Диссертация (1102446), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Следует отметить, что в работах [31, 176], гдерассматривался подобный режим взаимодействия, указанное обстоятельство не учитывалось.При этом, отсутствие сканирования дифрагированного светового пучка возможно лишь вслучае строго перпендикулярного падения света на границу области взаимодействия. Именнотакой режим взаимодействия и будет рассматриваться в данной работе в качествеколлинеарного.Рисунок 5.1 поясняет принцип получения одномерного уравнения связанных мод издвумерноговслучаеколлинеарногоакустооптическоговзаимодействия.Видно,чтонизкочастотному коллинеарному режиму соответствует сочетание углов падения и дифракциисвета θ0 = θ1 = 0, а высокочастотному режиму − θ0 = 0, θ1 = 180о.
При этом, угол ψ междуrволновым вектором ультразвука K и границей ультразвукового столба следует положитьравным 90о или -90о, в зависимости от направления распространения акустической волны.Следует отметить, что в данном случае угол ψ не играет роли угла сноса энергииультразвуковой волны, а лишь определяет геометрическую конфигурацию рассматриваемойзадачи.Подставляя указанные значения углов в двумерное уравнение связанных мод (2.21),учитывающеезатуханиеультразвуковойколлинеарное взаимодействие:волны,получаемуравнения,описывающее− 139 −zzp=0p=0p = ±1p = ±100llxxrKrKа)б)zzp=0p=0p = −1p =10l0xlrKxrKв)г)Рис.
5.1. Схема коллинеарного акустооптического взаимодействия:вверху − низкочастотный режим, внизу − высокочастотный.Номер порядка дифракции в низкочастотном режиме зависит от соотношениявеличин показателей преломления взаимодействующих световых волн.− 140 −∂C0 q0= exp[−(γ x x + γ z z )] exp[i (η x x + η z z )]C1 ,∂x2q∂C1= m 0 exp[−(γ x x + γ z z )] exp[−i (η x x + η z z )]C0 ,∂x2(5.1)причем знак минус в первом из соотношений (5.1) должен использоваться при описаниинизкочастотного, а знак плюс − высокочастотного режима коллинеарного взаимодействия.Приисследованииколлинеарногорежимавзаимодействияобычносчитаютвзаимодействующие волны плоскими, то есть не учитывают неоднородность задачи вдоль оси z.В рассматриваемом простейшем случае коллинеарного взаимодействия, изображенном на рис.5.1,подобноедопущениеоправданно,посколькуволновыеповерхностивсехвзаимодействующих волн строго параллельны оси z.
При этом амплитуды электромагнитныхволн C0,1(x,z) изменяются только вдоль волновой нормали (оси x), но не вдоль волновойповерхности. Следует отметить, что в более общем случае, когда ультразвуковая волнаобладает сносом энергии, использование данного подхода, характерного для одномернойтеории, становится недопустимым.В главе 1 было показано, что принятое условие однородности задачи вдоль оси zпозволяет определить направление вектора расстройки, как перпендикулярное этой оси, то естьположить его компоненту η z равной нулю. Комплексные амплитуды взаимодействующих волнC0,1 при этом также перестают зависеть от координаты z. Таким образом, двумерное уравнениесвязанных мод (5.1) преобразуется в следующее одномерное уравнение связанных мод,описывающее коллинеарное акустооптическое взаимодействие с учетом затухания ультразвука:dC0 q0= exp(−γ x x) exp(iη x x)C1 ,dx2qdC1= m 0 exp(−γ x x) exp(−iη x x)C0 .dx2(5.2)Для того чтобы достичь большей общности рассмотрения свойств коллинеарногорежима акустооптического взаимодействия, абстрагируясь от свойств конкретной среды илиразмеров области взаимодействия, в уравнении (5.2) удобно перейти к следующимбезразмерным переменным: координате ξ = x / l , параметру расстройки R = η x l , параметрусвязи A = q0 l и логарифмическому коэффициенту ослабления ультразвука на длине кристаллаZ = γl.
Для безразмерного параметра расстройки справедливо выражение R = 2π ( f − f с ) l / V , гдеf − акустическая частота, fс − акустическая частота при синхронизме. В безразмерныхпеременных уравнение связанных мод принимает вид:− 141 −dC 0 1= A exp(− Zξ ) exp(iRξ ) C1 ,2dξdC11= m A exp(− Zξ ) exp(−iRξ ) C0 .2dξ(5.3)Граничные условия к уравнению (5.3) получаются из общих граничных условий (2.2)припутемa (z) = 1аналогичныхпреобразований.Приописаниинизкочастотногоколлинеарного акустооптического взаимодействия эти условия принимают вид задачи КошиС0 (0) = 1,(5.4)C1 (0) = 0,а при описании высокочастотного коллинеарного взаимодействия − граничной задачиС0 (0) = 1,(5.5)C1 (1) = 0.Выражениедляэффективностидифракции,тоестьотношениеинтенсивностейдифрагированного света на выходе из кристалла и падающего на кристалл света, имеет при22этом вид I = C1 (1) в низкочастотном случае и I = C1 (0) − в высокочастотном.Видно,чтонизкочастотныйивысокочастотныйрежимыколлинеарногоакустооптического взаимодействия описываются аналогичными друг другу соотношениями.Поэтому в дальнейшем рассмотрении двух этих режимов будет проводиться параллельно, сединых позиций.
Особое внимание уделяется выяснению сходства и различия междусвойствами низкочастотного и высокочастотного режимов.5.2. Влияние затухания ультразвуковой волны на свойства низкочастотного ивысокочастотного коллинеарного взаимодействияУравнения связанных мод (5.3), описывающие коллинеарное акустооптическоевзаимодействие, в общем случае могут быть решены лишь численно. При этом, нахождениеаналитического решение возможно в некоторых частных случаях, которые важно рассмотретьболее подробно.При выполнении условия синхронизма, когда R = 0, эффективность дифракциимаксимальна.
Уравнение связанных мод (5.3) при этом может быть решено аналитически прилюбых значениях коэффициента связи и затухания. Эффективность дифракции принизкочастотном коллинеарном взаимодействии равна A(1 − e − Z ) ,I н = sin 2Z2а при высокочастотном коллинеарном взаимодействии составляет величину(5.6)− 142 − A(1 − e − Z ) .I в = th 2 2Z(5.7)Из соотношений (5.6) и (5.7) видно, что в низкочастотном режиме максимальная эффективностьдифракции, равная единице, всегда может быть реализована при выполнении условияA = π Z / (1 − exp(− Z ) ) .
Требуемое для этого значение акустической мощности тем выше, чембольше затухание ультразвуковой волны. При этом, в высокочастотном режиме взаимодействияединичное значение эффективности дифракции не может быть достигнуто никакимувеличением мощности акустической волны [5, 19, 51, 116].Аналитическое решение дифракционной задачи при наличии расстройки возможно вприближении малой эффективности дифракции [116].
В п. 2.3 отмечалось, что еслиэффективность дифракции значительно меньше единицы, то можно пренебречь обратнымпереходом энергии из дифрагированной волны в проходящую. В этом случае уравнение (5.3)принимает видdC0= 0,dξdC11= m A exp(− Zξ ) exp(−iRξ ) C0 .dξ2(5.8)Решая систему уравнений (5.8) с граничными условиями (5.4) и (5.5), можно убедиться, чтоокончательное выражение для эффективности дифракции в обоих случаях имеет одинаковыйвид. Это означает, что в приближении малой эффективности дифракции форма частотнойхарактеристикиколлинеарногоакустооптическоговзаимодействияодинаковадлянизкочастотного и высокочастотного режимов.
Эффективность дифракции в зависимости отрасстройки, а также мощности и затухания ультразвука равна Z2R2( Z / 2) 2 sin 2 ( R / 2) ,I ( R, A, Z ) = I с 2+2Z 2 + R 2 sh 2 ( Z / 2) ( R / 2) 2 Z +R(5.9)где Iс − эффективность дифракции при синхронизме, равная2 A(1 − e − Z ) .I с = 2Z(5.10)Это значение можно получить как из соотношения (5.6), так и (5.7), если полагать аргументфункций малым. Такое допущение применимо, поскольку рассматривается случай малойэффективности дифракции.Знание зависимости I(R) позволяет найти ширину полосы частот коллинеарногоакустооптического взаимодействия δf, зависящую от мощности ультразвуковой волны и еезатухания.Частотнуюполосувзаимодействияудобнохарактеризоватьприпомощибезразмерного параметра B = l δf /V.
Для его нахождения следует подставить значение R = Bπ в− 143 −выражение (5.9) и решить алгебраическое уравнение I(Bπ,A,Z) = Iс / 2 относительно B прификсированных значениях A и Z. Таким образом, определяя коэффициент B при заданныхзначениях параметров A и Z, можно анализировать частотные свойства акустооптическоговзаимодействия,независящиеотсвойствконкретнойсредыиразмеровобластивзаимодействия [115, 116].На рис. 5.2а представлена зависимость безразмерного коэффициента частотной полосы Bот логарифмического ослабления ультразвуковой волны на длине кристалла Z в приближениималой эффективности дифракции.
При малых значениях ослабления величина параметра Bмало отличается от значения 0,89, которое этот параметр принимает в отсутствие затуханияультразвука. При больших значениях ослабления коэффициент B асимптотически стремится кпрямой B = Z/π. При этом получаются следующие выражения для оценки частотной полосывзаимодействия:δf = 0,89Vпри Z = α l < 0,89π ,lαVδf =при Z = α l > 0,89π .π(5.11)Видно, что при большом затухании ультразвука ширина частотной полосы не зависит от длиныкристалла l. Это означает, что область акустооптического взаимодействия ограничена толькозатуханием ультразвуковой волны [115, 116]. Для качественных оценок можно полагать, чтопри Z = αl < 0,89π, ширина частотной полосы определяется, в основном, длиной кристалла, апри Z = αl > 0,89π − затуханием ультразвука.
Значение Z* = 0,89π определяется из условияпересечения аппроксимирующих прямых (пунктирные линии на рис. 5.2а). Точное значениекоэффициента B в этой точке составляет B* = 1,1. Таким образом, даже весьма грубоеприближение зависимости B(Z) двумя прямыми не приводит к ошибке более чем на 20%. Приэтом, ошибка такой оценки максимальна при Z = Z* и быстро уменьшается при удалении Z отзначения Z*.Соотношение αl = 0,89π имеет наглядный физический смысл. Если длину кристалла lсчитать фиксированной, то данным соотношением определяется наибольшее значениевеличины затухания α, ниже которого ширина полосы пропускания оказывается слабозависящей от этого параметра.
Если же, наоборот, считать фиксированной величину затуханияα, то оказывается возможным оценить наибольшую длину кристалла, начиная с которойширина полосы пропускания перестает уменьшаться. Практическая важность подобных оценокочевидна, поскольку невыгодно использовать слишком длинные кристаллы в условияхвысокого затухания ультразвука, когда ширина полосы пропускания акустооптическогофильтра определяется не длиной кристалла, а акустическим затуханием.− 144 −B1,61,41,21,00,80,60,40,2012345Z12345ZIотн1,00,80,60,40,20Рис. 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
