Асимптотическое при больших временах поведение решений некоторых аналогов уравнения Кортевега-де Фриза (1102254)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиНа правах рукописиКазейкина Анна ВасильевнаАсимптотическое при больших временах поведение решенийнекоторых аналогов уравнения Кортевега-де Фриза01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамическиесистемы и оптимальное управлениеАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква 2011 г.Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на кафедре системного анализа факультета Вычислительной математики и кибернетики.Научный руководитель — доктор физико-математических наук,профессор Шананин Александр Алексеевич.Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,профессор Фаминский Андрей Вадимович;кандидат физико-математических наук,доцент Розанова Ольга Сергеевна.Ведущая организация — Вычислительный центр им.

А.А. ДородницынаРАН.Защита состоится 28 марта 2012 г. в 15 часов 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университетеимени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2ой учебный корпус, факультет ВМК, ауд.685.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова.Автореферат разослан “”Ученый секретарьдиссертационного совета,доктор физико-математических наук,профессор2012 г.Е.

В. ЗахаровОбщая характеристика работыАктуальность темы. Уравнение Кортевега-де Фризаut + uux + uxxx = 0описывает процессы, происходящие в бездиссипативной среде с малой нелинейностью и дисперсией. Оно возникло в гидродинамике в конце XIX века, однако особенное внимание исследователей уравнение КдФ привлекло вовторой половине XX века в связи с открытием точного метода интегрирования данного уравнения — метода обратной задачи рассеяния для стационарного уравнения Шредингера (C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D.

Kruskal,R.M. Miura, 1967). Применение данного метода позволило проанализироватьасимптотическое при больших временах поведение решения данного уравнения. Оказалось, что асимптотика решения задачи Коши с убывающиминачальными данными предсталяет собой совокупность солитонов — решений, распространяющихся и взаимодействующих с сохранением формы. Солитоны играют важную роль и в решении задачи о распаде ступеньки дляуравнения КдФ: согласно исследованиям А.В.

Гуревича, Л.П. Питаевского,В.В. Авилова, С.П. Новикова ударной волне бездисперсионной и бездиссипативной гидродинамики в этом случае соответствует бегущая волна с солитоноподобными осцилляциями на переднем фронте. В целом традиционновопрос о существовании и поведении бегущих волн (в частности, солитонов)занимает центральное место в теории дисперсионных нелинейных сред.При описании явлений в средах, обладающих как дисперсией, так идиссипацией используется вязкостный аналог уравнения КдФ — уравнениеКортевега-де Фриза-Бюргерса (КдФБ)ut + uux + uxxx − buxx = 0,b > 0.Данное уравнение встречается, например, в следующих областях:• описание слабых ударных волн в плазме при учете электронной и ионнойвязкости;• описание продольных волн в вязкоупругом стержне;• гидродинамические модели транспортных потоков (модель ЛайтхиллаУизема-Ричардса);1• дифференциальные аналоги дифференциально-разностных моделей математической экономики (модель Полтеровича-Хенкина);• задача о стационарной структуре разрывов решений нелинейных гиперболических уравнений.Присутствие вязкостного члена существенно изменяет поведение решениярассматриваемого уравнения.

Например, в работе C.J. Amick, J.L. Bona, M.E.Schonbek (1989) показано, что наличие диссипации препятствует образованию солитонов: решение задачи Коши с убывающими начальными даннымидля КдФБ равномерно стремится к нулю с течением времени. Более сложным образом взаимодействуют диссипация и дисперсия в случае задачи ораспаде ступеньки. В работе П.И. Наумкина, И.А. Шишмарева (1991) показано, что при выполнении некоторого соотношения на коэффициенты дисперсии и диссипации бегущая волна для уравнения КдФБ ведет себя подобнобегущей волне для бездисперсионного аналога этого уравнения - уравненияБюргерса, в частности, является монотонной.

В случае же если указанноесоотношение на коэффициенты нарушается, дисперсия в уравнении проявляется в виде осцилляций бегущей волны по пространственной координате.Необходимо отметить, что в целом ряде задач уравнение Кортевега-деФриза-Бюргерса возникает как представитель целого семейства квазилинейных уравнений (включающего, в частности, уравнение типа закона сохранения и уравнение Бюргерса), члены которого представляют собой, например,дифференциальные аналоги одного дифференциально-разностного уравнения. Поэтому актуальной является задача исследования того, насколько похоже поведение решений уравнений из данного семейства.С этой точки зрения особенно интересным является рассмотрение так называемого обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерсаut + (f (u))x + uxxx − buxx = 0с неквадратичной функцией потока f (u), возникающей, в основном, вне рамок задач гидродинамики.

Как свидетельствуют результаты численного моделирования А.Г. Куликовского, А.П. Чугайновой (2004-2010) именно прирассмотрении неквадратичной функции потока наиболее существенно проявляется воздействие дисперсии в уравнении, приводящее к таким явлениям,2как отсутствие решения типа бегущей волны для уравнения КдФБ или появление в асимптотике нестационарных периодических структур. Таким образом, важно было бы получить некоторые аналитические результаты о взаимодействии дисперсии/диссипации в вязкостном аналоге уравнения КдФ снеквадратичной функцией потока.Случай, когда диссипация в обобщенном уравнении КдФБ доминируетнад дисперсией был исследован в работах H. Engler (2002), J. Pan, H.

Liu(2003), H. Yin, H. Zhao, L. Zhou (2009). В данных работах были полученыусловия, при которых бегущая волна для обобщенного уравнения КдФБ сострого выпуклой функцией потока существует, монотонна и локально устойчива. В связи с этим, основной интерес представляет изучение ситуации,когда наличие дисперсии вносит качественный вклад в поведение решениеобобщенного уравнения КдФБ, например, в виде немонотонности бегущейволны для данного уравнения.При построении обобщений уравнения КдФ на более высокие размерностивозникают различные аналоги данного уравнения. Так, известное уравнениеКадомцева-Петвиашвили получается при учете небольших возмущений решения уравнения КдФ по второй координате. Однако наиболее естественнымматематическим (2 + 1)-мерным обобщением уравнения КдФ является уравнение Веселова-Новикова∂t v = 4Re(4∂z3v + ∂z (vw) − E∂z w),∂z̄ w = −3∂z v,v = v̄,E ∈ R,z = x1 + ix2.Кроме того, что данное уравнение при v = v(x1, t), w = w(x1, t) сводитсяк классическому уравнению КдФ, оно к тому же является интегрируемымс помощью метода обратной задачи рассеяния для двумерного уравненияШредингера при фиксированной энергии.

Наконец, при E → ±∞ уравнениеВеселова-Новикова сводится к уравнениям Кадомцева-Петвиашвили I и IIсоответственно.При исследовании задачи рассеяния для двумерного оператора Шредингера С.В. Манаковым (1976) была обнаружена невозможность построениянетривиальной пары Лакса для данного оператора. Однако в той же работебыло продемонстрировано, что данная проблема решается изучением задачирассеяния для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энер3гии. Задача построения теории рассеяния для двумерного оператора Шредингера при фиксированной энергии была решена в цикле работ П.Г.

Гриневича, С.В. Манакова, Р.Г. Новикова, С.П. Новикова. Построение даннойтеории открыло возможность для детального исследования асимптотического поведения решения уравнения Веселова-Новикова.Первые солитоны для уравнения Веселова-Новикова на положительномуровне энергии были построены П.Г. Гриневичем и В.Е. Захаровым (1986).Р.Г. Новиковым (2010) было доказано, что, как и в одномерном случае, солитоны уравнения Веселова-Новикова являются прозрачными потенциалами.С другой стороны, в этой же работе Р.Г. Новикова продемонстрировано односущественное отличие солитонов уравнения Веселова-Новикова от солитонов уравнения КдФ: для уравнения Веселова-Новикова при положительнойэнергии не существует экспоненциально локализованных солитонов.Необходимо отметить, однако, что, несмотря на свою очевидную математическую значимость, уравнение Веселова-Новикова, в отличие от уравнения Кадомцева-Петвиашвили, оказалось относительно мало исследованным,а потому представляет весьма актуальную задачу теории нелинейных интегрируемых систем.Цель работы.

При исследовании вязкостного аналога уравнения КдФ— уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса — предполагается исследоватьвзаимодействие диссипационной и дисперсионной составляющей уравнения. Данное исследование проводится на основе анализа существования/устойчивости бегущей волны для уравнения Кортевега-де ФризаБюргерса.При рассмотрении двумерного обобщения уравнения КдФ — уравненияВеселова-Новикова — исследуется, как изменяются свойства данного нелинейного интегрируемого уравнения при переходе к более высокой размерности.

Прежде всего, рассматриваются решения, построенные по методу обратной задачи для двумерного уравнения Шредингера. В случае, когда уравнения задачи рассеяния не являются всюду разрешимыми, основной цельюисследования является выяснение возможности существования бегущих волн(солитонов) для уравнениия Веселова-Новикова.Общая методика исследования. Изучение вопроса существования бегущей волны для обобщенного уравнения КдФБ проводится при помощи ис4следования фазовых траекторий двумерной динамической системы. При доказательстве локальной устойчивости бегущей волны для обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса используется метод построения энергетических оценок, предложенный П.И.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации