Асимптотическое при больших временах поведение решений некоторых аналогов уравнения Кортевега-де Фриза (1102254), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Шишмаревым дляуравнения КдФБ, может быть без существенных изменений перенесено наслучай неквадратичной функции потока.Глава 2 работы посвящена анализу асимптотического поведения решенияуравнения Веселова-Новикова. В §2.1 приводится постановка задачи дляуравнения Веселова-Новикова∂t v = 4Re(4∂z3v + ∂z (vw) − E∂z w),∂z̄ w = −3∂z v,v = v(x, t),1v = v̄,E ∈ R,x = (x1, x2) ∈ R2 ,w = w(x, t),(18)t ∈ R,D(R) — класс функций из C ∞ (R), ограниченных вместе со всеми своими производными.15где обозначено∂∂t = ,∂t1∂z =2∂∂−i∂x1∂x2,1∂z̄ =2∂∂+i∂x1∂x2.(19)Рассматриваются гладкие, убывающие решения данного уравнения:v, w ∈ C(R2 × R), v(·, t) ∈ C 3(R2 ) ∀t ∈ R;q(t)|∂xj v(x, t)| 6|j| 6 3, ∀t ∈ R, x ∈ R2 для некоторых q(t) > 0, ε > 0;(1 + |x|)2+εw(x, t) → 0 при |x| → ∞.Уравнение Веселова-Новикова является наиболее естественным (2 + 1)мерным аналогом классического уравнения КдФ.
С одной стороны, приv = v(x1, t), w = w(x1, t) уравнение Веселова-Новикова сводится к уравнению КдФ. С другой стороны, уравнение Веселова-Новикова интегрируетсяс помощью метода обратной задачи рассеяния для двумерного уравненияШредингераLψ = Eψ,L = −∆ + v(z, t),∆ = 4∂z ∂z̄ ,z = x1 + ix2.(20)В частности, выполнение уравнения Веселова-Новикова гарантирует существование дифференциальных операторов A и B (третьего и нулевого порядков, соотвественно), таких что∂(L − E)= [L − E, A] + B(L − E)∂t(так называемая L − A − B тройка Манакова, аналог пары Лакса в одномерном случае).
В данном виде уравнение было получено Манаковым (1976 г.),а в явном виде - С.П. Новиковым и А.П. Веселовым (1984 г.).Согласно подходу, принятому в теории нелинейных интегрируемых систем, основное внимание уделяется вопросу существования/отсутствия солитонов для уравнения Веселова-Новикова. Решение (v, w) уравнения (18)является солитоном, если v(x, t) = V (x − ct) для некоторого c ∈ R2 и v → 0,w → 0 при |x| → ∞.В §2.2 приведены необходимые для дальнейшего изложения результатыиз теории рассеяния для двумерного уравнения Шредингера. Задача построения теории обратной задачи рассеяния для двумерного уравнения Шредингера была поставлена С.П. Новиковым. Основной вклад в решение этой задачи внесли П.Г. Гриневич, С.В. Манаков, Р.Г. Новиков, С.П.
Новиков.16Рассмотрим уравнение (20) с потенциалом v, удовлетворяющим условиюv(x) = v(x),v ∈ L∞ (R2 ),|v(x)| < q(1 + |x|)−2−ε,ε > 0, q > 0.(21)В п. 2.2.1 рассматривается задача рассеяния для двумерного уравненияШредингера на положительном уровне энергии E > 0. Известно, что длялюбого k ∈ R2 , такого что k 2 = E, существует единственное непрерывноерешение ψ + (x, k) уравнения (20) со следующей асимптотикой i|k||x|√iπxe−4+ikxpψ (x, k) = e − iπ 2π e f k, |k|+|x||k||x|!(22)1x+o p, при |x| → +∞равномерно по|x||x|для некоторой априорно не заданной функции f . Функция f = f (k, l), (k, l) ∈{k ∈ R2 , l ∈ R2 : k 2 = l2 = E} из (22) называется амплитудой рассеянияпотенциала v(x).
Потенциал v называется прозрачным, если его амплитударассеяния f тождественно равна нулю.Поскольку в одномерном случае известно, что солитоны уравнения КдФявляются безотражательными потенциалами, в двумерном случае основнойинтерес представляют решения уравнения Веселова-Новикова, являющиесяпрозрачными потенциалами. П.Г.Гриневичем и Р.Г.
Новиковым (1995) былипостроены прозрачные потенциалы для двумерного уравнения Шредингера, принадлежащие классу Шварца. Связь между солитонами уравненияВеселова-Новикова и прозрачными потенциалами была найдена в работеР.Г.Новикова (2011), где было показано, что солитонные решения уравнения Веселова-Новикова при положительной энергии, удовлетворяющие (21),являются прозрачными потенциалами.На положительном уровне энергии амплитуды рассеяния, вообще говоря, недостаточно для восстановления потенциала из класса (21).
Поэтомудля (20) на положительном уровне энергии вводятся дополнительные данные рассеяния. При k ∈ C2 , k 2 = E, Imk 6= 0 рассматриваются решенияуравнения (20), удовлетворяющие следующему асимптотическому условиюψ(x, k) = eikx(1 + o(1)),17|x| → ∞(23)(т.н. решения Фаддеева или экспоненциально растущие решения уравненияШредингера). Раскладывая функцию ψ(x, k) далее по степеням x, получаем −2iRekxa(k)eb(k)1++o,ψ(x, k) = eikx−πsgn(Im(k2k̄1))eikx−k2 x1 + k1 x2 −k̄2 x1 + k̄1 x2|x|при |x| → ∞.
Функции a(k), b(k), определенные таким образом, представляют собой дополнительные данные рассеяния для (20).Будем говорить, что уравнения прямой и обратной задачи рассеяния длядвумерного уравнения Шредингера на положительном уровне энергии всюдуразрешимы, если решения ψ(x, k) уравнения (20), удовлетворяющие условию(23), существуют при всех k ∈ C2 , k 2 = E, Imk 6= 0. В этом случае потенциал v однозначно восстанавливается по амплитуде рассеяния f и дополнительным данным рассеяния b. Отметим, что если потенциал v удовлетворяетнекоторому условию малости нормы, то уравнения задачи рассеяния всюдуразрешимы.В п.
2.2.2 приводятся основные понятия теории рассеяния для двумерногоуравнения Шредингера на отрицательном уровне энергии E < 0. Преждевсего, отметим, что в этом случае для уравнения Шредингера нет понятияамплитуды рассеяния. Данные рассеяния вводятся следующим образом. Приk ∈ C2 , k 2 = E рассматриваются решения уравнения (20), удовлетворяющиеследующему асимптотическому условиюψ(x, k) = eikx(1 + o(1)),|x| → ∞.(24)Раскладывая функцию ψ(x, k) далее по степеням x, получаем −2iRekxeb(k)1a(k)ψ(x, k) = eikx−πsgn(Im(k2k̄1))eikx++o,−k2 x1 + k1 x2 −k̄2 x1 + k̄1 x2|x|при |x| → ∞. Функции a(k), b(k), определенные таким образом, представляют собой данные рассеяния для (20) при E < 0.Будем говорить, что уравнения прямой и обратной задачи рассеяния длядвумерного уравнения Шредингера на отрицательном уровне энергии всюдуразрешимы, если решения ψ(x, k) уравнения (20), удовлетворяющие условию (24), существуют при всех k ∈ C2 , k 2 = E.
В этом случае потенциал vоднозначно восстанавливается по данным рассеяния b. Отметим, что если потенциал v удовлетворяет некоторому условию малости нормы, то уравнениязадачи рассеяния всюду разрешимы.18В п. 2.2.3 приводятся основные понятия теории рассеяния для двумерного уравнения Шредингера на нулевом уровне энергии E = 0. Как и в случаеотрицательной энергии, в этом случае для уравнения Шредингера нет понятия амплитуды рассеяния. Данные рассеяния вводятся следующим образом.При k ∈ C рассматриваются решения уравнения (20), удовлетворяющие следующему асимптотическому условиюψ(z, k) = eikz (1 + o(1)),z = x1 + ix2,|z| → ∞.(25)Раскладывая функцию ψ(z, k) далее по степеням z, получаем !−i(kz+k̄z̄)a(k) eb(k)1ψ(z, k) = eikz − iπeikz++o, |z| → ∞.kz|z|k̄z̄Функции a(k), b(k), определенные таким образом, представляют собой данные рассеяния для (20) при E = 0.Будем говорить, что уравнения прямой и обратной задачи рассеяния длядвумерного уравнения Шредингера на нулевом уровне энергии всюду разрешимы, если решения ψ(z, k) уравнения (20), удовлетворяющие условию (25),существуют при всех k ∈ C.
В этом случае потенциал v однозначно восстанавливается по данным рассеяния b. Основная отличительная особенностьзадачи рассеяния на нулевом уровне энергии состоит в том, что в общемслучае даже при сколь угодно малых значениях нормы потенциала v функция ψ(z, k) может быть не определена в точке k = 0.В §2.3 изучается вопрос об асимптотическом поведении решения уравнения Веселова-Новикова при ненулевой энергии в предположении о разрешимости всюду уравнений прямой и обратной задачи рассеяния для двумерногоуравнения Шредингера.В п. 2.3.1 формулируется и доказывается теорема об асимптотическомповедении прозрачного решения уравнения Веселова-Новикова при положительной энергии.Теорема 4.
Пусть выполнены следующие условия:• (v(x, t), w(x, t)) — решение уравнения Веселова-Новикова при E > 0;• v(·, 0) ∈ S(R2 ), где S обозначает класс Шварца;• w(·, 0) ∈ C ∞(R2 ), w(x, 0) = o(1), |x| → ∞;19• v(·, 0) — прозрачный потенциал при данной фиксированной энергии E;• уравнения задачи рассеяния для v(x, 0) всюду разрешимы (например,если v(x, 0) удовлетворяет соответствующему условию малости нормы).Тогдаconst(v(·, 0)) ln(3 + |t|)1 + |t|равномерно по x ∈ R2 при ∀t ∈ R.|v(x, t)| 6Из данного результата, в частности, следует, что прозрачные решения Теоремы 4 не содержат солитонов. Отметим, что в одномерном случае, напротив,хорошо известны безотражательные гладкие экспоненциально локализованные солитоны уравнения КдФ.Результат, аналогичный в некотором смысле Теореме 4, имеет место на отрицательном уровне энергии; этот результат формулируется и доказываетсяв п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
