Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса и интегрируемые гамильтоновы системы (1102455), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Hamiltonian operators and `∗ -coverings // J.Geom. and Phys. — 2004. — Vol. 50. — P. 273–302, URL: arXiv:math.DG/0304245.9Kersten P. H. M., Krasil’shchik I. S., Verbovetsky A. M. A geometric study of the dispersionlessBoussinesq type equation // Acta Appl. Math. — 2006. — Vol. 90, no. 1.
— P. 143–178.10Krasil’shchik I. S., Vinogradov A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations:symmetries, conservation laws, and Baecklund transformations // Acta Appl. Math. — 1989. — Vol. 15,no. 1-2. — P. 161–209.86ляет обобщить понятие структур Пуассона–Нийенхейса как на случайпроизвольных уравнений, так и на случай нелокальных операторов.В общем случае нелокальные аналоги симметрий возникают как естественное обобщение высших симметрий. Так, оператор рекурсии Ленарта для уравнения КдФ, примененный к галилеевой симметрии, напервом шаге дает локальную (масштабную) симметрию, но начиная совторого шага получаются объекты нелокальной природы.
Это означает, что полученные выражения содержат новые нелокальные переменные w, связанные с неизвестной функцией u соотношением wx = u (или,Rкак часто говорят, w = D−1 u, или w = udx), и т.д. Эти нелокальные объекты нередко понимают как «настоящие» симметрии. Однако,трактовка их как симметрий может привести к парадоксам, что частои происходит при работе на чисто координатном языке.Разработанная в диссертации теория применяется к исследованиюуравнения Камассы–Холма (КХ), являющимся нелинейным дисперсионным уравнениемut − utxx + 3uux + 2kux = 2ux uxx + uuxxx .В безразмерных переменных пространства-времени (x, t) — это модельдля однонаправленного распространения волн в мелкой воде над плоским дном; u(x, t) представляет горизонтальную компоненту скоростижидкости, описывает свободную поверхность, а параметр k > 0 связанс критической скоростью.Уравнение КХ впервые появилось в работе 11 как модельное уравнение, допускающее бигамильтонову структуру.
Позднее в 1993 годуКамасса и Холм 12 вывели это уравнение, исходя из физических соображений, и показали, что оно является бигамильтоновым, обладаетпарой Лакса и интегрируемо методом обратной задачи рассеяния.В последнее время уравнение КХ вызывает значительный интерескак пример интегрируемой системы, имеющей более общие по сравне11Fuchssteiner B., Fokas A.S. Symplectic Structures, Their Bäcklund Transformations and HereditarySymmetries // Physica D.
— 1981. — Vol. 4. — P. 47–66.12Camassa R. and Holm D. An integrable shallow whater equation with peacked solitons // Phys.Rev. Lett. — 1993. — Vol. 71. — P. 1661–1664.7нию с КдФ волновые решения. Анализ, проведенный в 13 , см. также 14 идр., показывает существование гладких уединенных волн для всех k > 0и заостренных солитонов, пиконов, для k = 0.Уравнение КХ интересно и с дифференциально-геометрической точки зрения. Так, в 15 показано, что уравнение КХ (наряду с уравнениямиКдФ и Хантера–Сакстона) входит в семейство интегрируемых уравнений, описывающее геодезический поток на группе Вирасоро.
Еще однагеометрическая интерпретация уравнения КХ приведена в 16 , где показано, что оно описывает псевдосферические поверхности, и построенаналог преобразования Миуры и «модифицированное уравнение КХ».В данной работе уравнение КХ рассматривается в случае k = 0, т.е.ut − utxx + 3uux = 2ux uxx + uuxxx .(2)Оно не эволюционное, что усложняет его изучение как бигамильтоновойсистемы, вызывая затруднения в самом определении таких понятий какгамильтоновы операторы, гамильтониан, законы сохранения и т.д.В большинстве работ (см.
12 17 и др.) с этой проблемой пыталисьбороться с помощью введения дополнительной неизвестной переменнойm = u − uxx , называемой также моментом, в результате чего уравнению (2) удавалось придать «эволюционный» видmt = −2mux − mx u,(3)и записать его в бигамильтоновой форме относительно операторов B1 =δH12∂x − ∂x3 и B2 = m∂x − ∂x m, а именно, mt = −B1 δHδm и mt = −B2 δm , гдеRRH1 = 21 (u2 + u2x )dx и H2 = 12 (u3 + uu2x )dx. Это не только не избавляетот технических сложностей в исследовании уравнения, но и приводит13Camassa R., Holm D., Hyman J.
A new integrable shallow water equation // Adv. Appl. Mech. —1994. — Vol. 31. — P. 1–33.14Constantin A. Existence of permanent and breaking waves for a shallow water equation: a geometricapproach // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 2000. — Vol. 50. — P. 321–362.15Khesin B. and Misiolek G. Euler equations on homogeneous spaces and Virasoro orbits // Adv.Math.
— 2003. — Vol. 176. — P. 116–144.16Reyes E. G. Geometric integrability of the Camassa–Holm equation // Lett. Math. Phys. — 2002. —Vol. 59. — P. 117–131.17Casati P., Lorenzoni P., Ortenzi G., Pedroni M. On the local and nonlocal Camassa–Holmhierarchies // J. Math. Phys. — 2005. — Vol. 46. — 042704, 8 pages.8к необходимости обращения оператора вида 1 − ∂x2 , что накладываетопределенные ограничения на пространство функций, на котором рассматривается данное уравнение, и не позволяет до конца понять и корректно определить основные конструкции и понятия бигамильтоноваформализма.Большинство результатов по интегрируемости уравнения КХ былиполучены не напрямую.
При поиске законов сохранения были предложены различные схемы вычислений. Локальная и нелокальная сериисохраняющихся величин для уравнения КХ были получены в 16 с использованием аналога преобразования Миуры, в 17 с помощью решенияуравнения Риккати; в 18 показано, что уравнение КХ обладает бесконечным числом локальных сохраняющихся величин.Высшие пуассоновы структуры для нелокальной иерархии КХ рассматривались в 19 , где был получен их производящий ряд. При этомоказалось, что такие структуры уже не являются слабо-нелокальными,как в случае уравнения КдФ.Многих авторов интересовал вопрос связи уравнения КХ с другими уравнениями математической физики: уравнениями КдФ (см.
20 ),Гарри–Дима (см. 21 ), Дегаспериса–Прочези (см. 22 ).Цель и задачи диссертационного исследованияСказанное выше показывает актуальность поставленной передисследованием задачи: построить обобщение структур Пуассона–Нийенхейса на случай произвольных УрЧП, включая также и случай нелокальных операторов рекурсии и нелокальных гамильтоновых18Fisher M. and Schiff J.
The Camassa–Holm equation: conserved quantities and the initial valueproblem // Phys. Lett. A. — 1999. — Vol. 259. — P. 371–376.19Ortenzi G., Pedroni M., Rubtsov V. On the higher Poisson structures of the Camassa–Holmhierarchy // Acta. Appl. Math. — 2008. — Vol. 101. — P. 243–254.20Fuchssteiner B. Some tricks from the symmetry toolbox for nonlinear equations: Generalizations ofthe Camassa–Holm equation // Physica D. — 1996. — Vol.
95. — P. 229–243.21Lorenzoni P., Pedroni M. On the bi-Hamiltonian structures of the Camassa–Holm and Harry Dymequations // Int. Math. Res. Not. — 2004. — Vol. 75. — P. 4019–4029.22Degasperis A., Holm D.D. and Hone A.N.W. A new equation with peakon solutions // Theor.Math. Phys. — 2002. — Vol. 133. — P. 1461–72.9структур. Практическая ценность полученных теоретических конструкций продемонстрирована на примере нелинейных УРЧП: уравнения КХ и бездисперсионного уравнения типа Буссинеска.Перечислим основные задачи исследования:1. Построить скобку Ли для теней симметрий, т.е. задать корректныйспособ коммутирования теней симметрий.2. Обобщить структуры Пуассона–Нийенхейса, определенные в конечномерном случае для тензоров Пуассона и Нийенхейса, на случайоператоров в полных производных на пространствах бесконечных джетов — гамильтоновых структур и операторов рекурсии.3. Определить структуры Пуассона–Нийенхейса для эволюционныхуравнений в терминах скобки Ли теней симметрий, трактуя операторы рекурсии и гамильтоновы операторы как тени симметрий в `- и `∗ накрытиях.4.
На основе определения структур Пуассона–Нийенхейса в терминахскобки Ли теней симметрий построить их обобщение на случай произвольных УрЧП. В частности, дать определение гамильтоновости.5. Построить обобщение структур Пуассона–Нийенхейса в случаенелокальных операторов.6. Исследовать интегрируемость уравнения КХ и, в частности, (а)найти его симметрии, законы сохранения, гамильтоновы и симплектические структуры, операторы рекурсии и (б) доказать наличие структурПуассона–Нийенхейса.Научная новизна работыВсе результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.Основные результаты, выносимые на защитуНа защиту выносятся следующие результаты.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
