Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов (1102322), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Поскольку в диссертации предлагается некоторая новая математическая модель прогнозирования временных рядов, в том числс и нестациопарных, то для методологического сравнения и оценки ее качества следует кратко описать существующие методы анализа и прогнозирования временных рядов. Представляемьзй обзор далеко нс полон. Его цель — пе перечислить все существующие модели, а обрисовать место результатов диссертации среди многообразия существующих направлений статистического анализа данных. Основными статистическими методами исследования временных рядов являются: метод выделения тренда (временного сглаживания), регрессионный, автокорреляционпый, адаптивный (скользящих средних), метод гармонического анализа, сингулярного спектрального анализа, бугстрепа (численного размножения выборок) и нейросетевой. Ниже крапго описывается идеология этих методов, даются основные определения из матсмагической статистики и приводятся базовые уравнения соответствующих моделей.
Напомним ~34, 36, 37), что случайным процессом на некотором вероятностном пространстве называется семейство случайных величии лф), принимающих значения нз множества, называемого областью определения процесса. Если параметр ~ принимает дискретные значения, то процесс называется временным рядом. Временной ряд называется стационарным в широком смысле, если сго математическое ожидание не зависит от времени г, а корреляционная <~упкция, являющаяся математическим ожиданием произведения отклонений значений ряда от среднего в различные моменты времени г~ и ~2, зависит только от разности г1 -г2. Более общее определение 1341 предполагает независимость от времени центральных моментов ряда вплоть до некоторого конечного порядка.
Временной ряд х(г) называется стационарным в узком смысле 18Ц, если при любых ~ и г случайная величина х(Т) распределена одинаково с величиной х~с+ г) . В настоящей работе используется определение стационариости в широком смысле, если речь идет о моментах ряда, и в узком смысле, если о его распределении. рассмотрение существующих подходов к анализу временных рядов начнем с метода временного сглаживания или выделения тренда, При исслсдовании временных рядов принято выделять несколько составляющих (48, 49, 871: Ф) = хире~о~(г)+ хликл(г)+ йг) * где х„р,„,1(Г) — плавно меняющаяся компонента, определяемая долговременной тенденцией (трендом) изменения ряда признаков, хц„,,(г) — циклическая или сезонная компонента, которая отражает повторяемость процессов на определенных промежутках времени, а ~(г) -случайная компонента, содержащая влияние прочих факторов, механизм которого (влияния) скрыт от наблюдателя, Первые две составляющих (гренд и цикл) в идеале должны быль описаны точно, т,к.
это закономерные факторы, изучаемые в рамках детерминистских модслей. Однако следует заметить„что сами детерминистские модели представляют определенную идеализацию описываемых закономерносгей, поэтому им также присуща некоторая неточность. В этом смысле представление (1.1) несколько условно, но оно бывает полезно на практике для интерпретации резуль гатов статистического анализа данных. Трендовая компонента временных рядов обычно ис бывает известна точно, а, как и ряд в целом, является случайной величшюй, но ее изменение из некоторых априорных суждений часто может быль качественно описано аналитически, Для описания тренда используются т.н.
кривые роста, которые позволяют моделировать процсссы трех основных качественных типож без предела роста, с пределом роста без точки перегиба, а также с пределом роста и точкой перегиба. Процессы развития без предела роста характерны в основном для абсотпотных объемных показателей. Процессы с пределом роста характерны для относительных показателей, таких, как душевое потребление продуктов питания, внесение удобрений на единицу площади, затраты на единицу произведснпой продукции и т,п. Процесс с пределом роста и точкой перегиба характерен,например, для описания изменения спроса па новые товары. Для моделирования этих процессов используются полиномиальные или квазиполиномиальные (с экспоненциальными множителями и т.п.) зависимости, дробно- рациональные и линейно-логарифмические функции, кривые Гомперца и иные функциональные зависимости. В рамках многопараметрических моделей часто бывает возможно провести аппроксимацию данных с требуемой точностью, однако этот подход не всегда удовлетворителеп прн прогнозировании, поскольку подбираемые функции не обязательно отражают реально обусловленную зависимость набл|одаемой величины от времени, Таким образом, часто используемым методом моделирования пестационарных временных рядов является параметрическое оценивание.
В этом случае подбиршотся параметры той или иной функциональной зависимости для трепдовой составляющей, после исключения которой остается стационарный ряд, Оставшийся ряд может и не быль стационарным в смысле математического определения этого понятия, но на практике его удобно считать таковым с доверительной вероятностью, достаточной для исследователя. Для этой цели используются различные тесты на стационарность 1341, которые, как правило, разработаны лля применения к известным функциональным зависимостям (напр„нормального, экспоненциального или равномерного распредслсний). В частности, для нормально распределенных случайных величин тест на наличие тренда проводится в основном по критериям Стьюдента и Фишера 1341, но также существуют и другие тесты, использующие нормальность распределения.
Например, статистики критсрия Фостера-Стюарта 134, 841 для обнаружения тренда в среднем значении и дисперсии использу~от производные случайные ряды из нулей и единиц, определяющие наличие тренда в максимумах или минимумах исходного ряда, 1» Х1 > Х1 1»Х — 2»„.»Х1 И1 = О в противпоги случае 1 Х1' < ХВ' — 1*Х1 — 2 - Х1 1 ~ < О в противном случае рассматриваются статистики с(= ~~ И;, аб; =и;-1,; Ь'= ~~3 8;, 8;=и;+11ч 1=2 1=2 При отсутствии тренда величины Ы Я-~' — 1= —, Гб» ~'=»ГВГ»»-33434.
1=,12144-34233 (1.2) имеют распределение Стьюдента с и степенями свободьь Поэтому, если обозначить через у-квантиль распределения Стьюдента (это такое значение величины Р, для которой вероятность того, что случайная величина х <Г, равна у), то при условии, что <1< и Г больше, чем 1(1+„у~2, с доверительной вероятностью и гипотеза отсутствия трендов соответственно в среднем значении и дисперсии отклоняется. Если нет оснований предполагать нетривиальную функциональную зависимость трендовой составляющей ряда, ее часто считшот полиномиальной.
В этом случае такой тренд может быть исключен путем перехода к первым, вторым и т,д, разностям в значениях ряда, т.е. вместо ряда х(1) можно рассмотреть ряд х(г)-х(г-1) или ряд из разностей более высокого порядка, называемый производным рядом. Такой метод достаточно эффективен, если функциональный тип тренда сохраняется во времени, Целью сведения временного ряда к стационарному является появляющаяся тогда возможносп использования теоремы Гливепко о сходимостн эмпирической вероятности к распределению генеральной совокупности и критерия согласия Колмогорова о близости выборочной функции распределения и распределения генеральной совокупности 110, 171 для того, чтобы попытаться определить вид распределения, к которому относилась бы изучаемая выборка данных, после чего с известной доверительной вероятностью строить прогноз, Именно, если и; сеть количество элементов выборки объема Т, попавших в некоторый отрезок Л; из области значений случайной величины х, ,'~ и; =Т, и р; есть априорная вероятность попадания результата наблюдения в данный отрезок, то, согласно теореме Гливенко, отношение и;~Т равномерно сходится по вероятности к р; при У'-+ э,т.е.
Р йш апр — — Р; =-О =1. (г-+ю ~ т Таким образом, если различные выборки с эмпирическим распределением Рт (х) принадлежат одной и той же генеральной совокупности с некоторым теоретическим распределением Р'(х), параметры которого надо найти, то существует предел по вероятности 1пп( ) Вг = О, Вг = звр~Ру(х) — Р'(х)~, +~ х причем функция распределения величины Ж)г стремится по вероятности к функции Колмогорова К(з), так что выполнен критерий О, я<0 йш РФ11т <4=%() к(я)= + я ( г1 (1.4) 7'-+00 ~ (-1) ехр~-юг я ~, я>0 Желание иметь дело со стационарным рядом вызвано также возможностью обосновать прогнозные модели для такого ряда применением теоремы Вальда о разложении, согласно которой всякий стационарный процесс может быть единственным образом представлен в виде суммы двух пекоррелированных между собой процессов: детерминированного (сингулярного процесса), прогноз которого на любое время вперед безошибочен, и чисто случайного (регулярпого белого шума, т.е.
стационарного процесса, Линейная регрессионная модель (ЛРМ) позволяет связать две величины 1" и Х линейной зависимостью вида Г=аХ+Ь по имеющимся У парам:пгачений (х1,у1) методом наименьших квадратов (МНК): У-у-=а(х-х), а= —, (йхЛу)= — ,'» (х„-х)(у„-у), (л лу) д~(,) ' М„, Ф У ~'о-((ь ?'). ~- — 'к., »- — 'е».. а=1 л-.=1 (1 5) Зависимость (1.5) называется регрессионной. 1..:е можно записать в симметричном виде: г'-у Х-х „(Лхасу) — = Саг(х,у) —, Саг(х,у) = Е?(У) ' В(х) ' ' а(х)о(у) ' Пропив по модели (15) строится в предположении, что найденные параметры х, у, а пе зависят от времени. Такие модели назывщотся гомоскедастичными. Если эти величины зависят от г, то модель называется гетероскедастичной.
Разность мелинду исходным рядом и его регрессионной аппроксимацией называется остатком, Бели остатки коррсли рованы, то для уточнения исходной регрессионной модели применяется автокорреляпионная модель для остатков ряда, Сам факт корреляции остатков определяется путем анализа автокорреищионной функции остатков либо с помощью критериев Стьюдента нлн Дарбина-Уотсона 19, 10„311. Обобщение модели (1.5) на случай зависимости, возможно, нелинейной, от нескольких объясняющих переменных приводит к задаче выбора наиболее адекватной модели по числу переменных н виду регрессионных функций. фурье-разложение которого является константой), Поэтому, хотя реальные процессы, как правило, не являются стационарными, тем не менее, возникает желание в первом приближении считать нх таковыми, Такой подход может дать удовлетворнтельньш результат в задачах краткосрочного проп1озировання.
Ряды, которые после надлежащих приготовительных операций можно считать стационарнымн, далее изучаются методами регрессионного, корреляционного и гармонического анализов, Ка?кдый из этих методов используется лля создания некоторой прогнозной модели для изучаемых рядов. В зависимости от конкретной специфики ряда используются различные из перечисленных методов. Ниже кратко описаны их содержательные части. Регрессионные модели применяются в основном тогда, когда объясняющая переменная (в формулах (1.5) это величина Х) не является случайной, а автокорреляция между значениями другой (объясняемой величины Г) мала.
Для оценки автокорреляции используется выборочная автокорреляциоииая функция, определяемая по значениям ряда х„как 136, 371 (1.б) Максимумы модуля автокорреляционпой функции показывают наличие лагоа, т.е. промежутков времени, на которых проявляется скрытая зависимость случайных величин, К примеру, в рядах с существенным влиянием циклической компоненты лаги выражены на графике выборочной автокорреляционной функции особенно сильно.
Модели, использующие лаговую автокорреляцию, называются автокорреляционными (АМ) или авторе грессионными. Первая АМ была построена Боксом и Дженкинсом 191. Такая модель, называемая моделью порядка р, прогнозирует значение случайной величины з(л) через р более ранних значений, используя имеющуюся выборку из Ф величин: Коэффициенты У1, находятся из определяющей системы уравнений 1Ола-Уокера, которая является прямым следствием () .7): Рч(1) =-У1 +Ру(1)Уз+...+Ру(р-1)У, Гу(2)--- Ру(1)У1+ У~+...+ Рл (р-2)У„ ~и(р) = Рх(р-Ж1+ ~и(Р-Ж72+- +(7л Как правило, используются АМ порядка не вьппе трех. Модель первого порядка ха = Р'Щхл а модель второго порядка определяется сотно1пениием Для применения автокорреляционных моделей (АМ) желательно иметь временной ряд, автокорреляционная функция (1,6) которого имеет небольшое число максимумов и достаточно быстро спадает с ростом шага автокорреляцни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
