Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса и интегрируемые гамильтоновы системы (1102455), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Законы сохранения и нелокальные симметрии // Мат. заметки. — 1988. — Т. 44,№ 1. — C. 134–144.24Krasil’shchik I. S. The long exact sequence of a covering: three applications // The Diffiety Inst.Preprint Series, DIPS 6/2003.15Нийенхейса в случае тензоров на многообразии (см. 1 2 ), на случай операторов на бесконечно продолженном дифференциальном уравнении.Следует отметить, что подобное обобщение производилось в несколько этапов, что отражено в названии соответствующих разделов, а в егооснове лежит новый взгляд на гамильтоновы структуры и операторырекурсии, а именно, их трактовка (см. 8 9 10 ) как нелокальных аналоговсимметрий — теней симметрий — и идея их коммутирования.В разделе 3.1 мы определяем структуры Пуассона–Нийенхейса в «абсолютном случае», т.е.
для многообразий бесконечных джетов. С этойцелью мы определяем скобки Схоутена и Нийенхейса в соответствиис работами 8 25 и выписываем условие совместности пуассонова бивектора и оператора Нийенхейса в терминах специальной скобки, тесносвязанной с объединенной скобкой Виноградова 6 . Основным результатом этого раздела является теорема 3.2, в которой устанавливается существование бесконечных семейств попарно совместных гамильтоновыхструктур, связанных с исходной структурой Пуассона–Нийенхейса.Пусть P и Q — F (π)-модули сечений некоторых векторных расслоений над J ∞ (π). Тогда все C -дифференциальные операторы, действующие из P в Q, образуют F (π)-модуль C Diff(P, Q). Обоskewзначим через C Diff (k)(P, Q) модуль k-линейных кососимметрических C -дифференциальных операторов P × · · · × P → Q и черезsk-adskew(P, P̂ ) ⊂ C Diff (k)(P, P̂ ), где P̂ = HomF (π) (P, Λ̄n (π)), подC Diff (k)множество операторов, кососопряженных по каждому аргументу.Скобка Схоутена операторов A, B ∈ C Diff sk-ad (κ̂, κ) имеет вид[[A, B]](ψ1 , ψ2 ) = −`A, ψ1 (Bψ2 ) + `A, ψ2 (Bψ1 ) − A(`∗B, ψ1 (ψ2 ))−− `B, ψ1 (Aψ2 ) + `B, ψ2 (Aψ1 ) − B(`∗A, ψ1 (ψ2 )),ψ1 , ψ2 ∈ κ̂.
(5)Оператор A называется гамильтоновым, если [[A, A]] = 0. Два гамильтоновых оператора A и B являются совместными, если [[A, B]] = 0.Скобка Фрёлихера–Нийенхейса операторов R, S ∈ C Diff(κ, κ):25Krasil’shchik I. S. Some new cohomological invariants of nonlinear differential equations //Differential Geometry and Its Appl. — 1992. — Vol. 2, no. 4. — P.
307–350.16[R, S]F N (ϕ1 , ϕ2 ) = {Rϕ1 , Sϕ2 } + {Sϕ1 , Rϕ2 }−− R({Sϕ1 , ϕ2 } + {ϕ1 , Sϕ2 } − S{ϕ1 , ϕ2 })−− S({Rϕ1 , ϕ2 } + {ϕ1 , Rϕ2 } − R{ϕ1 , ϕ2 }),ϕ1 , ϕ2 ∈ κ. (6)Будем называть R оператором Нийенхейса, если [R, R]F N = 0.Определение 3.1.(ср. с 2 ) Гамильтонов оператор A ∈ C Diff sk-ad (κ̂, κ)и оператор Нийенхейса R ∈ C Diff(κ, κ) составляют вариационнуюструктуру Пуассона–Нийенхейса (A, R) на J ∞ (π), если выполненыследующие условия — условия совместности операторов A и R:(i) R ◦ A = A ◦ R∗ ,(7)(ii) C(A, R)(ψ1 , ψ2 ) = LAψ1 (R∗ ψ2 ) − LAψ2 (R∗ ψ1 ) + R∗ LAψ2 (ψ1 )−− R∗ LAψ1 (ψ2 ) + Ehψ1 , ARψ2 i − R∗ Ehψ1 , Aψ2 i = 0,(8)где E — оператор Эйлера, h· , ·i : κ̂ × κ → H̄ n (π) — естественное спаривание, Lϕ : κ̂ → κ̂, Lϕ = ϕ +`∗ϕ — вариационная производная Ли вдольэлемента ϕ ∈ κ и H̄ n (π) — n-я группа горизонтальных когомологий.Теорема 3.2.
Пусть гамильтонов оператор A ∈ C Diff sk-ad (κ̂, κ)и оператор Нийенхейса R ∈ C Diff(κ, κ) определяют структуруПуассона–Нийенхейса на J ∞ (π). Тогда на J ∞ (π) существует иерархияитерированных гамильтоновых операторов, т.е. последовательностьгамильтоновых операторов Ri A, i > 0, которые являются попарносовместными, т.e.
[[Ri A, Rj A]] = 0, при всех i, j > 0.В разделе 3.2 мы строим структуры Пуассона–Нийенхейса на эволюционных уравнениях. Поскольку эволюционное уравнение можно понимать как векторное поле на пространстве бесконечных джетов, естественно определить вариационную структуру Пуассона–Нийенхейса натаком уравнении как соответствующую структуру на J ∞ (π), инвариантную относительно этого потока.
Полученное таким образом описание обобщается затем на произвольное УрЧП.Мы показываем, что инвариантные (относительно потока, определенного уравнением) тензоры Нийенхейса суть операторы рекурсии для17симметрий, а инвариантные пуассоновы бивекторы — это гамильтоновыструктуры. Применяя подход, разработанный в 8 , мы сводим построение операторов рекурсии и гамильтоновых структур к решению уравнения (1) на специальных расширениях уравнения E : `- и `∗ -накрытиях.Условия совместности на структуру Пуассона–Нийенхейса (условияравенства нулю скобок Схоутена и Нийенхейса, а также условие совместности операторов R и H) удается записать в виде равенства нулюнекоторой специальной скобки (в работе для соответствующих скобокполучены явные выражения), построенной в данной работе и названной скобкой Якоби теней симметрий, определение которой не зависитот конкретного вида уравнения. Это позволяет дать обобщение структур Пуассона–Нийенхейса и на случай произвольных УрЧП (операторыR и H являются, вообще говоря, нелокальными).Рассмотрим систему эволюционных уравнений E = {F = ut −f (x, t, u, u1 , .
. . , uk ) = 0}, где u = (u1 , . . . , um ) и f = (f 1 , . . . , f m ),ut = ∂u/∂t, uk = ∂ k u/∂xk , а также модули κ и κ̂ на пространстве J ∞ (π) × R расширенных джетов, т.е. мы допускаем явную зависимость элементов элементов этих модулей от t.Определение 3.2. Оператор O : κ → κ (или κ̂ → κ, и т.д.) называется инвариантным, если LDt ◦ O = O ◦ LDt (через LDt обозначенапроизводная Ли вдоль Dt ).Утверждение 3.3. Оператор A : κ̂ → κ инвариантен, тогда и только тогда, когда `F ◦ A + A ◦ `∗F = 0. Оператор R : κ → κ инвариантен,тогда и только тогда, когда `F ◦ R − R ◦ `F = 0.Определение 3.3. Пусть (A, R) — структура Пуассона–Нийенхейсана J ∞ (π) × R. Мы скажем, что она является структурой Пуассона–Нийенхейса на E , если и A, и R являются инвариантными операторами.Рассмотрим следующие расширения эволюционного уравнения E :`∗ -накрытие L ∗ E задается системой, состоящей из исходного уравнения E и уравнения pt = −`∗f (p), где p = (p1 , .
. . , pm ) — новые нечетные переменные, добавленные к уравнению E ; `-накрытие L E зада18ется системой, состоящей из уравнения E и уравнения qt = `f (q), гдеq = (q 1 , . . . , q m ) — новые нечетные переменные.Поставим в соответствие операторам A : κ̂ → κ и R : κ → κ видаPijkk k>0 aijk Dx k, ak ∈ F (E ), соответственно, p-линейную вектор-функPjцию HA = (HA1 , . . .
, HAm ), где HAi = j,k aijk pk , и q-линейную векторPjфункцию NR = (NR1 , . . . , NRm ), где NRi = j,k aijk qk .Согласно 8 9 , условия инвариантности операторов A∈C Diff sk-ad (κ̂, κ) и R ∈ C Diff(κ, κ) эквивалентны требованию того, чтофункции HA и NR являются тенями симметрий в `∗ - и `-накрытии,т.е. являются решениями уравнений `˜E (HA ) = 0 и `˜E (NR ) = 0, гдетильда над оператором `E означает поднятие его в `∗ - и `-накрытие.Имеется взаимнооднозначное соответствие между операторами изskewмодуля C Diff (k)(κ̂, κ) и функциями на L ∗ E , k-линейными по отноskew(κ̂, κ)шению к нечетным переменным. Для оператора ∆ ∈ C Diff (k)обозначим через H∆ соответствующую функцию. Тогда справедливаТеорема 3.8.
Пусть HA и HB — тени симметрий в `∗ -накрытии,которым соответствуют операторы A, B ∈ C Diff sk-ad (κ̂, κ) . Тогда{HA , HB } = H[[A,B]] , где [[A, B]] — скобка Схоутена.Обозначим через N[R,S]F N билинейную по переменным q функцию наskew(κ, κ).L E , соответствующую оператору [R, S]F N ∈ C Diff (2)Теорема 3.12. Пусть NR и NS — тени симметрий в `-накрытии,которым соответствуют операторы R и S ∈ C Diff(κ, κ). Тогда{NR , NS } = N[R,S]F N .Выразим теперь условие совместности гамильтоновой структуры Aи оператора рекурсии R на уравнении E в аналогичных геометрическихтерминах.
Для этого напомним, что как L E , так и L ∗ E расслоены надуравнением E . Рассмотрим сумму Уитни L E ×E L ∗ E → E этих расслоений. Таким образом, уравнение L E ×E L ∗ E состоит из уравнения E ,расширенного как с помощью `˜E (q) = 0, так и с помощью `˜∗ (p) = 0.E∗CA,RОбозначим черезбилинейную по отношению к переменным pи q функцию на L E ×E L ∗ E , соответствующую C -дифференциальному19оператору C ∗ (A, R) : κ̂ × κ → κ.
Тогда имеют местоТеорема 3.13. Пусть HA — тень в `∗ -накрытии и NR — тень в `накрытии с соответствующими операторами A ∈ C Diff sk-ad (κ̂, κ) и∗.R ∈ C Diff(κ, κ). Тогда {HA , NR } = CA,RТеорема 3.14. Пусть гамильтонов оператор A ∈ C Diff sk-ad (κ̂, κ)и оператор рекурсии R ∈ C Diff(κ, κ) — структура Пуассона–Нийенхейса на эволюционном уравнении E , в то время как HA и NR —соответствующие тени в `∗ - и `-накрытии над E , соответственно.Тогда (i) {HA , HA } = 0, (ii) {NR , NR } = 0, (iii) {HA , NR } = 0, где{ , } — скобки Якоби теней.В разделе 3.3 предыдущие результаты обобщаются на произвольныеуравнения в частных производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
