ = j,σ Dσ (ϕj )∂/∂ujσ . Структуру алгебры Ли на κ(π) задает скобка Якоби, определяемая как {ϕ, ψ} = ϕ (ψ) − ψ (ϕ) ∈ κ.Оператор линеаризации элемента F = (F 1 , . . . , F l ) определяетсяформулой `F (ϕ) = ϕ (F ) и является l ×m-матричным оператором видаP`F = σ ∂F α /∂ujσ Dσ , α = 1, . . .
, l.Дифференциальное уравнение E = {F α (x1 , . . . , xn , u1 , . . . , um , ujσ ) =0, α = 1, . . . , l, |σ| 6 k}, порядка k можно рассматривать как подмногообразие в многообразии J k (π). Его бесконечное продолжение E ∞ ⊂J ∞ (π) в локальных координатах задается с помощью соотношенийDσ (F α ) = 0,α = 1, . . . , l,|σ| > 0,(4)для некоторых гладких функций F 1 , . . . , F l на J ∞ (π).
Все геометрические конструкции переносятся с J ∞ (π) на бесконечно продолженныеуравнения.Инфинитезимальная симметрия уравнения E — это эволюционноеполе ϕ , которое касается E ∞ . Множество всех симметрий образует алгебру Ли sym E над R, причем существует взаимно-однозначное соот∗(π)) = κ(E ),ветствие между sym E и гладкими сечениями ϕ ∈ Γ(π∞удовлетворяющими уравнению `E (ϕ) = 0.Глава 2 посвящена построению скобки Ли для теней симметрий(нелокальных аналогов симметрий), которая является аналогом скобки Якоби для высших симметрий, иначе говоря, описанию корректногоспособа коммутирования теней симметрий.В разделе 2.1 приводятся основные понятия теории накрытий.
Расслоение τ : E˜ → E называется накрытием над уравнением E , еслимногообразие E˜ снабжено таким интегрируемым n-мерным распределением C˜, что dτ (C˜) ⊂ C , а для любой точки θ̃ ∈ E˜ ограничениеявляется изоморфизмом. Накрывающее уравнение E˜dτ | ˜ : C˜ → CCθ̃θ̃τ (θ̃)описывается соотношениями (4) и дополнительными условиями вида∂v α /∂xi = Aαi , i = 1, . . . , n, α = 1, . . . , r.
Всякому C -дифферен˜ на E˜.циальному оператору ∆ на E можно сопоставить оператор ∆14Дифференцирование X : F (E ) → F (E˜) называется τ -тенью, еслиC˜Y ◦ X = X ◦ C Y для любого векторного поля Y на M . Здесь черезF (E ) обозначена алгебра гладких функций на E , а через C Y и C˜Y —поднятия векторного поля Y с M на E и E˜. Существует взаимнооднозначное соответствие между τ -тенями и решениями уравнения `˜E (ϕ) =0, где ϕ ∈ Γ((π∞ ◦ τ )∗ (π)) = κ̃(E ).
Тенью, соответствующей решению˜ ϕ = P D̃σ (ϕj )∂/∂ujσ (сумэтого уравнения, будет дифференцирование мирование проводится по множеству всех внутренних координат).В разделе 2.2 построена скобка Ли теней симметрий и исследованы еесвойства. Наш подход к коммутированию теней симметрий проистекаетиз результата, впервые опубликованного в 23 (см.
также 10 и 24 ). В этойстатье было доказано, что любая тень может быть поднята в какое-тодругое накрытие. Точнее, если X — тень в накрытии τ : E˜ → E , то су˜ществуют новое накрытие τ̃X : E˜ → E˜ и такая тень X̃ в этом накрытии,что ограничение X̃ на алгебру функций на E совпадает с X.Накрытие τ̃ , ассоциированное с тенью ϕ по конструкции из 23 определено единственным образом с точностью до эквивалентности, но тень X̃не единственна. Мы строим заново чисто геометрическим способомнакрытие τ̃X , используя ту же геометрическую технику, и определяем каноническое поднятие X̃ тени X.
Коммутатор двух теней — это[X, Y ] = X̃ ◦ Y − Ỹ ◦ X. Конструкция такого канонического поднятия базируется на понятии `-накрытия (см., например, 9 ). В локальных˜ ϕ в накрытие τ̃ϕ будеткоординатах каноническим поднятием τ -тени Pαα˜ ϕ,v = ˜ϕ +тень ϕα vϕ ∂/∂v , а накрытие τ̃ϕ задается уравнениями˜ ϕ,v (Aα ), i = 1, . . . , n, α = 1, . . . , r. Построенный таким∂vϕα /∂xi = ϕiобразом коммутатор (скобка Ли) теней симметрий кососимметричен иудовлетворяет тождеству Якоби с точностью до эквивалентности.Глава 3 посвящена изучению вариационных структур Пуассона–Нийенхейса. Мы обобщаем условия, задающие структуру Пуассона–23Хорькова Н.Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
