Асимптотическое при больших временах поведение решений некоторых аналогов уравнения Кортевега-де Фриза (1102254), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть Φ(u) удовлетворяет энтропийным условиям на(u+, u−), выпукла на (u+, û) и монотонна на (û, u−) для некоторого û ∈(u+, u−). Пусть существует единственный корень u∗ уравнения Φ(u) =0 на множестве (u−, ∞). Пусть b достаточно мало, т.е. таково, чтоpaψ− < 0, где ψ− = b−αΦ+b(u−ϕ),α=(b−b2 − 4aΦ′ (u+))/2,min−int++Φmin = min Φ(u), umin = Argminu∈(u+,u− ) Φ(u), ϕint — единственное решеu∈(u+ ,u− )ние уравнения Φ(ϕ) = b Φmin /(b − α+ ) на отрезке [umin , u−].
Тогда если2ψ−u∗ < u− +,2(−bψ+ + aΦmax )где Φmax = max Φ(u), ψ+ =u∈(u− ,u∗ )aΦminb ,то бегущей волны не существует.9(7)Данное утверждение используется для построения явного примера отсутствия бегущей волны в случае, когда условие монотонности бегущей волны (5) нарушено, но функция потока f (u) является выпуклой на интервале(u+, u−).Пример 1.
Уравнениеut + (f (u))x + uxxx − uxx = 0,где u2 − 1, u ∈ (−1, 1),f (u) = −96(u − 1)(u − 49 ), u ∈ (1, +∞)48(8)не имеет решения вида u(x, t) = ϕ(x − λt), т.ч. ϕ(s) −−−−→ 1, ϕ(s) −−−−→ −1;s→−∞ϕ′(s) −−−−→ 0, ϕ′′ (s) −−−−→ 0s→±∞s→+∞s→±∞Также построен пример, показывающий, что при выполнении условия монотонности бегущей волны условие выпуклости функции f (u) на интервале(u+, u−) нельзя заменить на энтропийное условие на этом интервале.Пример 2. Положим a = 1, b = 1, u+ = −1, u− = 1, f (u) = u2 − 1на интервале (u+, u− − ∆), где ∆ < u− − ϕint.
Далее выберем u∗: ψ− +b(u∗ − u− ) = ψ ∗ < 0. На множестве (u−, +∞) положим fε(u) = −ε(u −u−)(u − u∗). На отрезке [u− − ∆, u−] доопределим f (u) так, чтобы f (u) ∈C 2(R), f (u) < 0 при u ∈ [u− − ∆, u−), f (u) монотонна на (u− − ∆, u−.Далее, основываясь на теореме о непрерывной зависимости решения задачиКоши от параметров задачи, можно показать, устремляя ε → 0, что придостаточно малых ε в построенном примере не существует бегущей волныдля обобщенного уравнения КдФБ.Таким образом, при нарушении условия монотонности бегущей волны,поведение бегущей волны определяется уже не только поведением функциипотока f (u) на интервале (u+, u−). Имеет значение также поведение функции f (u) на множестве (u−, +∞).
Таким образом, для обеспечения существования бегущей волны необходимо наложить некоторые дополнительныеусловия на поведение функции потока на этом интервале. В п. 1.1.5 приводятся достаточные условия существования бегущей волны в случае, когдапредполагается лишь выполнение энтропийных условий для функции f (u)10на интервале (u+, u−). Пусть U0 = {u : Φ(u) = 0, u > u− }. Если U0 6= ∅, товводится обозначение u∗ = min{u ∈ U0}.Утверждение 4. Пусть функция f (u) удовлетворяет на (u+, u−) энтропийным условиям, и выполнено хотя бы одно из условий:1. U0 = ∅;2.Ru∗Φ(ϕ)dϕ > 0;u+3. Φ0 +b2a (u∗− u−) > 0, где Φ0 =minu∈(u+ ,u− )Φ(u).Тогда бегущая волна для обобщенного уравнения КдФБ существует.Из данных условий, в частности, следует, что выпуклости функции f (u)на всей вещественной прямой достаточно для существования бегущей волныдля обобщенного уравнения КдФБ.§1.2 работы посвящен вопросу устойчивости бегущей волны для обобщенного уравнения КдФБ.
Устойчивость бегущей волны для уравненияКортевега-де Фриза-Бюргерса с квадратичной функцией потока была исследована в работе П.И. Наумкина, И.А. Шишмарева 1991г., где было показано,что монотонная бегущая волна и немонотонная бегущая волна (в случаенебольшого нарушения условия монотонности бегущей волны) являютсялокально устойчивыми для КдФБ. Результаты данного раздела являются обобщением результатов П.И. Наумкина, И.А.
Шишмарева на случайпроизвольной выпуклой функции потока.Отметим, что локальная устойчивость монотонной бегущей волны дляобобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса со строго выпуклойфункцией потока была доказана в работах H.Engler (2002), J.Pan, H.Liu(2003). Тем не менее, в данной работе мы приводим доказательство этого результата при помощи метода, предложенного П.И.
Наумкиным, И.А. Шишмаревым, т.к., во-первых, данный метод позволяет избавиться от требованиястрогой выпуклости функции потока, а во-вторых, что наиболее существенно, данный метод может быть применен в немонотонном случае.В п. 1.2.1 вводятся обозначения, в терминах которых формулируются11основные результаты главы:w(x, t; α) =Zx−∞nw(n) (x, t; α) =∂ w(x, t; α),∂xn(u(ξ, t) − ϕ(ξ − λt + α)) dξ,Z+∞2Jn(t; α) =w(n)(x, t; α)dx,J = J0 + Jn .−∞Далее приводятся неравенства между различными нормами функциии ее производных, играющие ключевую роль при доказательстве локальной устойчивости бегущей волны для обобщенного уравнения Кортевега-деФриза-Бюргерса. Для ∀w ∈ H n+k (R) справедливоn−iin,Ji+k 6 Jk n Jn+kk = 0, 1, .
. . ; 0 < i < n; n = 2, 3, . . .Для произвольной функции w(x) ∈ H1(R), такой чтосправедливы следующие неравенства+∞R−∞(9)x2w2(x)dx < ∞,sup |w(x)| 6 (4J0J1)1/4,(10)sup |ŵ(p)| 6 (16π 2J0W1 )1/4,(11)sup |ŵp (p)| 6 (16π 2W1 W3)1/4,(12)x∈Rp∈Rp∈Rгде ŵ(p) — преобразование Фурье функции w(x): ŵ(p) =−∞Re−ipxw(x)dx,+∞Z+∞W1 (t; α) =x2 w2(x, t; α)dx,Z+∞W3(t; α) =x4w2 (x, t; α)dx.−∞−∞В конце пункта делаются некоторые дополнительные предположения, используемые при доказательстве теорем, но не ограничивающие общность рассуждений:1.
b = 1, a > 0;2. производные f (j) (u), j 6 1, являются ограниченными функциями на R;3. λ = 0.12В п. 1.2.2 формулируется и доказывается теорема, являющаяся обобщением теоремы П.И. Наумкина, И.А. Шишмарева о локальной устойчивостимонотонной бегущей волны для уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса наслучай выпуклой функции потока. Под локальной устойчивостью бегущейволны понимается сходимость решения задачи Коши для обобщенного уравнения КдФБ к бегущей волне в случае, когда начальные данные представляют собой небольшое возмущение данной бегущей волны.
Решение задачиКоши понимается в смысле п. 1.3, где формулируется и доказывается теорема существования и единственности решения задачи Коши для обобщенногоуравнения КдФБ.Теорема 1.ям:1. Пусть функция f (u) удовлетворяет следующим услови-(a) f (u) ∈ C ∞(R);(b) f ′′ (u) > 0 ∀u ∈ R,f ′′(u) 6≡ 0 ∀u ∈ (u+, u−).Пусть выполнены условияpb √ > 2 f ′ (u−) − λ, a > 0,apb√>2λ − f ′(u+), a < 0.−a(13)2.
Пусть начальная функция u0 (x) достаточно близка к бегущей волне вследующем смысле: существует α, такое чтоZ+∞x2 w2(x, 0; α)dx < ∞.w(x, 0; α) ∈ H ∞ (R),(14)−∞Тогда существует такое c > 0, что если для H = H n (R) при некоторомнатуральном n > 3k w(x, 0; α) kH < c,то решение задачи Коши (1)–(2) для уравнения КдФБ существует, единственно, и существует постоянная A > 0, такая чтоk w(x, t; α) kH 6 √13At+1∀t > 0.(15)Из данной теоремы и неравенств (9), (10), в частности, следует и равномерная по x ∈ R сходимость соответствующего решения обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса к бегущей волне.В п. 1.2.3 формулируется и доказывается теорема, являющаяся обобщением теоремы П.И.
Наумкина, И.А. Шишмарева о локальной устойчивостинемонотонной бегущей волны для уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерсана случай выпуклой функции потока. Поскольку рассматриваются лишьнебольшие возмущения условия монотонности, то смысл данного результатав том, что при переходе от монотонной бегущей волны к немонотонной непроисходит потери свойства локальной устойчивости.Теорема 2.ям:1. Пусть функция f (u) удовлетворяет следующим услови-(a) f (u) ∈ C ∞(R);(b) f ′′ (u) > 0 ∀u ∈ R,f ′′(u) 6≡ 0 ∀u ∈ (u+, u−).2. Пусть начальная функция u0 (x) достаточно близка к бегущей волне вследующем смысле: существует α, такое чтоZ+∞x4 w2(x, 0; α)dx < ∞.w(x, 0; α) ∈ H ∞ (R),−∞Тогда существует такое c > 0, что если для H = H n (R) при некоторомнатуральном n > 3Z+∞k w(x, 0; α) k2H +x2w2 (x, 0; α)dx < c,−∞то решение задачи Коши (1)–(2) для уравнения КдФБ существует и единственно.Существует такое ε > 0, что еслиpb 0 < 2 f ′(u−) − λ − √ < ε, a > 0,apb< ε, a < 0, 0 < 2 λ − f ′(u+) − √−a14то существует постоянная A > 0, такая чтоA∀t > 0.(16)t+1Теоремы 1, 2 являются теоретическим подтверждением численных результатов А.Г.
Куликовского, А.П. Чугайновой, согласно которым бегущая волнадля обобщенного КдФБ оказывается устойчивой по отношению к возмущениям малой амлитуды.В §1.3 формулируется и доказывается теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обобщенного уравнения КдФБ с произвольной функцией потока f (u) ∈ C ∞(R), производные которой, начинаясо второй, ограничены.k w(x, t; α) kH 6 √Теорема 3. 1.
Пусть w0 (x) ∈ H ∞ (R), тогда для некоторого T > 0 существует единственное решение w(x, t) ∈ C ∞([0, T ]; H ∞(R)) следующейзадачи Коши: w + f (w + ϕ) − f (ϕ) + aw − w = 0,txxxxxx(17) w(x, 0) = w0(x),где f (·) ∈ C ∞(R), f ′′(·) ∈ D(R), ϕ(·) ∈ D(R)1 .2. Если норма решения k w(·, t) kH 3 (R) остается ограниченной с течениемвремени, то решение w(x, t) ∈ C ∞ ([0, +∞); H ∞(R)), т.е. существуетв целом по времени.Показывается, что доказательство существования и единственности решения задачи Коши, проведенное П.И. Наумкиным, И.А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
