Асимптотическое при больших временах поведение решений некоторых аналогов уравнения Кортевега-де Фриза (1102254), страница 5
Текст из файла (страница 5)
2.3.2.Теорема 5. Пусть выполнены следующие условия:• (v(x, t), w(x, t)) — решение уравнения Веселова-Новикова при E < 0;• v(·, 0) ∈ S(R2 );• w(·, 0) ∈ C ∞(R2 ), w(x, 0) = o(1), |x| → ∞;• уравнения задачи рассеяния для v(·, 0) (например, если v(x, 0) удовлетворяет соответствующему условию малости нормы).Тогдаconst(v(·, 0)) ln(3 + |t|)(1 + |t|)3/4равномерно по x ∈ R2 при ∀t ∈ R.Эта оценка оптимальна (для некоторого v(x, 0) существуют прямыеconstx = ct, вдоль которых асимптотика v(x, t) при t → ∞ равна (1+|t|)3/4 длянекоторой ненулевой const).|v(x, t)| 6В §2.4 при отсутствии предположения о разрешимости всюду уравненийобратной задачи рассеяния для двумерного уравнения Шредингера изучается более частный вопрос о существовании/отсутствии солитонов для уравнения Веселова-Новикова.20Несмотря на то, что класс решений уравнения Веселова-Новикова, рассмотренный в §2.3, достаточно широк, тем не менее, Теоремы 4, 5 не дают исчерпывающего ответа на вопрос о существовании/отсутствии солитонов для уравнения Веселова-Новикова.
Действительно, солитоны уравненияВеселова-Новикова могут возникать в случае, когда уравнения задачи рассеяния разрешимы не при всех значениях спектрального параметра или, иначеговоря, когда данные рассеяния имеют особенности. Тем не менее, при отсутствии предположения о разрешимости уравнений задачи рассеяния, можноуказать некоторые функциональные классы, в которых не существует солитонов уравнения Веселова-Новикова.В п. 2.4.1 приводятся известные результаты о существовании и отсутствии солитонов для уравнения Веселова-Новикова на положительномуровне энергии. П.Г. Гриневичем, В.Е. Захаровым (1986) были построеныпрозрачные решения уравнения Веселова-Новикова при E > 0, являю щие солитонами уравнения Веселова-Новикова, убывающими как O |x|1 2 .Р.Г. Новиков (2011) продемонстрировал, что, в отличие от одномерногослучая, для уравнения Веселова-Новикова не существует экспоненциальнолокализованных солитонов.В п.
2.4.2 результат Р.Г. Новикова об отсутствии экспоненциально локализованных солитонов для уравнения Веселова-Новикова на положительномуровне энергии переносится на отрицательный уровень энергии.Теорема 6. Пусть выполнены следующие условия:• (v(x, t), w(x, t)) — решение уравнения Веселова-Новикова при E < 0;• v, w ∈ C(R2, R), v(·, t) ∈ C 3(R3 );• v(x, t) = V (x − ct) (пусть v —солитон);• ∂xj V (x) = O e−α|x| при |x| → ∞, |j| 6 3 и некотором α > 0; w(x, t) →0, |x| → ∞.Тогда v ≡ 0, w ≡ 0.Отметим, что вопрос о существовании алгебраически убывающих солитонов для уравнения Веселова-Новикова на отрицательном уровне энергииявляется открытым.21В п. 2.4.3 доказывается теорема об отсутствии солитонов кондуктивноготипа для уравнения Веселова-Новикова на нулевом уровне энергии.Потенциал v ∈ Lp (R2), 1 < p < 2, называется потенциалом кондуктивного типа, если v = γ −1/2∆γ 1/2 для некоторой вещественной положительнойфункции γ ∈ L∞ (R2), такой что γ > δ0 > 0 и ∇γ 1/2 ∈ Lp(R2 ).Потенциалы кондуктивного типа естественно возникают в случае, когдазадача о проводимости Кальдерона изучается при помощи задачи рассеяниядля двумерного уравнения Шредингера на нулевом уровне энергии.
ЗадачаГельфанда-Кальдерона подробно изучалась, например, в работах Р.Г. Новикова, А. И. Нахмана. В частности, А.И. Нахман доказал (1995), что дляпотенциалов кондуктивного типа уравнения задачи рассеяния всюду разрешимы. Данный результат позволяет получить следующее утверждение осолитонах кондуктивного типа для уравнения Веселова-Новикова:Теорема 7. Пусть выполнены следующие условия:• (v(x, t), w(x, t)) — решение уравнения Веселова-Новикова при E = 0;• v, w ∈ C(R2, R), v(·, t) ∈ C 3(R3 );• |∂xj v(x, t)| 6|x| → ∞;q(t)(1+|x|)2+ε ,|j| 6 3 при некоторых ε > 0, q(t) > 0; w(x, t) → 0,• v(x, t) = V (x − ct) (пусть v — солитон);• v — потенциал кондуктивного типа.Тогда v ≡ 0, w ≡ 0.В Приложении настоящей работы приводятся доказательства некоторыхвспомогательных лемм.Основные результаты работы1. Аналитически продемонстрировано, что в случае когда функция потока— произвольная выпуклая на (u+, u−) функция, может возникать новый эффект по сравнению с уравнением Бюргерса и уравнением КдФБс квадратичной функцией потока: отсутствие бегущей волны.
Данныйэффект возникает при отказе от требования выпуклости функции f (u)22или от условия монотонности бегущей волны (условия, обеспечивающего монотонность бегущей волны, в случае если она существует).2. Доказаны теоремы о локальной устойчивости монотонной и немонотонной бегущей волны для обобщенного уравнения Кортевега-де ФризаБюргерса с произвольной нестрого выпуклой функцией потока.3. Решена задача об асимптотическом поведении решения уравненияВеселова-Новикова при ненулевой энергии (решения, являющегосяпрозрачным потенциалом в случае положительной энергии) в регулярном случае. В случае отрицательной энергии доказана оптимальностьполученной оценки.4.
Доказано отсутствие экспоненциально локализованных солитонов дляуравнения Веселова-Новикова с отрицательной энергией и отсутствиесолитонов кондуктивного типа для уравнения Веселова-Новикова с нулевой энергией.Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н.
профессору А.А. Шананину и д.ф.-м.н. профессору Р.Г. Новикову за постановкизадач и постоянное внимание к работе, а также д.ф.-м.н. профессору Г.М.Хенкину и к.ф.-м.н. доценту А.В. Гасникову за обсуждение работы и рядценных замечаний.Работа поддержана грантами РФФИ № 08-07-00158, РГНФ № 08-0200347. Работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы (1.2.1,НК-15П(3)).23Публикации по теме диссертации1. Казейкина А.В.
Устойчивость решения уравнения Кортевега-де ФризаБюргерса вида бегущей волны // Труды 52й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук".Часть VII. Управление и прикладная математика. 2009, том 1, с.34-37.2. Казейкина А.В. Устойчивость решения задачи Коши вида бегущей волныдля уравнения Кортевега–де Вриза–Бюргерса // ЖВМиМФ, 2010, том50, №4, с.725-745.3.
Казейкина А.В. Асимптотическое поведение прозрачных потенциаловдля уравнения Веселова-Новикова при положительной энергии // Труды 53й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. Управление и прикладнаяматематика. 2010, том 1, с.59-61.4. Казейкина А.В. Асимптотическое по времени поведение решений уравнения Веселова-Новикова // Труды 54й научной конференции МФТИ"Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе".
Управление и прикладная математика. 2011, том 1, с. 16-17.5. Казейкина А.В. Примеры отсутствия бегущей волны для обобщенногоуравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса // Вестн. моск. ун-та, серия15, 2011, №1, с.17-24.6. Kazeykina A.V., Novikov R.G. A large time asymptotics for transparentpotentials for the Novikov–Veselov equation at positive energy // J. NonlinearMath. Phys., 2011, vol. 18(3), p.377-400.7. Kazeykina A.V., Novikov R.G. Large time asymptotics for the Grinevich–Zakharov potentials // Bulletin des Sciences Mathématiques, 2011, vol. 135,p.374-382.8. Kazeykina A.V., Novikov R.G.
Absence of exponentially localized solitonsfor the Novikov-Veselov equation at negative energy // Nonlinearity, vol. 24,p.1821-1830.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
