Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов (1102322), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Это означает, что в системе нет источников вероятности, т,е. вероятностное пространство является полным, В этом случае Ылф=-О, что согласуется с представлениями статистической механики, в которой компоненты фазовой координаты ~ считаются независимыми.
Однако следует заметить, что в случае выборочного распределения конечного объема елкой независимости может и не быть, т.к. корреляция между выборочными значениями х и х для рядов, встречающихся, например, в экономстрике, как правило, отлична от нуля, В то же время «интеграл» от совместного эмпирического распределения двух величин по одной нз пих, т.е.
сумма по всем соответствующим ее значениям, даст эмпирическое распределение по оставшейся переменной в силу самого правила построения совмеспюй ВФР. Но мера в таком фазовом пространстве не обязана быть динамически-инвариантной, что особешю естественно для нестационарных рядов. Нашей целью будет создание прогнозной модели для «однофазной» ВФР ~(х,г), поэтому достаточно ограничиться рассмотрением кинетических уравнений для дх ускорений и ускорений следующего порядка.
Например, набор величии — представляет дх собой временной ряд из отношений Лх Л(х(г) - х(г-1)) х(г) -2х(е-1)+ х(г -2) х(г)- (г-1) х(г)-. (~-1) дх Лналогнчпо определяется и эмпирическая производная —. Й! В случае неопределенносп~, которая может возникнугь в (2,8) при нулевой правой части и нулевом значении плотности г"(х,~) в данной точке х, предлагается линейная интерполяция скорости по левому и правому пределам: м(х,г)1Л ) = ухр(х-о,х,х)Н+ — — — ухг(х+О,х,г) И.
(2.10) 1... 1 2Дх- О,~) 2Х( '+0,~) В дискретном случае положим Введем следующие среднис по х величины в момент времени и ,и(г) =(х) -- )тих,г)гй, Б(г) =(п(х,г)) = )и(х,~) Ях,г)~Й. (2.12) Найдем скорость изменения скользящего среднего н(г) в силу уравнения (2.8). Поскольку, как отмечалось выше, фактическая область изменения наб1подасмых величин х конечна, то мы не имеем возможности строить эмпирическую ВФР с бесконечной областьк1 определения, т.к. все интегралы, вычисляемые численно — принципиально собственные. Тогда при реализации численной пропслуры следует ввести ряд фиктивных промежутков изменения случайной величины х, количество которых на единицу больше порядка разностных операторов, фигурирующих в модели. В этих фиктивных промежутках значения ВФР и ее производных равиь| нущо.
Удобно считать эти граничные точки без ограничения общности точками +1. 106 Поскольку уравнение (2.8) записано относительно эмпирической ВФР, то будем его называть вэмпнрическим» уравнением Лиувилля. Это означает, гго скорость изменения ВФР п(х„г) является параметром, определяемым по данной конкретной выборк~ в м~~ен~ г, а не выводится из каких-либо уравнений, как в традиционной статистической механике. Это замечание существенно, т.к. у нас в действительности нет динамической системы, для которой можно записать уравнение (2.8), а есть лишь некоторая ее формальная аналогия, о чем уже говорилось вьппе, Из (2.8) и (2.12) получаем обычным методом — дифференцированием (2.12) по врсмени и носледующнм интегрированием по частям — эмпирическое уравнение эволюции первого момента ВФР в виде — = ~х — ах = У+(х8(х,«)~. Ии б«' Й' д~ (2,13) Это уравнение означает, что изменение со временем среднего значения ряда равно средней скорости изменения значений ряда по скользящей выборке плюс среднее значение произведения х на дивсргенцию фазовой скорости, гго совпадает с представлениями математичсской статистики в дискретном случае.
Таким образом, уравнение (2.8) является адекватной моделью для описания зволкщии первого момента (2,14) Потребуем, чтобы объем выборки и горизонт прогноза удовлетворяли описанным выше в главе Ш условиям оптималыюго согласования (3.2,6) или (3.2,9), в зависимости от уровня сложности модели. В агом случае мы прогнозируем ВФР внутри границ сс г-«;- стацио нар ности. Опишем соответствующий алгоритм численного построения прогноза ВФР иа некотором интервале времени, меньшем горизонта прогноза, Отметим„что, поскольку скорость и(х,«) в уравнении (2.8) не имеет прямого механического смысла, а является скорее случайной величиной, то для прогноза может быль предпочтительнее использовать ие значение и(х,«) в текущий момент времени, а взять некоторое среднее значение.
Если прогноз делается на горизонт г, то ВФР т-е-стационарна, так что средняя скорость по промсжутку Ь,„(«) =1« — г+1, «1 также может бьп.ь использована в качестве модельной зависимости в уравнении Лиувилля. Таким образом, возможные варианты прогноза зависят от способа определения функции и(х,«) по известным данным в предыдущие моменты времени и схемы дискретизации уравнения Лиувилля. 107 У Определение 7, Прогнозом ВФР на шаг г будем называть г-е-ста««покорную ВФР, построенную к моменту времени «+ г па основе элгпнрического уравнения эволюиии по данным выборки Ь(«-Т, «) = 1« -Т, «1 ж «з(«), известны к моменту времени «, А Определение 8, Ои«ибкой прогноза ВФР в момент времени 1 буден называть расстояние л«елсду прогнозной ВФР 7(х,«) и «рактической «(х,«), пос«проенными по выборкам равных объемов.
Обозначим соответствуюи«ую величину в(1): Для прогноза внутри промежутка т-а-стационарности функцию и(х,«) и фх,«) естсственно определять методами, примсняемымн к стационарным рядам регрессионными илн автокорреляционными. Внутри промежутка Л,. («) функцию и(х„«) в момент времени «начала пропюза можно аппроксимировать по известным значениям и(х,«') в предшествующие моменты времени.
Например, если применить линейную регрссси«о на время, взяв в качестве промежутка усреднения по времени любой интервал внугри промежутка Л,(«) длительность«о от ! до г дней, то получим модель скорости в 2« — р — 1 и(т,«) = й(х)+ ба(х), 1 < р < г; «н [1, р[; р'-1 Р 1 Р й(х)= — ~~> и(х,«'), а(х)= — "> (и(х,«*) — й(х))[2«* — р-1). р «ч=-1 гР, 1 комбинировании левой и правой разпостных производных по х имеет вид У(х*«+1) = [1+ я(х «)+(1 — 2«г)и(х «)1Х(х «)+ + «п«(х — 1, «)«(х — 1, «) — (1 — «х)и(х+ 1, «)«(х+ 1, «) (2.16) Параметр схемы а варьируется в (2.16) от О до 1. Этим крайним значениям отвечан«г схемы с правой и левой разностями соответственно.
При а = 0,5 получаем схему с центральной разностью. Следуя определеншо 8, ошибкой прогноза ВФР в момент времени «+1 является значение функционала л(«+1) = )[«(х,«+1)-«'(х,«+1)~«х. На ряде примеров„проанализировапных в [59, 6Ц, оказалось, что ошибка построенного пропюза как функция параметра сс имеет один локальный минимум в то «ке и =- 0,5, т.е. наиболее точной для рассматриваемой задачи является дискретная схема с центральной разностью. Примеры прогнозов ВФР приведены ниже в параграфе 4.5. 108 Далее полученная зависимость и(х,«) распространяется на моменты времени за пределами промежутка Л («), в частности, на момент «+ г. Существует много методов численного решения уравнсння переноса [15, 16, 721, В данной работе выбрана линейная схема первого порядка точности, поскольку для скорости и(х,«) также выбрана линейная аппроксимация (2Л5). В этой связи следует также оценить, как влияют явные схемы дискретизации первого порядка уравнения Лнувнлля на «очность прогноза ВФР.
Дискрстнь«Й а~ало~ уравнения (2.8) при 4.3. А»горн»э пропкгэ ВФР н» внове урввнвнн» Фоккер»-Плвию Р о и г а» а. < Э<» нелюэ <3 «,< «В" ((*-л<г((г <<кг»а, 3 - 2 (3 33 <»< -э . » э г а б йл» ур» (2»(.И:» — „-= .-'-к — ~;-„-- ' —.--ю — ~-.-- с - ~-- м» Ф В Ф „, йр »,Ф«'-»эгон 3(<*-«3' '<.-В<ба (( - ('в~ Врбру Р р ВР э .»йюпр у <2.93.
Г < Ю и йэ б п»а»вюээрээ йр<»аеюр .г в Эе л л»»Й 3» Й,юээм»; 32Э«-3<~, ~в< э ( Л О<.в(+э, <3 23 < о гле 3 (( -в(<33<3(лф В ээээ» ну«урна»ввв амана» вм(эр мой манерна пюу»эю э< =йпг»Р«,»3 Ор( б«РВ»й гере м.мю юваэ»ююамэг<3.3(ээюбмэвмнкэ.»а»м юэ мвйп» г »авар»айээа ю йй»йввйй:в абер<ам. <33» м<нг мэ эйвэйг г»реэ< й абем.
л»у» э мнав ВФР эа пою<ой«в< ркэ», рва мобюаы» гва !3 в в»ра<эфе 25,эюэлпнаюрю.3234.0»ээм б р в» пг*щ < рмэюмвиббб н пай. ВВВВВВЗВ- Дфоп Рю. 32. бу»»»ю »а мил»ме ла ннмв (элн» «< э»3 в эюнаэл (прела ю«л»3 вен аээв Вй Ы9 10 ано, ...,...„.......,-....,....., о -' я"а"а ~"а Р Я а ~ И ~ 6 И И 33 Р .33.С~а:йвйвсйнй нйюю4ювй аю 1 юойрюнРаавюо ййв1 кнк в ноар осанной ювн юкю нвсарйю и сравню юнаке коню ннов н йюпюю ю сюоаовннсайрсювсвнюаювюйннсвр1 йвврнй34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
