Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов (1102322), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Это дает возможность прогнозировать на г шагов вперед каким-либо методом, применяемым к стационарным рядам. Точность прогнозирования будет не ниже а в силу того, что такую точность уже дает наивный прогноз. Важно иметь в виду, что состоятельность (т,е. асимптотическая сходимость по вероятности) этой оценки в общем случае не может быль установлена ввиду нестационарности ряда. Распределение статистики горизонтного ряда (Рнс. ЗО) представлено на Рис. 31.
Рнс. 31. Эмпирическая функция распределения статистики горизонтпого ряда Щ 21, 0,06) для ряда, представленного на Рис. ЗО, слева Из графиков Рис, 30-31 видно, что значения горизонтного ряда находятся вблизи своего теоретического максимума, Это означает„что детерминистическая составляющая ряда весьма мала. В приложении приведены также блок-схемы алгоритмов других подзадач, используемых при пропюзированни ВФР. Они близки к алгоритму, описанному в данном параграфе, поэтому в основном тексте их описание пе приводится. После определения оптимального объема выборки н построения по нему соотвегствутощей функции распределения строится ее прогноз иа основе эмпирического эволюционного уравнения, Ниже описаны две кинетических прогнозных модели, 101 4.2, Алгоритм прогноза ВФР на основе уравнения Лиувилля Исследуем вопрос о том, какими уравнениями имеет смысл описывать эволюцию эмпирической ВФР.
С одной стороньь поскольку ВФР строится по конечной выборке данных, то такое уравнение по своему существу должно быть дискретным. С другой стороны, качественные черты модели более заметны в непрерывном описании„дискретная форма которого будет представлять собой численную схему расчетов в каждом конкретном случае, Поэ.гому сначала рассмотрим модели эволюции ВФР в дифференциальной форме.
Такая модель должна основываться па некотором аналоге уравнения Лиувилля, выражающего закон сохранения вероятности со временем, и содержать алгоритм его решения с заданной точнопгью. Тем самым выборочной функции распределения будет локально по времени сопоставлена некоторая динамическая система. Отмегим здесь, что некоторые динамические системы могуг обладать особенностями в фазовом пространство не только в смысло классических особых (т.е.
стационарных) точек ноля скоростей ~4, 5, 25, 28, 35)„но и в смысле локальной неразрешимости уравнсний динамики относительно фазовой скорости ~58). В последнем случас уравнение Лиувилля должно быть дополнено правилом прохождения через особенность. Здесь проявляется связь теории динамических систем со случайными процессами, состоящая в том, что некоторые временные ряды, не сводящиеся методом ССА ~4б) (см.
параграф 1.1) к исследованию невырожденных динамических систем, могут быть смоделированы вырожденными системами, вероятностный закон рассеяния для которых в окрестности особых точек соответствует рассматриваемому случайному процессу. Если нет специального указания на поведение систсмы в особой точке„то она может с некоторой вероятностью продолжить движение по лк>бой из доступных ей траекторий. Статистические свойства таких систем изучались в ~58, 67).
Численное исследование таких систем в окрестности особых точек приводит к хаотическому поведению траектории, рассматриваемой в дискретные моменты времени. В литературе весьма подробно носледовшпя вопросы возникновения хаоса в динамических системах ~сьь, напр., монографии ~37, 40)), а также изучены и классифицированы особенности динамических систем в виде дифференцируемых отображений ~4б, 47, 87). В первых системах хаос возникает при определенных параметрах дискретизации дифференциальных уравнений движения, в которых не было каких-либо особенностей.
Во вторых системах особенности присущи именно дифференциальному уравнению, а при дискретизации опи проявляются лишь приближенно и при достаточно мелком шаге разбиения: тогда в силу нсоднозначности продолжения траектории ~если не бьшо указано правило продолжения через особую 102 точку) при численном моделировании возможно возникновение хаотического поведения. В последнем случае уравнение Лиувилля имеет некоторые черты «эмпирического», т.к. оно дополняется некоторыми внешними условиями, обеспечивающими проход через особое решение, возможно, в виде вероятностного выбора каждой из траекторий. Тем самым статистическая механика динамических систем с особенностями образует связь с теорией случайных процессов и, в частности, временных рядов.
Итак, в диссертации предлагается прогнозная модель нестационарных временных рядов на основе уравнения эмпирической эволюции выборочной функции распределения, т.е. на основе эмпирического уравнения Лиувилля, Использование этого эвол|оционпого уравнения является пе вполне законным с той точки зрения, что формально у нас нет динамической системы, в силу которой эволюционирует распределение начальных условий, т,с.
распределение ансамбля таких динамических систем. В качестве псевдо- скоростей, псевдо-ускорений и т.п. рассматриваются выборочные эмпирические зависимости средних значений разностных производных временного ряда по текущему совместному распределению этих величин, В результате указанного усреднения почучается некоторая формальная аналогия с величинами, входящими в уравнение Лнувилля в статистической механикс.
В действительности механической системы у нас, вообще говоря, нет, поскольку иет уверенности в том, что рассматриваемый временной ряд генерируется некоторой динамической системой с дискретным временем. Термин «уравнение Лиувилля» используется здесь в том смысле, что это уравнение эволюционного типа, которое по состоянию системы в предыдущий момент времени позволяет найти состояние в следующий момент, В силу вероятностного характера динамики, порождаемой случайным временным рядом, эта эволюция должна пониматься в некотором усреднснном аспекте, Далее в работе предполагается, что динамика системы„ которая соответствует эмпирическому уравнению Лиувилля, не имеет особых точек, т.е. фазовая скорость коррек пю определена. Тогда все области фазового пространства Г такой системы регулярны, т,е.
фазовый поток однозначно определяет эволкщию функции распределения. Геометрия фазового пространства динамической системы детально описана в (191, Пусть задана некоторая плотность распределения начальных состояний ро(хо). Рассмотрим также некоторую функцию В(х) фазовых переменных, Значение динамической величины 8(х) в момент времени г с учетом того, что х(г) =0~,, х(гп), символически записывается в аиде 8 (.) = ~х(г»= ~6,, ММ= ', „СОМЛ 103 Среднее значение величины (2 1) по начальному распределению РО определяется как интегРал от нее но фазовомУ пРостРа»»ствУ с весом РО ,' (11»)о = ф6»,го (хо))Ро(хоМо = ф~»,»о(х))Ро(хМ = — ~Ро(х)~Й ~В(х )ф»»о (х) — х )~1х = ~1»(х )Р~ ~о (х )зй = (В) (2.2) Г Г г Последнее из равенств в (2.2) представляет среднее значение динамической величины В(х) в произвольный момент времени по распределению Р,,О(")=- $Р1»(х)4~:»»О(х)-')~.
г (2.3) Таким образом, выражение (2.3) имеет смысл плотности распределения в момент времени а Из (2.3) следует уравнение эволюции — Р»~ (х)= )Р~»(х)~(х)К(О»» (х)-х )гй=-)Ро(х)~(х) —,д(О»» (х)-х)1й= Г Г = — ', 3Р ( М М~,,(х)- '~й= — ',~(')Рц„( ')=--Л (';Р,„(.')) г (2.4) Таким образом, уравнение Лнувн»» яя (2.4) для динамических систем записывается в виде закона сохранения для фазового обьема. Рассмотрим теперь уравнение, являющееся аналогом (2,4), полученным на основе статистической обработки эмпирических данных.
Введем двумерную ВФР Ру(х,х,г) совместного распределения случайных величин х н х исходного ряда и ряда его произвол»»ой, полученного взятием разностей х(г)-х(»-1) в соседние моменты времени. Можно рассмотреть ВФР, зависящую и от большего числа производных„т.е. функцию вида Е(х„т,х,...,г), но надо помнить об ограниченности объема выборки заданной величиной 7'. В силу конечности объема выборки невозможно эмпирически определить производную более высокого порядка, чем Т-1. Более того, чтобы оперировать одинаковыми массивами данных по каждой из г производных, необходимо иметь исходный ряд в количестве Т+г элементов.
Следовательно, чтобы можно было содержательно обсуждать задачу об эвол»оции, например, двумерной ВФР РГ(х,х,г), число доступных для анализа элементов ряда 104 должно быть на 1 больше, чем в выборке. Такое включение естественным образом содержится в отрезке (г -Т, г1: крайний левый элемент х(г-Т) окна Ь(~) будем счита.гь виртуальным, т.с. не принадлежащим анализируемой выборке, а сами выборочные средние будем определять по данным х(г-Т+1), х(г-Т+2), ..., х(г). Тем самым мы будем считать, что в окне ~ф) содержится не Т+1, а ровно Т элементов.
Формально из сохранения во времени нормировки функции распределения следует уравнение Лиувилля (2.4), которое применительно к рассматриваемой задаче имеет вид +ИЬфГ(~,~))= Рй~ф, ~ = (х,х,,). (2,5) д~ распределения одной переменной, хотя на стадии вывода соответствующего уравнения понадобится совместное распределение Г(х, х, ~), Однофазная ВФР определяется формулой Ях,г) = ~Г~х,х,~)~Й, (2.б) Обозначим через и(х, «) функцию средней эмпирической скорости по распределению Р"(х,х,Г), а через я(х,~) среднее значение дивсргенцни фазовой скорости: и(х,~)„~"(х,Г) = ~хГ(х,х,г)~И, у(х,~)ЯхД = ~Ях,х,Š— + — гй. Тогда из (2.5) следует, что уравнение эволюции для Дх, г) имеет вид Численное определение среднего значения дивергс1щии в правой части (2.8) использует эмпирические данные по выборке оптимального объема для скоростей, Обычно предполагается, что дивергенция в (2.5) берется в пространстве фазовых переменных, в котором введена динамически-инвариантная мера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
