Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов (1102322), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При этом зачастую используют те или иные параметрические семейства распределений вероятностей. Наиболее часто используется нормальное распределение. Применяют также лог-нормальное распрсделеиие, равномерное распределение, экспоненциальиое распределение, гамма-распределение, распределение Вейбулла-Гнеденко ~9, 10, 341 и другие. Чтобы применить эти распределения на практике, надо быть уверснпым, по с заданной точностью, которая оценивается обычно как средний квадрат отклонения наблкэдаемого значения от теоретического при большом числе наблюдений, выборочная функция распределения случайной величины будет близка к вьппеуказаниому теоретическому распределению.
Тикая уверенность основана на том, что для стационарных в узком смысле случайных процессов выборочное распределение сходится по вероятности к теоретическому, Если есть основания считать, что процесс стационарсн в широком смысле ~т.е. существуют независящие от времени конечные моменты теоретического распределения нескольких первых порядков), то известно, что отклонения выборочных моментов от их теоретических значений распределены асимптотически нормально, Тем самым задача пропюзировання может быть сведена к задаче аппроксимации данных.
В настоящее время существует более тысячи статистических тестов или критериев, которые применяются для того, чтобы с некоторой точностью (или доверительной вероятностью) отнести изучаемый случайный процесс к тому или иному классу, т,е. использовать для его описания определенную математическую модель, Подавляющее число этих методов относится к стационарным (в широком или узком смысле) процессам, Это связано с тем, что для стационарных случайных процессов доказаны теоремы, позволяющие получать корректные оценки параметров соответствующих распределений по данным наблюдений, т.е, по некоторому временному ряду, Большинство применяемых мстодов анализа стационарных временных рядов используют следующие основополагакццис утверждения (см., напр., (ЗЦ): критерий согласия Колмогорова, теорема Вальда, теорема Гофдинга.
Критерий согласия Колмогорова (1933) является одним из центральных результатов математической статистики. Им определяется близость интегральной выборочной функции распределения случайной величины 4 к стационарному распределению, если опо есть. Именно, статисгика В„=звр~Р'„(х) — Е'(х)~ супремума модуля разности выборочной н точной интегральных функций распределения стащюнарной случайной величины ~, принимающей значение х, по вероятности стремится к нулю с ростом объема выборки п так, что случайная всличина ~lиП„имеет асимптотическое распределение в виде К-функции Колмогорова. В дальнейшем на основе этого угверждения были получены различные широко примсняемые асимптотическне критерии о принадлежности двух выборочных распределений одной генеральной совокупности: критерий Колмогорова-Смирнова (1939), Вальда-Волфовица (1940), Вилкоксона (1945), Манна-Уитни (1947), Гпеденко-Королюка (1951) и другие, более узкие по применимости критерии (Стьюдента, Фип|ера, Крамера-Уэлча, «омега-квадрат» н др.).
Другим фундаментальным утверждением является теорема Вальда (1938) о разложении, согласно которой любой стационарный случайный процесс представляется в виде суперпозиции детерминированного процесса н белого шума. Вще одним методологически важным результатом является теорема Гофдинга (1948), угверждающая, что умноженные на 4п отклонения моментов эмпирического распределения, построенного по выборке объсма п, от моментов генеральной совокупности для стационарной случайной величины распределены асимптотически нормально. Эта теорема позволяет определить скорость сходимосгн по вероятности выборочных моментов и верокгность отклонения их значений от теоретических, если таковыс известны.
На основе этой теоремы определяются доверительные вероятности и доверительные интервалы для выборочных оценок параметров распределений. Перечисленные утверждения математической статистики определяют основные принципы моделирования стационарных временных рядов. Обычно ряд представляется в виде суммы некоторой детерминированной составляющей и остатка, автокорреляционная функция которого с достаточной точностью близка к нулю, что свидетельствует о близости остатка к белому шуму. После этого параметричсскнмн или иными методами находят наиболее близкую статистику, моделирующую поведение остатка. Существуктг рвлнчные модификации такого подхода, В настоящее время основными статистическими методами исследования временных рядов являются: метод выдслсния тренда (врсменного сглаживания), регрессионный, автокорреляционный, адаптивный (скользящих средних), метод гармонического анализа, сингулярного спектрального анализа, бутстрепа (численного размножения выборок) и нейросетевой.
Подчеркнем, что вышеперечисленные методы корректно обоснованы только для стационарных рядов, Однако многие временные ряды, встречающиеся на практике, обычно пе являются стационарными. В этом случае все асимптотическис критерии, гарантирующие увеличение точности аппроксимации с увеличением объема выборки„не состоятельны с точки зрения увеличения точности прогноза.
В то же время за неимением лучшего этн критерии продолжшот применяться ко всем рядам, которые возникают в случайном эксперименте. Тогда перед исследователем встает проблема оценки точности получаемых им результатов. Вели в стационарном случае есть доказательная уверенность в асимптотической состоятельности оценок той или иной статистики, то в нсстационарном случае отсугствует само понятие генеральной совокупности, что дслает неприменимым всеь развитый аппарат современной математической статистики, кроме тех случаев„когда априори известна функциональная принадлежность модели процесса (например, броуновское блуждание).
Однако на практике часто бывает не известно, к какому классу принадлежит распределение и является лн оно стационарным, причем оба этих фактора могут быть определены лшш с некоторой доверительной вероятностью — корректно определенной, однако, только для стационарных процессов. В этом последнем обстоятельстве кроется серьезный методичсский недостаток используемых критериев, Предположим, например, что тест на стационарность выборки, которая, как правило, предполагается выборкой из нормально распределенных случайных величин (как для критериев Фостера-Стюарта (34), Линника-Рао ~261 и др.), показал положительный результат с вероятностью 80«4, Это не вполне хорошая точность для статистических оценок, и остается не ясным, что же делать в таком случае, поскольку ряд можст быть нестационарным, либо не иметь нормального распределения (как чаще всего и бывает на практике), Если ряд нестационарный, то моменты выборочного распределения в общем случае не будут стабилизироваться с ростом объема выборки, и о~либка, которую фактически получит исследователь, предполагая ряд стационарным, может быль слишком велика: прогнозирование временных рядов, например, на шаг вперед, с ошибкой 20«4 не представляет практического интереса, поскольку, как правило, прогнозы с ошибкой пе хуже 20;4 дшот т.н.
«экспертные оценки», Аналогичные проблемы возннкшот и при использовании сглаженного скользящего усреднения. Если ряд нестационарный, то средние (скользящие, «растущие» - т.е, взятые по выборке растущего объема, или любые другие) не являются состоятельными оценками моментов распределения, т.к. сходимостн по вероятности в общем случае пет. Кроме того, в адаптивных методах исследования рядов, про которые априори не известно, являются ли они фяды) стационарными или нет, не решен вопрос, по выборке какого объема следует проводить скользящее усреднение, чтобы полу шть наименьшук~ ошибку прогноза. Решение этой проблемы в существующих критериях оставляется на усмотрение пользователя в соответствии с его жизненным опытом, Таким образом, основной проблемой прогнозирования временного ряда (в том числе и стационарного) является оценка сверху среднеквадратичной ошибки, которую можно допустить, если применить к нему тот или иной метод анализа, Для ее решения существующие методы для стационарных рядов следует дополнить оценками временных границ их применимости.
В отличие от некоторого ~впрочем, достаточно широкого) класса «сстествсннофизических» проблем, при решении которых гипотеза стапионарпости кажется разумной таких, например, как статистика разброса данных измерений коэффициента теплопроводности кошсретного тела в приблизительно одинаковых условиях и т,п,„— временпые ряды в иных областях человеческой деятельности в подавляющем большинстве не являются стационарными, Проблемы, возникающие при их анализе, широко обсуждаются в специальной литературе (в таких журналах, как «Теория вероятностей и сс приложения», «Заводская лаборатория», «Проблемы прогнозирования» и др,), но, как правило, на уровне «контрпрнмеров», когда оказывается, что та или иная априорная гипотеза несправедлива, или на уровне примеров удачных моделей в отдельных конкретных случаях, Роль статистических методов анализа в настоящее время неуклонно растет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
