Новые дифференциальные уравнения в канонических задачах дифракции (1097783), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Явный вид уравнения, которому удовлетворяют этифункции везде, кроме концов рассеивателя, есть¶µ¶µ11∂∂1 ∂221,2e +ν −e =∆v (ω, ν) = 0,∆sin θ+.(30)4sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2(здесь θ и ϕ — угол места и азимут на сфере).Краевые функции Грина характеризуются следующими асимптотиками вблизи концов рассеивателя:δm,nφn 2Cnm 1/2φnv m (ζn , φn ) = − √ ζn−1/2 sin+ √ ζn sin+ O(ζn3/2 ),22ππ(31)локальные координаты показаны на Рис. 6.
Контура интегрирования для (27),(28), (29) указаны в работе.Значение модифицированных формул Смышляева состоит в следующем. Вопервых, с помощью этих формул задача отыскания дифракционного коэффициента сводится к вычислению краевых функций Грина для задачи на сфере.Во-вторых, модифицированные формулы Смышляева оказываются предпочтительнее обычной формулы Смышляева с точки зрения вычисления интеграла.А именно, область направлений ω, для которых подынтегральная функция оказывается экспоненциально убывающей на бесконечности, оказывается шире длямодифицированных формул.Далее ищутся краевые функции Грина для уравнения Лапласа-Бельтрамина сфере с экраном в виде большой дуги длиной π/2.
Для краевых функцийГрина строятся координатные уравнения на сфере.22Рис. 6: Локальные сферические координатыПроцедура построения координатных уравнений сходна с процедурой, описанной в третьей главе. Строится вектор неизвестных u, включающий четырекраевых функции Грина: две краевые функции Грина для задачи с граничными условиями Дирихле (это функции v 1,2 ), и две — с граничными условиямиНеймана (w1,2 ).
Координатные уравнения ищутся в форме∂u = Xu,∂θ∂u = Yu.∂ϕ(32)Для вывода координатных уравнений используются дифференциальные операторы T1,2,3 , где T1 и T2 — операторы дифференцирования по локальным координатам φ1 и φ2 , а T3 — оператор дифференцирования по азимутальной координате ϕ.Вводится понятие о сверхсингулярном решении как о решении, имеющемвблизи вершины степень роста на единицу большую, чем это разрешено мейкснеровскими условиями. Имеется восемь сверхсингулярных комбинаций из производных неизвестных функций, а именноT1 [v 1 ],T3 [v 1 ] + T2 [w1 ],T1 [w1 ],T2 [v 2 ],T2 [v 1 ] − T3 [w1 ],T2 [w2 ],T3 [v 2 ] − T1 [w2 ],T2 [v 2 ] + T3 [w2 ].Каждая из этих функций может быть представлена в виде линейной комбинации краевых функций Грина. Разрешая полученные выражения относительнопроизводных краевых функций Грина по координатам, получаем координатные уравнения в форме (32).
Коэффициенты достаточно громоздки, поэтомуздесь они не выписываются. Эти коэффициенты содержат тригонометрическиефункции координат ϕ и θ, а также две неизвестные константы.23Рассматривается пример решения задачи об определении неизвестных констант для координатных уравнений при фиксированном ν. Используется градиентный алгоритм для нахождения нулей невязок глобальных ограничений.Численный эксперимент показывает быструю сходимость алгоритма.Строятся эволюционные уравнения для краевых функций Грина и неизвестных параметров.
К сожалению, в данном случае нельзя построить эволюционное уравнение по константе разделения ν. Вместо этого строятся эволюционныеуравнения по углу раскрыва плоского конуса.Глава 6В шестой главе построенные ранее методы (формула расщепления и спектральное уравнение) применяются к задаче об отражении волноводной модыот открытого конца плоского волновода (см.
Рис. 7). Данная задача являетсяклассической задачей теории дифракции. Она была решена в середине прошлого века Л.А. Вайнштейном в рамках метода Винера-Хопфа. Неожиданными важным для практики результатом явился коэффициент отражения высокочастотной моды, чья частота близка к частоте отсечки. Оказалось, что коэффициент отражения близок к −1, то есть открытый конец волновода являетсяотражателем типа Дирихле (такое поведение предсказуемо для низкочастотной поршневой моды, однако здесь обсуждается прямо противоположный случай).
Была вычислена поправка, описывающая потери на излучение в открытоепространство. Данный результат широко используется при расчете плоскопараллельных резонаторов.yu inrqx0qinaРис. 7: Геометрия задачи об отражении моды от открытого конца плоскоговолноводаШестая глава посвящена рассмотрению данной задачи с помощью методов, развитых в диссертации (а именно, формулы расщепления и спектрального уравнения). Целью является проверка работоспособности метода, а также развитие новой техники решения подобных задач, не родственной методуВинера-Хопфа.Дифракционная задача с идеальными прямолинейными границами с помощью метода отражений сводится к задаче распространения на разветвленной24поверхности.
Данная поверхность имеет бесконечное число точек ветвления ибесконечное число листов. При этом все точки ветвления имеют второй порядок. Их геометрические координаты x = an, y = 0.Задача рассматривается в коротковолновом приближении. Фиксируется номер волноводной моды и считается, что временная частота близка к частотеотсечки данной моды. Это соответствует тому, что парциальные волны распространяются почти по нормали к оси волновода. Пользуясь этим обстоятельством, можно перейти от уравнения Гельмгольца к параболическому уравнениютеории дифракции¡ 2¢∂y + 2k0 i∂x ũ = 0,(33)где ũ связано с волновым полем u соотношением u = exp{ik0 x}ũ.
Необходимо обратить внимание на тот факт, что ось x направлена перпендикулярно кстенкам волновода. Параболическое уравнение описывает приосевой волновойпроцесс, т. е. направление распространение волн мало отклоняется от оси x.Дальнейшее рассмотрение происходит в рамках схемы, развитой в диссертации. Вводится краевая функция Грина v, т. е.
поле, порожденное источником, помещенным вблизи точки ветвления. Отметим, что для параболическогоуравнения отпадает необходимость в использовании сложной предельной процедуры.Вводится также диаграмма направленности краевой функции Грина S(θ).Соответствующая асимптотика имеет видv(x, θx) = g(x, θx)S(θ) + o(x−1/2 ),гдеrg(x, y) =k0exp2πx½ik0 y 2 iπ−2x4(34)¾(35)— функция Грина неограниченной плоскости.
В этой асимптотике параметр θпредставляет собой отношение x/y, т. е. тангенс соответствующего угла.Для вывода формулы расщепления используется операторH = ∂y + ik0 θin(36)Он обращает в ноль падающую волну, однако приводит к появлению источников в точках ветвления. С помощью теоремы единственности выводится слабаяформула расщепления, а с помощью теоремы взаимности вычисляются неизвестные краевые коэффициенты и строится сильная формула расщепления.Она имеет видS(θn )S(θin ),(37)Rn =ik0 a (θn + θin )θn25где параметр θin характеризует угол падения (он связан с индексом падающеймоды), параметр θn характеризует угол отражения (он связан с индексом отраженной моды), а Rn — коэффициент отражения.Далее для вычисления диаграммы направленности S(θ) строится спектральное уравнение.
Для этого к краевой функции Грина v применяется операторK = x ∂y − ik0 y.(38)Данный оператор переводит решения параболического уравнения (33) в решения. Кроме того, он обнуляет функцию Грина (35). Исследуя поведение функции K[v] вблизи точек ветвления, применяя теорему единственности и переходяк дальнему полю, получаем спектральное уравнениеà ∞!XdS(θ)2= anCn exp{ik0 naθ /2} S(θ),(39)dθn=1где Cn — значения краевой функции Грина в точках ветвления.
Для отысканияэтих значений используется достаточно тонкий прием, использующий топологию разветвленной поверхности. В результате получаются значенияr1k0 −iπ/4e.(40)Cm =n 2πanТаким образом, диаграмма направленности краевой функции Грина может бытьнайдена с помощью уравнения (39) и граничного условия S(∞) = 1. Решениенаходится в явном виде, и коэффициент отражения, вычисленный с его помощью, совпадает с найденным Л.А.Вайнштейном.ПриложениеПриложение состоит из трех частей. Первая часть посвящена математической строгости. Большая часть утверждений работы сформулирована и доказана на физическом уровне строгости.
В данном разделе показано, каким образомможет быть достигнута математическая строгость в “тонких” местах работы.Вторая часть приложения посвящена соотношению симметрии для спектрального уравнения для задачи о двух полосах. Показано, что матрицы K± ,входящие в уравнение (3), (4), удовлетворяют соотношению1Ξ(K+ )T Ξ + K− = − I,2гдеΞ = diag(1, −1, 1, −1).26(41)Данное соотношение используется для сокращения числа независимых ограничений при формулировке задачи об определении неизвестных параметров.Наконец, в третьей части приложения для вывода формулы расщепленияи спектрального уравнения применяется техника дифракционного ряда. Длязадачи о дифракции на двух полосах строится дифракционный ряд, т.
е. представление решения в виде суммы полей, полученных в результате последовательных актов дифракции на краях полос. Каждый член ряда выражается вФурье-представлении с помощью нескольких вложенных интегралов. Строится техника точного преобразования членов дифракционного ряда. С помощьюэтой техники строится формула расщепления и спектральное уравнение. Темсамым достигаются два результата. Во-первых, происходит вывод основных соотношений работы с помощью независимой техники. Во-вторых, неизвестныекоэффициенты спектрального уравнения оказываются выраженными в видеряда, члены которого могут быть вычислены непосредственно.Защищаемые положения1.
Доказано, что для двумерной задачи о дифракции на двух полосах справедливы формула расщепления (2), спектральное уравнение (3) с коэффициентом(4), эволюционные уравнения (5) и (7), а также координатные уравнения (14) скоэффициентами вида (15), (16).2. Показано, что коэффициент спектрального уравнения для задачи о двух полосах зависит от восьми скалярных параметров. Сформулированы ограничения связи для спектрального уравнения, при выполнении которых существуетрешение спектрального уравнения, удовлетворяющее всем условиям, накладываемым на дифракционное поле. Этих ограничений также восемь.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
