Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов (1102322), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Функционал полной ошибки был выбран в (45) в виде Х = Е1 + Ез, В настоящей диссертации способы дискретизации случайных процессов не рассматриваются; считается, что последовательность моментов времени, в которых известны значения случайных величин„ задана. Оптимизировать же объем выборки требуется для того, чтобы с заданной точностью спрогнозировать изменение выборо~шой функции распределения на некотором промежутке, называемом горизонтом прогноза, Требование соблюдения некоторой заданной точности пропюзнрования приводит к постановке условия близости ВФР, отнесенных к различным моментам врсмсни, в подходящем функциональном пространстве.
Формулировка такого условия близости объединяет две статистики данного временного ряда х(г); статистику объема выборки 1О, (г) и статистику горизонта прогноза т(г), Именно, требуется определить Тор, (~) так, чтобы ВФР, построенные по выборкам зтих оптимальных объемов на промежутках ~~ „~+ т(г)1, различались бы меньше, чем на заданное число, характеризующее ошибку прогноза. Ошибкой прогноза д для временного ряда х; будсм называть среднеквадратичное отклонение пропюзных значений х; от фактических х; на промежутке горизонта прогноза: 1+г — ~~„д д =х -х, т,, -) '.г с--г+1 Пусть значсння ряда принадлежат некоторому конечному промежутку (а; Ь1 „который без ограничения общности можно принять за отрезок (-1;11. Ошибкой прогноза ВФР в момент времени г будем называть интегральное абсолютное отличие прогнозной ВФР 7(х,г) от факгической,~(х,!), построенных по выборкам равных объемов, Обозначим соответствующую величину к(Г): Ф) = ЦХ(хМ-Пх,б~х, Важно подчеркнуть, что ошибка прогноза ВФР н ошибки прогноза временного ряда, по выборке из которого построена данная ВФР, — зто разные ошибки, определенные для разных математических объектов н в различных функциональных пространствах.
Следовательно, чтобы использовать величины (4.3) и (4.4) совмсстио, надо придать корректный теоретико-вероятностный смысл получающемуся фушсционалу совокупной ошибки (4.2), поскольку сам по себе он лишь формализует некоторую иде1о, с помощью которой можно было бы оценить меру неточности прогноза нсстациоиарных временных рядов. Такая формализация может быть проведена на основе иижсследукицих оценок, получающихся из (4.3), если записать выборочную дисперсию в терминах ВФР. Предположим, что практическими соображениями диктуется некоторая максимально допустимая ошибка прогноза д, Гстественно, опа не мажет быть мепыпе, чем оценка ошибки прогноза в смысле срсднсго квадратичного, т.е.
чем корень из дисперсии, отвечающей прогнозной ВФР 7. Эту дисперсию обозначим через о-: 1 1 У (1)= ««х-хЯ~7(хДЙх, х(1)= ~ф(хДсЬ. Различие между пропюзпым и фактическим средними воличинами можно оценить из неравенства ~х — х~ =- ~х Д вЂ” фх = ~х~~у — ~Дух < к. Рассмотрим ошибку (4.3) прогнозирования значения ряда в некоторый момент времени. Прогнозным значением ряда в момент времени г естественно считать среднее значение х(1). Как уже говорилось, формальной оценкой ошибки такого прогноза является о'(Г). Однако при сравнении с фактом следует учесть, что фактическая ВФР изменилась по сравнению с прогноз~ой, так что оценка сверху квадрата фактической ошибки прогноза ряда в силу (4.6) составит величину 1 1 о =- «~х-х) ~(х,1)сй= «(х — х+х — х) Ях,1)сй=о +(х-х) <о +к . (4.7) Использованные при выводе оценки (4.7) величины ошибок имеют очевидный смысл: о.
= Е1, н = Е2. Иными словами„дисперсия ряда тем выше, чем менее репрезентативной является выборка; и чем более нестационарным является временной ряд, тем выше ошибка прогноза ВФР. Таким образом, оценка (4.7) является обоснованием использования функционала (42) в качестве меры неточности прогноза пестационарного временного ряда. Поскольку для стационарного ряда различие между двумя выборочными функциями распределения из одной и той же генеральной совокупности можно сделать сколь угодно малым, увеличивая объем выборки, то из формулы (4.7) следует, что ошибка прогноза будет тем меньше, чем точнее будет определена дисперсия ряда, т.с.
чем 37 большее количество членов этого ряда учитывается при построении ВФР, Однако если ряд пестапионариый, то увеличение объема выборки хотя и приводит к уменьшению е, одновременно с этим в общсм случае приводит к увеличению дисперсии сг~, Отметим, что различно между дисперсиями двух ВФР, в соответствии с условием 14.4), оценивается сверху как Если рассматривакп ся остатки временного ряда после исключения из выборки скользящего среднего значения, то из (4.8) следует„что о.
— о < к. Таким ~бразо~, для более точного прогнозирования требуется определить такой объем выборки, нри котором верхняя оценка величины в левой части 14.7) минимальна. Настоящая диссертация и посвящена формулировке критерия, связывающего между собой точность прогноза, горизонт прог1юза и объем требуемой для этого выборки. Разработанная ца основе такого критерия методика прогнозирования использует свойства некоторой производной статистики вышеупомянутых оптимальных объемов выборок. Для прогнозирования задашюго исходного временного ряда х(1) требуется сначала изучить статистические свойства нового временного ряда Т„,~~1), а также найти горизонт прогноза г(г) при условии прогнозирования ВФР с заданной точностью, Итогом численной реализации разработанного метода анализа нестационарных временных рядов является алгоритм прогнозирования ВФР, представленный в чсгвертой главе диссертации.
Глава П. Статистический анализ некоторых нестационарных временных рядов 2,1, Статистика цен на электроэнергию на ОРЭМ Во второй главе рассмотрены иекоторыс конкретные примеры време|палых рядов, встречающихся в практической экономической деятельности. На основе их анализа и выявления определенных особенностей, главным образом влияния псстацнонарности па вид выборочных характеристик ряда, формулируется критерий близости выборочных функций распределения для того, чтобы можно было корректно сравнивать ВФР в различные моменты времени, Если провести классический анализ таких временных рядов методами исключения временного тренда, регрессионными н автокорреляциопиымн, то прогноз по таким моделям оказывается недостаточно точным.
С целью повышения точности прогнозирования вводится понятие квазистационарпости ВФР, с которым естественно связана статистика оптимальных для прогнозирования объемов соответствующих выборок. В качестве характерного примера рассмотрим временной ряд, образованный из индексов почасовых цен па электрическую энергию на оптовом рынке электроэнергии (мощности) — ОРЭМ вЂ” по Европейской ценовой зоне в тсчсиис семи месяцев — с ноября 2006 года по май 2007 года акл1очительно.
Ряд сформирован по данным ~95). Интерес к стагистическим свойствам этого ценового ряда вызван его практической важностью для оптимизации стратегии управления и хеджирования рисков реально функционирующих производственных систем как производителями электроэнергии, так и ес потребителями. Кроме того, ряд обладает характерными особенностями„требующими применения специфических методов статистического анализа н основанной на них прогнозной модели, Такие методы были разработаны соискателем в ~60, 61, 62). Следует подчеркнуть, гго отличие рьшка электроэнергии от рьшка ценных бумаг принципиально; спрос на электроэнергию имеет весьма высокую неслучайную составляющую, определяемую технологическими процессами выработки электроэнергии н суточной периодичностью спроса.
Кроме того, спрос является сильно пеэластичным ~нелинейно зависит от уровня цен). На спрос оказывают влияние различныс внешние факторы, такнс, как суточная температура, сезонноеп, структура потребителей по секторам хозяйственной системы региона н лр. На предложение влияют такие факторы, как гидрологическая ситуация, режимы работы ГЭС и ТЭЦ, графики ремонтных работ и р. 7* вр . н«й р., !цю» иа ° ве Р Р Л Й ' 1Н " Р«У 5 й й ! Е Ю »р;.
б. 7 Р Р . Е ! е и р, р р «ен ! у ве рвю пю пр ю. булу н ! «! и р ! в ю «р«гвв«л» Йв! 7З ж ЗР Е бр Ю Йб ЙРР ибй бр! рзйцбв 1ЙР Рнп.!.!! ««йцкф! пюн «««»Ю л вб!к ООб . л» .юлн»кр юк Оею«р» е пъкембнбцбйу О. и» Р». ! ю кую. п 5!юб в м«»у вув не веню им ~Р ' »еюп«ев»»юккер«ве ювбе4» и «е«, !Ою !7е ва !Вл У « П» У 1 1 Л П» Н ! 5 П !б н !7 е 4 м в лу! Нк»-ее»ем»-»у«пк«юппумнмк«»»»целу« юйл»ь-р У ау.овею ! праию»в««« ю рюбюме: »рвюнвп рщ» на и лмеююпм.
Рюе. ею е вуюп куце«Р««р. юе ю л ю .» Нмм райки пн 1.»».цм «юц « ю а Уе ю !» е!» Нп 'умец» б«цв.сел юм»п,е б лю «м вю«нм !Й1 юею !',"е вв мрн лн «нк «ацце '««нн» н«л«»н' 7Ф:н»пй »1юф1в«а р«беи«н мелим» лан в«юнв репи веп«У, т. немев«й юпв ююм ю» ба е бйнма 1!«л «Прею; ум:еююу«Р»лп е! веете»ц ! «» е! Ежлжже.н же ю ж»л ж Ефю ц иваейццл й рф е рл °,ю рйу,б,»р„,,лн юрж » е « ев а р »р*ла р » р~ ю. р ° » а 1 л ц а л»ц жн рб»жюн е 1жцц в в»аа ив. ~ нию и 11р 1 р ба 1 н 1 ц рр ц» ~ж лу ц.у. биюн».: ж.ию й»1 й ц 1 в» в к рююцюн нй юи »п 1 ю рц» .а,рв *йу в:, лффж ар юрва Ц»»,и ВУИН ЕЦЮВНЛ НЫ~.~ »Ю ЕВЮВН Е» ЮИЮЦЕРВ»ав 1и .И 1 в Е У 1 це е ж и ю юа вею» ю рв лююе бж» улревин навею ен цц р,г р .КАж рр нци ви фуиж~ » и рев «ре 1а р енрнрюу,ж» южабцинц»рюцарииаунеюе 1»евюцвжурве жн Нар'тп бр фуе р рю а р а Прк » лм,т р" 32!т у , 52О» и н«~ Рн».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
