Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов (1102322), страница 10
Текст из файла (страница 10)
3. ВФР пению рюа, »трлюмаенит «»»юаю «ееаеом 'амм 24ВВВ Лю ю мою раюлриюи небм пр и»ми ерю арабе 45рф Мюмтиумрфр ирн ом о»ююику Оуз с мм евук аю ер ми оо рмюВО24 Вюмю ау ум ю »пнем»ил и »ракию оуе ипю тм фем ю,и.рюмю ЗВО лепим, и том ю н~итрюе » и 3» е к»юфит 235".
ВФР не ю . унте „ю уаеуумн 'м ю»п менем и унююм ум блаек. »» Вмм» мм е мтм юлекам и млел е нуе, К ффни.'»ет ми»мерин р лар л рмю Вбб, ко»рфива т м: ю: !зб5 пмммеюмеа тите»;нею рмар»мм не ю и рмюиюи. умен 2,ОЗ ую» мрмюкнм у Ру Ою пн 'м ра и ул 5 к рпю а ммюр н уморю н~н» рюти О,зз. ек и ммюеуммауюр»»рупа»реем т меим.'ую е мекаю, уююунл р м у р м»ею:мие у .33».
ую ююи. р. Омюр и «и блр р нм лр:ю»«и 22 м» а и а !2,55' ° меб ма -ит Зи4мкпа,ра к 45,3В. Вун и миюлн т аар е у Ото~ »н п мм, О и' » нум м рю ~ ауифрп м юл ем ~ ФЕ НИК лма р Рапир ие Ри .В л мю Р мт ю »оп 'ак у амю»мт анммн лаю ~ рее пмм б мт .»имени юбм л еемттею» .тюки,юлиу»метем ен лазер»мюне(32Р3рюр 4В ю увм. ю м мю «су«ю,, 1л 2«а» ." п»вО))), у ю « УР)'" (' — )5'4, «" ' (, ),1 О 1) 5« . 1«». 1 Юмм «1, ~ Рм Ч Ю2512 р«« 1 р мр ««уюю рн уы р м«.» О Ю~, м р ю ю 111)рю« и:~(И)-51«)))~=п,«1- "(»«).
О.у) Л«м рм«. ««в ю ю увм влмю «ую «В вч м еве «р «« ' 2)7 Оа«а аав юю а)«О«им ю«прм юа ««ю мю е н н к«В с н«,с л у ~ ° ммр ю лл«рамн« «ую» Обмвюа««„е м н«пммюпю ири .7 а з В у Вч)чб«Вруб»В«В»лблуврр( «Л «вр р ЛР().О м«р )бб7. Впп а««м 1.«бр ' в ум««р «л ««)п Пу м«в «м б«н «пир«в«маме «уюавв люнн» а» юмнчню в врнмм щм «нис м лиснчюв р«а»5 ир«) ввм в вен .«,2. 35«мчмп~ наю юаюн «» АМ мерв» регрессионная аппроксимация (регрессия на время) данного параметра по выборке месячного объема, дает ошибку 15%. Таким образом, применение для даниого ряда гстероскедастичной регрессионной модели позволяет значительно улучшить качество пропюза.
Эта ошибка может быть затем еще уменьшена, если оптимизировать объем выборки для определения зависимости а(с) . Отметим, что относительное среднеквадратичное отклонение (вариация), вычисленное по ВФР, построенной по часовым данным за один месяц, несколько меньше, чем за весь рассматриваемый период, и составляет примерно 0,25 (против 0,33 для ВФР по семи месяцам).
Это позволяет надеяться, что сели репрезентативность меньшсй выборки окажется достаточной, прогноз может быль построен с болыпей точностью, Может оказаться, в частиости, что для прогноза на сутки вперед увсличивагь объем выборки с целью получения асимптотическнх по объему оценок среднего и дисперсии не требуется, Лвторегрессионные модели вида (1.1.5) являются более точными для месячной аппроксимации суточных данных, чем просто регрессионные, Например, АМ третьего порядка для первых разностей часового ряда х(г) за январь 2007 имеет вид 1б01 хя ~ 1хп-1+(ахи-2+173х»»-3» где коэФФициенты равны: У1 — --0,0197; У2 — — -0,0378; Уз — — -0,15 для выходного дня н Ь'1 = -0,255; У2 — — -0,070; УЗ = -0,067 для рабочего.
Ошибка шшроксимации данных на месяц по этой модели составила 7%. Ошибка прогноза по этой же модели на феврале 2007 составила 13%. Более того, ошибка прогноза на сутки вперед по скользящей выборке объемом в месяц составила 7;5%. Приведенные значения ошибок, как можно заметить„ существенно меньше, чем «гарантированные» 33% по ВФР за период в семь месяцев, но все же они в 1,5-2 раза превосходят ошибку суточной аппроксимации (1.1), являющуюся своеобразным эталоном. Следовательно, возникает естественная задача определения такого объема выборки, при котором прогноз по некоторой модели, которая признана наилучшей для описания изучаемого процесса, будет иметь наименьшую ошибку.
2,2, Статистика цен на рынке ценных бумаг Другой важной областью приложения статистического анализа является статистика па рынке ценных бумаг. В отличие от цеп па физическую продукцию, размах колебаний которых часто бывает обусловлен главным образом сезонностью спроса или иной назначенной периодичностью, рынок псиных бумаг гораздо более подвержен влиянию внешних случайных факторов. В качестве примера рассмотрим временные ряды, бр л КР «Н л ю Рвс Р е/ ' ' . ыу с Ы с . Уую к с В с ° ° «лсэар О., б ° рб са 5 юр ур оы.об ЛО йы ны бис эсс ман слю п Рн.5.ээн йюэюнеснсс дн лисам»сюсн фнвмыам рмн юююннсюРВУ Вк нуюсшслсш е рюм еэюылаю ююаук йюсювианнук еккнэкц.
л и с сэюрр псам мефуииееэ."в эн ююй певиц»юнбэшю ыш СО эыин Ссвс юед - н непа э шэ."с н» урэв 055, пссю ссю Ецн мюеивм саюм юуевюббие вкс энни Ровсе Ол ю снвебиы.чюша кысшне нп»именны у кйэс днфнаэ Р к. 5 паэ ювс. сю и рс ю ц п рсы вм ие ю ус~кпе ню у б"е в ююсю мер еаы~нн, унию вм ск рйс Влил наю*вюнеа(л Юец ЮЕ С апюэ Вкб (сй ылсээйк э ы..са шлв ю с юю н вы~|«'исзк псса мимюн:,ес об - В,эб, ою.- дуда. Вб »у.ум.
Вс рифиюн Рю, бм юин, д юндыд н рнаэ ю пк сирюаювмс сбр и пр л.юд ы лю ю б юа с цса'ы у юв» най м лн . В сщ н рр. Мек б ю н рв ~ рюююс юли юп энн сюс е швсс юкб ю ом ой с ср л рюа шл иве и. сюу, с эммюр се ыйюшаию ЫЦ йе КМ* У Дв Э анели 'Цы Оуиб'МЕМВЫИО ЕС. ДСЮЮСЭЮ Луп С ИМОМ е. Ркаан с м всвыю н сннмс скл л и с«е с л й.
ные с н увеселю~ » ив4 О и пп~ '44 еу . и м м е Реев кмм еию мйрб »О» м 'м .и ею Р Рф!4. У Р У Р в 'Рвем ебумюм, реи еюеюее еююю е т чеиевв ваграм» убв щ и»вар;мве а» ;имам Рв в м вв ирам»прею «р юеии. »е мвю юучю бмвмай. чме юмм вм; бамм»авар ю«наоми ~аю,ук~~~аюиремемеюаюм.»чаев уебюму вийем«и а:е еа ю йме чеюй ерем» бу»ю м и мееемююбв маобти. ПВ унии»реп»в м юю е юбирюеув фуввию рмирммюиме, пиаюиий мю вю РЮ ре» июр У. Итак, в параграфах 2.1 и 2.2 были рассмотрены некоторые примеры временных рядов, прогноз которых, хотя и с пе очень высокой точностью, может быть осуществлен после некоторой пред-подготовки стандартными методами, но сами прогнозируемые ряды при этом остак>тся все же нестационарными.
Следовательно, требуется определить границы применимости стандартных метт«дов и указать диапазон их наилучшего применения с точки зрения минимизации ошибки пропюза. 23. Статистика а моделях динамического хаоса Рассматриваемые в настоящей работе мегоды определения оптимального объема выборки для пропюзирования временных рядов полезно протестировать на примерах стационарных рядов, для которых существуют строгие асимптотические результаты. Интересным объектом для приложений являются динамические системы в моделях с дискретным временем. Эти системы задаются рекуррентными соотношениями вида х(»+1) = д(х(»)„х(» — 1),...,х(» — Ф)) и соответствующим количеством начальных условий, Во многих практически важных случаях правая часть представляет собой скорость измснеиия параметра х, опрсделяему|о только ближайшим по времени значением, т.е.
рекурсию первого порядка. В этом параграфе для удобства параметр» будет заменен на индекс последовагельиости п, так что, например, рекурсия первого порядка запишется в виде (3.2) Аналогично записываются рекуррентныс соотношения н в случае, когда к„есть многомерный вектор. Важно подчеркнуть, что непрерывный аналог уравнения (Э.2) представляет в ««х одномерном случае интегрируемую в квадратурах систему вида — =я(х)-х, для й которой справедливо утверждение о непрерывной зависимости решения от начальных данных. В дискретном же случае зто, вообще говоря, ие так, и потому численное решение задач динамики может привести к результагам, имеющим принципиально другие свойства, чем априорные свойства решений дифференциальных уравнений.
В то же время дифференциальные уравнения представляют собой не точный закон природы, а всего лишь его главную асимптотику по малости временного нли пространственного шага, тогда как реальные процессы ио существу своему дискретны. Это означает, что нетривиальное поведение решений разпостных уравнений может представлять самостоятельную ценность и практическу«о важность. С другой стороны, хаотическое поведение решения, получаемого численно, может являться и артефактом численной схемы, В обоих случаях статистическое описание таких систем имеет значение для понимания сложного характера динамики даже в одномерном случае (3.2). Совокупность траекторий динамической системы (3.2), получаемых при реализации различных начальных условий, образует статистический ансамбль.
Пусть рп(х) представляет начальную плотность распределения величины х, заданную на конечном измеримом множестве. Тогда эволюция плотности распределения определяется уравнением Перрона-Фробениуса (см., напр„~28, 381): где суммирование ведется по всем корням уравнения х = 8Я) . Стационарные точки отображения (3,2) определяются решениями уравнения (сели таковые есть) х = 8(х) . Динамически-ипвариантные меры (не обязательно единственные) в пространстве координаты х определяются стационарными точками отображения (3,3), Согласно теореме Боголюбова-Крылова (81, динамически-инвариантная мера р(х) нри движении в метрическом компактном пространстве существует, если д(х) ограниченная функция, удовлетворяющая условию Липшнца.
Для непрерывного аналога системы (3.2) уравнение эволюции плотности распределения есть уравнение Лиувилля: + М~) ')р( ' ~))=О. др(х,г) д дг дх Уравнсние Лнувилля в его классической форме описывает эволюцгпо плотности распределения ансамбля динамических систем, различающихся только начальными условиями, Поэтому, написав некоторое эволюционное уравнения для выборочной функции распределения, возникает естественное сопоставление такому уравнению динамической системы с непрерывным нли дискретным временем, Поскольку же некоторые динамические системы прн дискретизации по времени приводят к хаотической динамике (25, 26, 381, то такие системы являются естественными кандидатами для тестирования метода прогноза функции распределения с помо|цью уравнения эволюции. Динамически-ипварнантная мера представляет собой сгационарное распределение величин х„, так что, например, среднее значение х представляется в виде Ю х = йгп -- ,'> х„=- )хр(х)~й.
л-+ Ф„,'" Р ОР 66«Н 1 . Р,)11,)3)) Р«. 1»! \ 1 а м 1«1 Р 0 г ' .л р «рб ю вю ргдююю«н 61 ю,«1 нара«.мр д м мцв Йю «ввй. 6 б с 11 Й Н 1 Й 1» Р Н)1 ° 1 В ю *м ..ю'Й б й «Р вр н * )51. В), нюн 'юю эр й й р В ур й л 131! НО «ЮОР Н *„.,-1-« „', Д-3 136) Р. ЭЮ! О. Ч Л» ~Ю «-Ю О «З Мвг)«.)ЗО)) Р)-") — 1 . ««(-«1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
