Асимптотическое при больших временах поведение решений некоторых аналогов уравнения Кортевега-де Фриза (1102254), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Наумкиным, И.А. Шишмаревым(1991) и основанный на использовании неравенств типа Колмогорова междунормами функции и ее производных.Исследование асимптотического поведения решения уравнения ВеселоваНовикова проводится на основе метода обратной задачи рассеяния для двумерного оператора Шредингера при фиксированной энергии, развитого вработах П.Г. Гриневича, С.В.
Манакова, Р.Г. Новикова, С.П. Новикова. Врегулярном случае основной вклад в асимптотику вносит решение линеаризованного уравнения Веселова-Новикова, оценка которого проводится припомощи обобщения метода стационарной фазы, равномерного по значениямпараметра, принадлежащим неограниченной области. При отсутствии предположения о разрешимости всюду уравнений задачи рассеяния для двумер¯ного уравнения Шредингера анализируется решение ∂-задачидля модифицированного определителя Фредгольма интегральных уравнений задачи рассеяния.Научная новизна. В работе получены теоретические результаты о существовании и устойчивости бегущей волны для уравнения Кортевега-деФриза-Бюргерса с произвольной выпуклой функцией потока.
Был аналитически продемонстрирован новый эффект, отличающий обобщенное уравнение КдФБ от обобщенного уравнения Бюргерса и уравнения КдФБ с квадратичной функцией потока: отсутствие бегущей волны. Результаты П.И. Наумкина, И.А. Шишмарева о локальной устойчивости монотонной и немонотонной бегущей волны перенесены на случай произвольной нестрого выпуклойфункции потока, а также получена оценка скорости сходимости решения задачи Коши для обобщенного уравнения КдФБ к данной бегущей волне.В работе получен ответ на вопрос об асимптотическом поведении решенийуравнений Веселова-Новикова при ненулевой энергии (решений, являющихсяпрозрачными потенциалами в случае положительной энергии) в предположении о разрешимости всюду уравнений прямой и обратной задачи рассеяниядля двумерного уравнения Шредингера: показано, что данные решения равномерно убывают с течением времени; построена оценка скорости убывания.5В работе получены первые результаты о солитонах уравнения ВеселоваНовикова на неположительном уровне энергии: доказано отсутствие экспоненциально убывающих солитонов на отрицательном уровне энергии и солитонов кондуктивного типа на нулевом уровне энергии.Теоретическая и практическая значимость.
Работа носит теоретический характер.Исследование обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса вносит вклад в понимание взаимодействия дисперсионных и диссипационныхпроцессов в нелинейных средах. Результаты о существовании и устойчивости бегущей волны для обобщенного уравнения КдФБ объясняют некоторыесвойства асимптотического поведения решения данного уравнения, полученные численно в работах А.Г.
Куликовского, А.П. Чугайновой. Результаты могут быть использованы при построении асимптотики на больших временахрешения обобщенного уравнения КдФБ с произвольной выпуклой функциейпотока.Результаты об асимптотическом поведении решения уравнения ВеселоваНовикова вносят вклад в теорию интегрируемых нелинейных систем, в частности, в понимание механизма формирования солитонов для нелинейных интегрируемых уравнений.Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарахВЦ РАН по квазилинейным уравнениям под руководством проф.
А.А. Шананина (2009-2010 гг.), на семинаре "Квазилинейные уравнения и обратныезадачи"под руководством проф. Г.М. Хенкина, проф. Р.Г. Новикова, проф.А.А. Шананина (2010-2011 гг.), на семинаре факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ по нелинейным уравнениям под руководствомчл.-корр. РАН И.А. Шишмарева (2009 г.), на семинаре лаборатории прикладной математики (CMAP) Ecole Polytechnique во Франции (2011 г.), насеминаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН под руководством проф. А.В.
Арутюнова (2011 г.), на семинаре “Методы решения задач математической физики” ВЦ РАН (2011 г.), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ подруководством проф. А.С.Шамаева и доц. О.С.Розановой (2011 г.), на семинаре “Прикладные задачи системного анализа” под руководством академикаА.Б. Куржанского (2011 г.), на 52й, 53й, 54й научных конференциях МФ6ТИ (2009-2011 гг.), на международной конференции "Inverse problems andapplications"во Франции (2011 г.).Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе 5 в журналах, рекомендованных ВАК.Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двухглав, заключения, списка литературы и приложения.
Основной текст работыизложен на 128 страницах, приложение занимает 20 страниц. Список литературы включает 72 наименования.Краткое содержание работыВо введении обсуждается актуальность работы, дается краткий обзоррезультатов, связанных с темой работы, приводятся основные результаты, атакже излагается структура работы.Глава 1 посвящена изучению вопроса асимптотического поведения решения задачи Коши для обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса.В §1.1 рассматривается вопрос о существовании бегущей волны для обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса.
В п. 1.1.1 приводится постановка задачи, основные определения и предварительные замечания. Рассматривается задача Коши для обобщенного уравнения КдФБ:ut + (f (u))x + auxxx − buxx = 0,u(x, 0) = u0(x),(1)lim u0(x) = u±.x→±∞(2)Относительно данных задачи делаются следующие предположения:(a) a, b ∈ R, b > 0 (по умолчанию для определенности полагается a > 0);(b) u+ < u− ;(c) f (u) ∈ C 1(R), f (u) выпукла на (u+, u−) или удовлетворяет энтропийнымусловиям на (u+, u−).Будем говорить, что функция f (u) удовлетворяет на (u+, u−) энтропийным условиям, если выполнено условиеf (u) < f (u−) +f (u−) − f (u+)(u − u−),u− − u+7u ∈ (u+, u−).В дальнейшем при предположении энтропийных условий мы будем такжепредполагать всюду, чтоf ′(u+) <f (u−) − f (u),u− − u+f ′ (u−) >f (u−) − f (u+).u− − u+(3)Под бегущей волной для обобщенного уравнения КдФБ понимается решение u(x, t) = ϕ(x − λt):1.
ϕ(x − λt) — решение обобщенного уравнения КдФБ;2. lim ϕ(s) = u− , ∃ lim ϕ(s) = u+ ;s→−∞s→+∞3. ∃ lim ϕ′ (s) = 0, ∃ lim ϕ′′(s) = 0.s→±∞s→±∞Лемма 1. Если бегущая волна для уравнения КдФБ существует, то еескорость определяется однозначно из условияλ=f (u−) − f (u+).u− − u+(4)Введем обозначения Φ(ϕ) = f (ϕ) − λϕ + d, d = λu− − f (u−). В данныхобозначениях уравнение КдФБ для бегущей волны записывается в видеaϕ′′ − bϕ′ + Φ(ϕ) = 0.Выпуклость функции f (u) эквивалентна выпуклости функции Φ(u). Энтропийные условия на интервале (u+, u−) в терминах функции Φ(u) записываются следующим образом: Φ(u) < 0, u ∈ (u+, u−); условие (3) выглядитследующим образом: Φ′ (u+) < 0, Φ′(u−) > 0.В п.
1.1.2 формулируются условия, при которых поведение бегущей волны для обобщенного уравнения КдФБ аналогично поведению бегущей волныдля обобщенного уравнения Бюргерса (или, иначе говоря, условия доминирования диссипации в обобщенном уравнении КдФБ над дисперсией).Утверждение 1. Пусть f (u) ∈ C 1(R) и функция f (u) выпукла. Пусть,кроме того, выполнены условияpb√ > 2 f ′ (u−) − λ, при a > 0,a(5)pb√> 2 λ − f ′ (u+), при a < 0.−aТогда бегущая волна существует, единственна и монотонна.8В п. 1.1.3 изучение вопроса о существовании бегущей волны сводится кизучению поведения траектории динамической системы на плоскости.Утверждение 2.
Бегущая волна для уравнения КдФБ существует тогдаи только тогда, когда для динамической системы dϕ = 1 ψ,dsa(6) dψ = b ψ − Φ(ϕ).dsaсепаратриса S, входящая в седло (u+, 0) при s → +∞ из области {ϕ >u+, ψ < 0}, при s → −∞ входит в точку (u−, 0).В п. 1.1.4 демонстрируются отличия в условиях существования бегущей волны для обобщенного уравнения Бюргерса и обобщенного уравненияКдФБ. Известно, что для обобщенного уравнения Бюргерса необходимыми достаточным условием существования бегущей волны, удовлетворяющейусловиям 2, 3 является выполнение энтропийного условия для функции f (u)на интервале (u+, u−).
Показывается, что в случае нарушения условия монотонности бегущей волны (5) выпуклости функции f (u) на интервале (u+, u−)недостаточно для существования бегущей волны для обобщенного уравнения КдФБ. Также показывается, что при выполнении условия монотонностибегущей волны нельзя ослабить условие выпуклости функции потока f (u),заменив его на энтропийное условие на интервале (u+, u−).Прежде всего, формулируется достаточное условие отсутствия бегущейволны для обобщенного уравнения КдФБ.Утверждение 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
