Равновесные осесимметричные конфигурации в ОТО и теории потенциала (1097863), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Приведенная библиография содержит 235 наименований.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении дан краткий обзор различных подходов к проблемегенерирования точных решений уравнений Эйнштейна–Максвелла,пределов их применимости, определено историческое место интегрального метода Сибгатуллина вместе с кругом новых задач, которые могут быть решены с его помощью. Формулируются основныецели диссертации, обосновывается их актуальность, схематично излагается содержание каждой главы.В первой главе вводятся основные понятия, обозначения и терминология, описывается основной подход к построению точных решений, который используется в диссертации.Уравнения Эйнштейна–Максвелла в стационарном осесимметричном случае, описываемом метрикой Папапетру, сначала приводятся к форме Эрнста для двух комплексных потенциалов E иΦ, которые зависят только от двух координат ρ и z, а затем переписываются в матричном каноническом виде, введенном в работахКиннерсли, Хаузера и Эрнста.
Существование бесконечной иерархии матричных потенциалов позволяет далее ввести производящуюфункцию от дополнительного аналитического параметра и вывести10переопределенную систему уравнений для этой матричной функции,причем условиями совместности переопределенной системы являются канонические уравнения. Построение такой системы двух матричных уравнений с дополнительным параметром дает возможность вконечном итоге переформулировать исходную проблему в виде краевой задачи Римана на плоскости аналитического параметра.Метод Сибгатуллина сводит задачу Римана к более простым(нематричным) интегральным уравнениям, включающим в себяфункции с ясной физической интерпретацией (выражения потенциалов Эрнста на оси симметрии). Существенным моментом в выводеинтегральных уравнений является использование общего преобразования внутренней симметрии при генерировании нового решения,что позволяет ограничиться в качестве “затравочного” решения пространством Минковского и рассматривать преобразование последнего в произвольное новое решение как результат сдвига вдоль орбитыбесконечномерной группы внутренней симметрии.Действие метода проиллюстрировано выводом точного асимптотически плоского решения для внешнего поля керровской чернойдыры, наделенной магнитным дипольным моментом.Во второй главе рассматриваются расширенные солитонные решения, позволяющие на новом качественном уровне решать различные равновесные задачи нескольких тел.
Вывод 2N –солитонногоэлектровакуумного решения проводится для данных на оси симмет-11рии видаE(ρ = 0, z) ≡ e(z) = 1 +NXl=1Φ(ρ = 0, z) ≡ f (z) =NXl=1el,z − βlfl,z − βl(1)где el , βl и fl – произвольные комплексные постоянные. Применениеинтегрального метода Сибгатуллина к (1) приводит к следующимэлегантным выражениям для E(ρ, z) и Φ(ρ, z), удовлетворяющимуравнениям Эрнста:¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯E± = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯E = E+ /E− ,11r1±1α1 − β1......r1±1α 1 − βNh1 (α1 )0α1 − β̄1......hN (α1 )0α1 − β̄N.....................Φ = F/E− ,(2)¯¯1¯¯r2N¯α2N − β1 ¯¯..¯.¯¯r2Np¯α2N − βN ¯¯ , rn = ρ2 + (z − αn )2 .h1 (α2N ) ¯¯α2N − β̄1 ¯¯..¯.¯hN (α2N ) ¯¯α2N − β̄N ¯Здесь определитель F отличается от E− только первой строкой, которая у F имеет вид (0, f (α1 ), .
. . , f (α2N )), f (αn ) ≡ f (z = αn ); величины hl (αn ) связаны с el , βl , fl и αn соотношениемhl (αn ) = ēl + 2f¯l f (αn )(3)(черта над символом обозначает комплексное сопряжение), а параметры αn могут принимать произвольные действительные значе12ния или образовывать произвольные комплексно–сопряженные пары. Ключевую роль в получении решения (2) играет переход от первоначального набора параметров {el , βl , fl } к эквивалентному набору параметров {αn , βl , fl }, причем выражение el через αn , fl и βlзадается формулойQ2NNX− αn )fl f¯kel = Q N−2,QNβ−β̄kk6=l (βl − βk )k=1 (βl − β̄k )k=1 l2n=1 (βl(4)а αn являются (формально) корнями уравнения e(z) + ē(z) +2f (z)f¯(z) = 0, которое, в силу произвольности αn , решать не нужно.Для потенциалов (2) найден явный вид всех метрических функций, входящих в осесимметричный интервал Папапетру, что позволяет применять полученное многосолитонное решение в конкретныхприложениях.
Формулы (2) в частном случае описывают системуN черных дыр Керра–Ньюмена, расположенных на оси симметриии разделенных подпорками. Анализ условия отсутствия подпорокприводит к ограничениям на метрические функции γ и ω, из которых следуют условия равновесия, выделяющие многокомпонентныеравновесные конфигурации из общего решения.Для выделения подклассов электровакуумных решений, обладающих симметрией и антисимметрией относительно экваториальнойплоскости, найдены условия на потенциалы Эрнста и на данные наоси симметрии таких решений.
Так, в случае экваториальной симметрии, потенциалы Эрнста удовлетворяют равенствамE(−z, ρ) = Ē(z, ρ),Φ(−z, ρ) = e2iδ Φ̄(z, ρ),δ = const,(5)а в случае экваториальной антисимметрии условия на E и Φ имеют13видE(−z, ρ) = E(z, ρ),Φ(−z, ρ) = ±Φ(z, ρ).(6)Соответственно, данные на оси симметрии e(z) и f (z) должны удовлетворять условиямe(z)ē(−z) = 1,f (z) = −e2iδ f¯(−z)e(z)(7)(экваториально симметричный случай) иe(z)e(−z) = 1,f (z) = ∓f (−z)e(z)(8)(экваториально антисимметричный случай).
Соотношения (7) и (8),которые справедлиы лишь для асимптотически плоских полей, позволили получить ограничения на параметры, характеризующие экваториально симметричный и антисимметричный подклассы общегомногосолитонного решения.В отсутствие электромагнитного поля (fl = 0), 2N –солитонноерешение значительно упрощается, и для него, путем раскрытияопределителей в основных формулах, выводится представление,наиболее удобное для поиска конкретных равновесных состояний.Благодаря тому, что решение расширенное, субэкстремальный илисуперэкстремальный характер каждого отдельно взятого источникапри поиске равновесных конфигураций оказывается несущественным. Показано, что все параметры, входящие в солитонные вакуумные решения, могут быть выражены через мультипольные моменты системы, и в явном виде получены формулы, связывающиеразличные параметризации вакуумного многосолитонного решенияс релятивистскими мультипольными моментами Героча–Хансена.14Для наиболее известного частного случая, описывающего систему двух коллинеарных керровских частиц, проанализировано поведение метрических функций на оси симметрии, выписаны в явном виде условия равновесия частиц при равенстве гравитационнойсилы притяжения и отталкивающей силы взаимодействия угловыхмоментов.
Получено общее решение системы уравнений, определяющих равновесные конфигурации в расширенной двойной метрикеКерра, в аналитическом виде найдены комаровские массы и угловые моменты обеих компонент. Доказана теорема о невозможностиравновесия двух черных дыр Керра с положительными массами,которая дает строгое обоснование ранее высказанной гипотезе Хоэнселарса об отсутствии таких равновесных конфигураций.Выведен общий закон равновесия двух керровских частиц, который имеет замечательно простой вид и связывает произвольныемассы и угловые моменты частиц с координатным расстоянием, накотором наступает равновесие:µJ1J2J ± (M + s) + s+M1 M22¶= 0,(9)где M = M1 +M2 и J = J1 +J2 – соответственно полная масса и полный угловой момент системы, Mi и Ji – масса и угловой момент i-ойкомпоненты бинарной системы, а s – расстояние между компонентами. Тип керровской частицы в (9) произволен, т.е.
частица можетбыть как субэкстремальным, так и суперэкстремальным объектом.В конце данной главы закон (9) использован для простого доказательства невозможности равновесных состояний двух керровскихчастиц с положительными массами Mi , удовлетворяющими неравен15ству Mi2 > |Ji | (оно характеризует изолированную неэкстремальнуючерную дыру Керра).Третья глава посвящена конкретным равновесным конфигурациям различных видов.
Сначала общие формулы, полученные длядвойного решения Керра в предыдущих параграфах, используются для нахождения конкретных физически значимых равновесныхконфигураций двух керровских частиц. Несмотря на то, что две субэкстремальные компоненты не могут находиться в равновесии безприсутствия отрицательной массы, уже в случае бинарных системс одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компонентой возможны равновесные конфигурации, в которых положительны массы обеих компонент. Приводятся конкретные примеры такихконфигураций, строятся соответствующие им поверхности пределастационарности и исследуется наличие особенностей в приведенныхслучаях равновесия.
Показано, что в равновесных состояниях с двумя положительными массами не возникают безмассовые кольцевыесингулярности, присущие состояниям с одной или двумя отрицательными массами.Физически допустимые равновесные конфигурации впервые получены и для двух неодинаковых суперэкстремальных керровскихкомпонент. Для них сначала даются значения параметров двойногорешения Керра, определяющие равновесие, затем подсчитываютсяиндивидуальные комаровские массы и угловые моменты каждой изкомпонент. Построены поверхности предела стационарности в таких бинарных системах, и они представляют собой две разнесенные16тороидальные поверхности, на которых отсутствуют кольцевые особенности при положительности массы каждой из компонент.В электростатическом случае получены общие формулы, позволяющие расматривать в аналитическом виде равновесные состояния N заряженных невращающихся массивных источников, которые могут быть как черными дырами, так и суперэкстремальнымиобъектами.
Для двойного решения Райсснера–Нордстрема найдены равновесные конфигурации, состоящие из одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компонент. Проведенный численный анализ условий равновесия указывает на отсутствие равновесия между двумя субэкстремальными черными дырами Райсснера–Нордстрема и двумя суперэкстремальными статическими заряженными источниками. Используя результат Варзугина и Чистякова для так называемых “неприводимых” масс, двойное решениеРайсснера–Нордстрема удалось переписать, используя в качествепроизвольных параметров комаровские массы и заряды источников,а также расстояние между последними. С помощью этого представления точного решения найдена аналитическая формула для силывзаимодействия между двумя произвольными сферическими заряженными массами, которая имеет следующий простой вид:F=M1 M2 − (Q1 − µ)(Q2 + µ),R2 − (M1 + M2 )2 + (Q1 + Q2 )2µ :=M2 Q1 − M1 Q2,R + M1 + M2(10)где M1 и M2 – массы источников, Q1 и Q2 – их заряды, а R – относительное расстояние между их центрами.Далее изучается возможность равновесных состояний в двойномрешении Керра–Ньюмена, где обе компоненты наделены произволь17ной массой, угловым моментом и электрическим зарядом.
Анализсубэкстремального случая опровергает заявление Бичака и Хоэнселарса о возможности равновесия двух неэкстремальных черныхдыр Керра–Ньюмена, имеющих положительные массы, что подтверждает гипотезу Томимацу об отсутствии таких равновесных конфигураций. Конкретные примеры равновесия найдены, как и в чистовакуумном случае, для бинарных систем, состоящих из двух суперэкстремальных компонент, и из одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компоненты.В заключительном параграфе главы рассматривается равновесиемежду экстремальной и неэкстремальной компонентами в двойномрешении Керра. Для возможности анализа такой модели строитсяточное решение, описывающее этот предельный случай, и выводятся условия равновесия, которые решаются численно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
