Равновесные осесимметричные конфигурации в ОТО и теории потенциала (1097863), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для каждогоравновесного состояния строятся массы и угловые моменты компонент бинарной системы, а также соответствующие поверхности предела стационарности. Когда неэкстремальная компонента являетсячерной дырой, по крайней мере одна из керровских масс должнабыть отрицательной. Физически значимые равновесные конфигурации с положительными массами возможны, когда неэкстремальной компонентой является суперэкстремальный объект. Полученныеравновесные конфигурации свидетельствуют о невыполнении длянеизолированной экстремальной компоненты известного соотношения |J| = M 2 между угловым моментом и массой экстремальнойизолированной черной дыры Керра.18В четвертой главе разрабатывается эффективный общий подходк сравнению точных и приближенных решений ОТО в стационарном осесимметричном случае, основанный на исследовании поведения потенциалов Эрнста сравниваемых решений на оси симметрии.Сначала обсуждаются проблемы, возникающие при описании однойи той же физической модели с помощью точного и приближенногометода; они связаны главным образом с трудностями установлениясоответствия между двумя применяемыми подходами.
Отмечается,что наряду со взаимно непротиворечивыми результатами, с помощью точных и приближенных решений были сделаны и исключающие друг друга выводы относительно одних и тех же физическихмоделей, в частности, относительно возможности равновесных конфигураций в стационарных осесимметричных системах.Процедура получения точного аналога заданного приближенного решения иллюстрируется на примере известной метрики Боннорадля двух вращающихся частиц, которая первоначально объявляласьвозможным приближением к двойному решению Керра.
По бонноровской метрике был найден определяющий ее приближенный потенциал Эрнста, чье поведение на оси симметрии затем было взятов качестве исходных данных для построения методом Сибгатуллинаточного решения, имеющего на оси симметрии такой же вид. Приэтом оказалось, что точным аналогом бонноровского приближенного решения является очень специальный подкласс четверного решения Керра, описывающий систему четырех керровских источников,из которых два – субэкстремальные, а остальные два – суперэкстре19мальные. Ни при каком выборе параметров в рассмотренном точном решении невозможен переход к двойному решению Керра, чтов конечном итоге приводит к правильной физической интерпретации решения Боннора как описывающего специфическую системучетырех вращающихся частиц, а не двух.Обратный процесс генерирования приближенных решений източных осуществляется с помощью разложения метрических функций по малым параметрам.
Конкретный выбор малого параметрав точных решениях, построенных методом Сибгатуллина, облегчается благодаря изначально известному поведению решений на осисимметрии, и этот выбор зависит от типа изучаемой физическойсистемы. Так, впервые построены приближенные аналоги двойногорешения Керра, приводящие к равновесным конфигурациям вращающихся частиц, которые не противоречат известным точным результатам.
В зависимости от того, состоит ли бинарная система из двухчерных дыр, двух суперэкстремальных объектов или одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компоненты, схема получения соответствующего приближенного решения изменяется, оставаясь в то же время органично связанной с общей структурой точного решения. Построены комаровские характеристики источниковв приближенных двойных решениях Керра и показано соответствиеприближенных условий равновесия точному закону равновесия двухкерровских частиц.Пятая, заключительная глава посвящена двум задачам классической теории потенциала, представляющим интерес для астрофи20зики и наблюдательной астрономии, поскольку в них исследуетсяраспределение массы в различных моделях тонких галактическихдисков.
Общая математическая постановка проблемы и трудностиее разрешения прямолинейным путем, приводящим к сложному интегральному уравнению нефредгольмовского типа, обсуждаются впервом параграфе главы. В следующем параграфе разрабатывается эффективный метод, позволяющий находить распределения поверхностной плотности в самогравитирующем диске бесконечногорадиуса с изолированной точечной массой в центре по известномураспределению скорости вращения вещества в диске (кривой вращения). Подсчет поверхностной плотности σ(ρ) в диске по заданномураспределению угловой скорости ω(ρ) осуществляется с помощьюдвух последовательных квадратур: сначала находится дополнительная функция α по интегральной формулеZ xZ 1α(x)ω 2 dtω 2 dt1d√√√−=,dx 0 t3/2 x − t 2 x 0 t3/2 1 − t2ax3/2(11)где a – радиус внутренней границы диска, x = a2 /ρ2 , а затем вычисляется σ по формуле√Z 1α(t)dtx√σ(x) = − 2(12)4π G x t t − x(G – ньютоновская гравитационная постоянная).
Для массы дискаMd и массы центрального тела M получены простые формулыZa2α(t)a3 1ω 2 dt√Md =limи M=.(13)2G t→0 t2G 0 t3/2 1 − tРазработанный метод применен к широкому классу кривых вращения, имеющих кеплеровскую асимптотику. Доказано существование верхнего предела для массы галактического диска при заданной21массе черной дыры, причем этот предел оказывается существеннозависящим от вида кривой вращения.Используя математическую аналонию, существующую междубесконечными дисками с внутренней границей и конечными сплошными дисками, в дальнейшем развивается новый подход к реконструкции поверхностной плотности в плоских галактических дисках конечного радиуса по произвольному гладкому распределениюугловой скорости.
Сначала, как и в предыдущем случае, общее решение задачи нахождения плотности σ(ρ) представлено в виде двухпоследовательных квадратур, а затем для σ(ρ) получена формула,требующая лишь однократного интегрирования:·Z ρ 2 µ¶¶ 0¸Z R 2 µ1dvdρdvρ0 dρ00 ρσ(ρ) = 2,F+Fµ,µ,0π G 0 dρ0ρρρ0 ρ0ρ dρss22R −ρR2 − ρ020µ ≡ arcsin,µ≡arcsin,(14)R2 − ρ02R2 − ρ2где R – радиус диска, v = ρω – линейная скорость, а F (φ, k) – неполный эллиптический интеграл 1-го рода.
Эта интегральная формулаявляется обобщением хорошо известной формулы Томре, полученной для случая бесконечных дисков, и переход к последней происходит в пределе R → ∞.В последнем параграфе для широкого класса кривых вращенияпоказано существование верхнего предела значений массы и радиуса галактического диска при аналитическом продолжении кривойвращения в невидимую часть диска. Здесь же на примере новойплоской кривой вращения, представляющей собой ломаную линию,продемонстрирован эффект накопления вещества в периферийной22части диска при увеличении его радиуса.В заключении формулируются основные результаты, полученныев диссертации.
Они сводятся к следующим:1. В диссертационной работе метод Сибгатуллина построениястационарных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна–Максвелла получил дальнейшее развитие в его взаимосвязи с формализмами Эрнста, Киннерсли и Хаузера–Эрнста. Разработана процедура решения всех трех интегральных уравнений метода Сибгатуллина, что дает возможность в каждом конкретном случае полностью восстанавливать матричный потенциал и строить соответствующую недиагональную компоненту метрического интервала.2. Впервые построено аналитически расширенное 2N –солитонноеэлектровакуумное решение, позволяющее описывать нелинейнуюсуперпозицию N произвольных коллинеарных черных дыр Керра–Ньюмена и включающее в себя как предельные частные случаивсе известные классы асимптотически плоских стационарных полей,определяемых на оси симметрии рациональными функциями.Существенно расширена область применимости метода Сибгатуллина путем эквивалентной репараметризации данных на оси симметрии, которая делает ненужным нахождение корней характеристического алгебраического уравнения 2N –го порядка.3.
Впервые введено понятие решений, антисимметричных относительно экваториальной плоскости, и показано, каким условиям удовлетворяют потенциалы Эрнста этото подкласса электроваккумныхполей, а также подкласса экваториально–симметричных решений,23на оси симметрии и вне нее.4. Подробно изучена расширенная 2N –солитонная стационарнаявакуумная метрика, для которой получено простое аналитическоепредставление, существенно упрощающее рассмотрение задачи равновесия вращающихся источников. Впервые получены формулы,связывающие все параметры многосолитонного решения с его мультипольными моментами, и дана параметризация выражения потенциала Эрнста на оси симметрии исключительно через произвольныемультипольные моменты.5.
Дано общее решение задачи равновесия в двойном решенииКерра, содержащее четыре произвольных действительных параметра и найдены аналитические выражения для массы и углового момента каждой из компонент системы. Доказана теорема о невозможности равновесия двух черных дыр Керра с положительнымимассами.Установлен общий закон равновесия двух произвольных керровский частиц, который для любых произвольно задаваемых значениймасс и угловых моментов частиц указывает координатное расстояние, на котором наступает равновесие.6.
Впервые получены и проанализированы конкретные физически значимые состояния равновесия между субэкстремальной и суперэкстремальной керровскими компонентами, между двумя неодинаковыми суперэкстремальными керровскими частицами, а такжемежду субэкстремальным и суперэкстремальным заряженными вращающимися источниками. В электростатическом случае получе24ны аналитические формулы, позволяющие вести поиск равновесных конфигураций произвольного числа коллинеарных источниковРайсснера–Нордстрема; с их помощью найдены конкретные примеры равновесия между субэкстремальной и суперэкстремальной компонентами бинарной системы данного вида. Получена простая аналитическая формула для силы взаимодействия двух произвольныхсферических заряженных масс в ОТО.7. Построено точное решение для описания бинарной системыкерровских частиц, из которых одна частица является экстремальной.
Это решение впервые демонстрирует возможность равновесияэкстремальной и неэкстремальной компонент, причем физически допустимые равновесные состояния возможны только между экстремальной и суперэкстремальной компонентами. Установлено, что известное равенство |J| = M 2 , связывающее угловой момент и массуизолированной экстремальной черной дыры Керра, в присутствиидругих вращающихся источников не выполняется.8. Впервые разработан эффективный подход к сравнению точныхи приближенных стационарных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна–Максвелла, в основе которого лежит сравнительный анализ соответствующих потенциалов Эрнста на оси симметриии который позволяет, с одной стороны, идентифицировать точноерешение, являющееся аналогом конкретного приближенного решения, а с другой – генерировать приближенные решения из известных точных путем разложения по малым параметрам.
В рамкахразработанного метода дана правильная интерпретация известно25го приближенного решения Боннора для двух вращающихся масс,а кроме того, получены приближенные аналоги двойного решенияКерра, которые допускают равновесные конфигурации керровскихчастиц.9. В рамках классической теории потенциала развит метод восстановления поверхностной плотности в тонком самогравитирующембесконечном диске с изолированной точечной массой в центре поизвестному распределению скорости вращения в диске. Полученыфункции плотности для широкого класса кривых вращения, имеющих кеплеровскую асимптотику, и показано существование верхнегопредела для массы галактического диска при заданной массе чернойдыры, причем масса диска существенным образом зависит от выбора кривой вращения и в принципе может превышать массу чернойдыры во много раз.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
