Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов (1102322), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ню а ФаййаЗааамйфиффЯф Ройрс.сюю~~~~ййвю4юю*юнввра13 нойс ю ской ййй Рю 31 оююйсййрню н Раком рвнс пасв н1 наайнса вювойй 13.О й юнрйн и ю йно Р а йн в амп:аюою во нмю: напк аав м. о ною «панк» нрп вою оайсюа бксрс. 11О вообще говоря, отличаться от (3.2), поскольку эмпирическое уравнение Лиувилля (2.8) без включения в рассмотрение высших разностей (ускорений и т.д,) представляет лишь приближенную эволюционную модель ВФР. Мы сознательно пошли на такие упрощения, желая сократить объем вычислений, т.к. величина массива данных растет как степень объема одномерной выборки. Возникает вопрос: можно ли, не увеличивая существенно объем вычислений, т.е.
оставаясь в том же пространсп~е, уточнить модель (2.8), чтобы некоторые, по крайной мере первые центральные моменты ВФР, действительно эволюционировали бы в соответствии с уточненным уравнением? Как было показано в параграфе 3.1, с некоторой точностью можно говорить об кстапионарных выборочных распределениях, которые хотя и не имеют пределов (по вероятности или в слабом смысле и т.п.), могут доставлять оценки тех или иных статистик, удовлетворяющие практические нужды. Для пестационарного ряда смсщенность или песмсщснность оценок его моментов не играет особенной роли, т.к. при болыпих объемах выборки эти оценки близки, а при малых объемах «уход» в силу нестацнонарности может прсвьппать неточность, возникающую из-за несмещепности, В то же время удобно, чтобы моменты ВФР совпадали бы с моментами выборки, по которой эта ВФР была построена, Поэтому, хотя требование состоятельности оценки, например, асимптотически несмещенной дисперсии не выполняется, желательно, чтобы с точностью, контролируемой исследователем, соответствующим выборочным средним по нестационарным распределениям можно было придать практический смысл, Из этих соображений выборочный момент первого порядка по выборке па промежутке Лт(~) определяем как (3.4) Выборочные центральные моменты порядка г > 2 определяем по формуле (3.5) Чтобы удостовериться, что исполыювание величин (3.4), (3.5) не приведет к значительным искажениям статистики, введем понятие а -песмсщен|юй оценки по выборке объема Т.
Такой оценкой мы будем называть статистику, отклонение среднего по которой от среднего по предположительно стационарному распределению не превосходит я, В этом случае отличие модулей разности смещенных н несмещепных оценок, построенных по двум достаточно близким (т.е, е-стациопарным) ВФР будет иметь порядок о1е~). У Определение 9, Оценка А случайной величины а по е-стационарному распределению называется ь'-несиещенной если отличие модулем разности этой оценки и оценки В той оке величины, но являющейся несиещенной если распределение стационарно, имеет порядок о~е ).
зь Например, пусть Л сеть оценка дисперсии тз согласно определениям (3.4), ~3.5). г Если бы распределение было стационарным, то величина В= — ,'~ (х®-,и) л=~-т+1 являлась бы несмещсн1юй оценкой дисперсии этого распределения. Поскольку, как было показано в параграфс 1.4, моменты е -стационарного распределения тоже е -стационарны, ! = Т то ~Л вЂ” Л~ < е . Поскольку же оценки В и Л дисперсии связаны равенством В = — А и, по Т-1 1 ! предположению е-стационарности, — = Огас), то для ~ — В~ получаем оценку — ~ ~)' В-В~=~А-А~+о1в 1, Таким образом, выборочная дисперсия и, аналогично, высшие центральные моменты (3.5) являются е -несмсщенпыми оценками в -стационарного распределения. Поскольку выборочный момент порядка к для временного ряда имеет к-1 степень свободы, то для выборки фиксированного объема Т осмысленно можно ставить вопрос об исследовании только первых Т-1 моментов соответствующей ВФР, хотя последняя формально может иметь моменты любого порядка.
Более того, чтобы получающиеся оценки были е-песмещснными, требуется выполнение условия й/Т ъе. Это означает, что коррсктнымн оценками моментов нсстационарпого распределения конечной выборки являются только первые несколько выборочных моментов. Именно, если при прогнозировании на т шагов при заданном уровне е-стацнонарности ВФР определен оптимальный объем выборки Т < 2г/е, то при построении модели эволюции ВФР мы можем аргумен гированно использовать оценки только для моментов порядка до 2г.
Как показывают примеры на Рис. 32-34, эмпирические величины моментов ВФР имеют заметные временныс тренды, поэтому учет этих трендов в уравнении эволюции ВФР может быль полезным для повышения точности прогнозирования, Приведенные графики иллюстрируют идею построения уточненных прогнозных моделей эволюцион1юго типа для ВФР. Например, пусть у пас есть эмпирическое значение производной по времени от дисперсии данной ВФР тя(е)(г) = т~")(Е)-т~~~)(г-1). Если потребовать, чтобы эволюция выборочных моментов (3,5) численно совш1лала бы с щ~(~), то это приведет к появлению дополнительного члена в модельном уравнении эволюции для ВФР.
Например, пусп* дисперсия двиной ВФР в текущий момент времени равна Й2(~), Обозначим невязку этого значения с уравнением (3.3) через Л: Д(~)=й(')-2 (х, )- 2. (3.б) Рассмотрим для ВФР вместо уравнения Лнувилля (2.4) уравнение Фоккера-Планка: д~ д(и~) Л(г) д ~ — + — — — — '=ф, дГ дх 2 д„2 Для этого уравнения в силу его дивергентной формы уравнение эволюции первого моменза остается тем же, что и для уравнения Лиувилля, т.е.
имеет вид (2.9), а уравнение эволюции выборочной дисперсии, как легко проверить, совпадает с соответствующей эмпирической производной п~~е . Отметим, что уравнение Фоккера-Планка является не приближенным, а точным, если процесс имеет независимые приращения, которые распределены нормально. Прн независящих от времени величинах и н Я это уравнение описывает перенос и диффузию вероятности для гауссовского белого шума. Для иестациоиарного процесса оно играет роль модельного и является определенным уточнением уравнения Лиувнлля, если есть основания считать, что в исследуемом процессе присутствуют случайные блуждания. Некоторым «оправданием» такой не вполне корректно обоснованной модели служит то, что уравнение Фоккера-Планка активно (и также не вполне обоснованно) применяется во многих задачах статистической физики.
Необоснованность же уравнения связана с тем, что гауссов белый шум является математической абстракцией„на практике ис реализующейся, поскольку пе может реально наблюдаться процесс, нме1ощий автокорреляциониук> функцию в виде дельта-функции. С целью обобщения уравнения (3.7) прн построении модели эволюции ВФР, которое должно приводить к верным эмпирическим значениям производной по времени для выборочных моментов вплоть до порядка г; вводим эмпирически определяемые величины Ь ~) ~-2 .И-й .
ЛА(г) = уг Х ( Л)у~ . 3русоу1х~ ~ у и) ХА й и составляем уравнение Легко проверяется, что в силу этого уравнения,й = У+(хй), и1 = ва ). Важно подчсркнуть, что количество учитываемых эмпирических выборочных моментов в (3.9) зависит от горизонта и желаемой точности прогноза, Если оказывается, что при этом близость между ВФР должна быть не больше заданного числа п, то, как указывалось выше, сами моменты должны определять ВФР с такой же точностью. Это означает, что их количество не может превосходить кТ, которое, в свою очередь, пе превосходит 2т. Например, при в-(1ГГ-2/Т) корректной моделью эволюции ВФР является уравнение Лиувилля (2.8). Если е-(2~Т-4/Т), то можно использовать уравнение Фоккера- Планка (3.7), при а-(4ГГ-6/77 можно включить в рассмотрение третью просгранственную производную и тэь Численный алгоритм прогнозирования ВФР по уравнению (3.9) использует шаблон центральных разностей Л~ Я для «пространственных» производных по х и имеет вид В частности, для уравнения Фоккера-Планка (3.7) имеем следующую дискретную схему вычисления ВФР па следующем временном слое: 1 1 Лх+1)(1+0(хг)(х~)2(1~)Х(1~)(+11)у(+10+ + — Ях+1!)- 2ЯхД+ Г(х-1Д).
1(г) В следующем параграфе проведено объединение разработанных моделей и алгоритмов в единую прогнозную методику. 4.4. Методика построения прогноза с заданными горизонтом и точностью Совокупность моделей и соответствующих расчетных алгоритмов, описанных выше, составляет целостную методику прогнозирования псстационарных временных рядов.
В этом параграфе проводится систематизация разработанных в диссертации алгоритмов решений отдельных подзадач в упорядоченную последовательность действий, результатом которых является прогноз ВФР или временного ряда на заданный горизонт с заданной точностью. 4 4 1. Исходные т ебования к ~остановке задачи, Ф Итак, пусть имеется временной ряд х(~) в объеме значений г = 1,~ ...,Ф . Пусть также задано число 0 < ь. < 2, характеризующее допустимую нсточность в определении ВФР. Разумеется, практически интересными являются малые в, например 0«в <0,15. В Задаем интересуюший нас горизонт прогноза г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
