Новые дифференциальные уравнения в канонических задачах дифракции (1097783), страница 4
Текст из файла (страница 4)
для заданного вида уравнения анализируется егокоэффициент. Для анализа используется техника определителей. Уравнение (7)выражает совместность спектрального уравнения и (6). Таким образом, (7) играет роль уравнения Шлезингера для семейства спектральных уравнений.Далее во второй главе формулируется задача об отыскании неизвестныхконстант спектрального уравнения. Прежде всего, анализируются локальные(алгебраические) ограничения, накладываемые на неизвестные константы. Показывается, что после учета всех локальных ограничений остается восемь свободных параметров. Затем формулируются ограничения связи для спектрального уравнения, т.
е. ограничения, накладываемые на матрицы, связывающиебазисы решений в различных особых точках. В результате получается системаиз восьми ограничений, выполнение которых гарантирует наличие у спектрального уравнения решения, удовлетворяющего условию вспомогательных задачдля краевых функций Грина.Наконец, во второй главе приводится пример вычислений на основе спектрального уравнения. Вычисления производятся для более простой задачи орассеянии на одиночной полосе.
Для отыскания неизвестных констант используется итерационная численная схема. Результаты расчетов сравниваются с результатами, полученными стандартными методами.Глава 3Третья глава посвящена выводу координатных уравнений и исследованиюих свойств. Под координатными уравнениями понимается система вида (8).Глава начинается с рассмотрения общих свойств системы (8). Выведены двасоотношения для коэффициентов координатных уравнений:∂∂X + XY =Y + YX∂y∂x17(23)и∂∂X + X2 +Y + Y2 + k02 I = 0.∂x∂y(24)Первое из этих условий гарантирует совместность координатных уравнений,а благодаря второму условию все компоненты любого решения координатныхуравнений удовлетворяют уравнению Гельмгольца.
Отметим, что справедливость соотношений (23) и (24) приходится доказывать. А именно, данные соотношения справедливы, если существует базис решений координатных уравнений, однозначных на данной разветвленной поверхности и удовлетворяющихвекторному уравнению Гельмгольца. Такое доказательство проводится в работе.В третьей главе координатные уравнения строятся для задачи о дифракции на двух полосах. С помощью метода отражений данная задача сводитсяк зоммерфельдовой задаче о распространении на двухлистной поверхности счетырьмя точками ветвления.
Схема этой поверхности показана на Рис. 3а.Ищутся краевые функции Грина для данной поверхности. Каждая из краевыхфункций Грина может быть определена как результат предельного переходадля определенной конфигурации источников. Всего краевых функций Гринавосемь.Вводится понятие о сверхсингулярных функциях на такой поверхности. Сверхсингулярные функции удовлетворяют уравнению Гельмгольца и условию излучения Зоммерфельда, однако не удовлетворяют краевым условиям Мейкснерав точках ветвления. Сверхсингулярная функция должна расти вблизи вершиныне быстрее ρ−1/2 .Главным свойством сверхсингулярных функций является следующее. Каждая сверхсингулярная функция может быть единственным способом представлена как линейная комбинация краевых функций Грина.
Коэффициенты линейной комбинации находятся из старших членов асимптотических разложений вточках ветвления. Доказательство проводится с помощью теоремы единственности для решения дифракционной задачи. Таким образом, краевые функцииГрина представляют собой базис сверхсингулярных функций.Основным результатом главы является вывод координатных уравнений длявектораu(x, y) = (u1+ , u2+ , u3+ , u4+ , u1− , u2− , u3− , u4− )T ,(25)состоящего из всех восьми “комплексных” краевых функций Грина. Для этогоищется 16 комбинаций первых производных от компонент вектора u, представляющих собой сверхсингулярные функции. Отметим, что комбинации подбираются особым образом, поскольку сами первые производные краевых функцийГрина не являются сверхсингулярными функциями (они растут у точек ветв-18ления как ρ−3/2 ). Искомые выражения имеют ви䵶∂∂∂ m±zm+− zm−um± ,u .∂z+∂z−∂z∓(26)при m = 1 . .
. 4. Каждое из этих выражений может быть представлено каклинейная комбинация краевых функций Грина. В результате получаются 16линейных уравнений, связывающих первые производные компонент вектора uс самим вектором u. Разрешая эти уравнения относительно каждой из производных, получаем систему координатных уравнений вида (14). Элементарные преобразования превращают эту систему в (8). Следует отметить, что Xи Y — рациональные функции координат, причем в числителях и знаменателях стоят квадратичные полиномы переменных x и y.
Знаменатели имеют вид(x − am )2 + y 2 , т. е. особыми точками координатных уравнений на действительной плоскости являются точки ветвления поверхности. После учета всехлокальных (алгебраических) ограничений оказывается, что в коэффициентыкоординатных уравнений входят восемь скалярных параметров.Прием, основанный на использовании свойств сверхсингулярных решений,можно применить к производным по геометрическим параметрам задачи. Такстроятся эволюционные уравнения для волновых полей.Показано, что спектральное уравнение является следствием координатныхуравнений.
Переход от координатных уравнений к спектральным осуществляется с помощью рассмотрения асимптотики волновых полей на большом удалении от точек ветвления. Поле в дальней зоне может быть представлено ввиде ряда, старший член которого содержит диаграмму направленности. Ограничение координатных уравнений на старший член данной асимптотики даетспектральное уравнение.Глава 4В четвертой главе диссертации рассматривается двумерная задача дифракции на двух ортогональных полупрямых с идеальными граничными условиями(см.
Рис. 4). В первой главе для этой задачи была выведена формула расщепления, теперь выводятся координатные уравнения и спектральное уравнение.Кроме того, значительные усилия тратятся на корректную формулировку задачи об определении неизвестных констант (т. е. на выявление всех алгебраических соотношений, связывающих константы, входящие в коэффициенты координатных уравнений).Следуя процедуре вывода координатных уравнений, описанной в третьейглаве, получаем систему (14). Рассматривая асимптотические разложения решений в дальней зоне, получаем спектральное уравнение (17).
Очевидно, форма уравнений не отличается от формы, полученной для задачи о дифракции19yg2uina2g1a1xРис. 4: Геометрия задачи об уголковом отражателена двух полосах. Это связано с тем, что обе разветвленные поверхности имеют по четыре точки ветвления в конечной области, и каждая точка ветвленияимеет второй порядок. Различие этих двух задач проявляется, во-первых, в поm±m±ложении особых точек, а во-вторых, в значениях констант Cn∓и Ĉn±. Задачиимеют различную структуру глобальных ограничений, накладываемых на этиконстанты.В четвертой главе подробно исследуются совместные свойства решений координатных и спектрального уравнения.
Перечислим основные из этих свойств.1. Существует интегральное преобразование, сходное с интегралом Зоммерфельда, переводящее решения спектрального уравнения в решения координатных уравнений.2. Если известно решение координатных уравнений u, однозначное на описаннойвыше разветвленной поверхности, то с помощью контурных интегралов можно построить четыре линейно-независимых решения тех же уравнений.
Диаграммы направленности этих решений представляют собой базис решений спектрального уравнения.3. Если известно решение координатных уравнений u, однозначное на описаннойвыше разветвленной поверхности, то с помощью контурных интегралов можнопостроить базис из восьми линейно-независимых решений этих уравнений.Дальнейшее изложение посвящено формулировке задачи об определениинеизвестных констант.
Показано, что после учета всех алгебраических ограничений остается 12 свободных параметров. Соответственно, необходимо сформулировать 12 ограничений, гарантирующих существование решения, имеющего“физическое” поведение на разветвленной поверхности.В качестве основного инструмента для описания решений спектральногоуравнения выбираются стоксовы коэффициенты, т. е. коэффициенты при доминирующих экспоненциальных членах в различных областях. В соответствиисо структурой уравнения, имеется два набора таких коэффициентов. Они названы в работе σ− и β−последовательностями. Строится связь между этими20последовательностями и ветвлением соответствующего решения координатныхуравнений.
Наконец, формулируются 12 ограничений, гарантирующих, что существует решение, однозначное на описанной ранее разветвленной поверхностии удовлетворяющее условию излучения. Из локальных свойств координатныхуравнений следует, что локальные ограничения в точках ветвления также выполняются.Задача об определении неизвестных констант может быть решена толькочисленно.Глава 5Пятая глава посвящена трехмерной задаче о дифракции скалярной волнына плоском конусе (четвертьплоскости) с граничными условиями Дирихле. Геометрия задачи показана на Рис.
5. На рисунке изображен рассеиватель, совпадающий с первым квадрантом плоскости (x, y), точки ω0 и ω на единичнойсфере, соответствующие направлению падения и рассеяния, а также направляющие косинусы для ξ и η для направления рассеяния. Направляющие косинусыξ0 и η0 для направления падения вводятся сходным образом.Схема подхода к этой задаче следующая. Для задачи о плоском конусе выводится формула расщепления в соответствии с процедурой, описанной в первойглаве. Далее производится отделение радиальной переменной в сферическихкоординатах.
В результате дифракционный коэффициент выражается в видеконтурного интеграла, в подынтегральную функцию которого входит краеваяфункция Грина задачи на сфере. Интегрирование производится по константеразделения.zw0q whxyjxРис. 5: Геометрия задачиВыражение дифракционного коэффициента через краевую функцию Грина названо в работе модифицированной формулой Смышляева из-за сходства21с обычной формулой Смышляева, выражающей дифракционный коэффициентчерез обычную функцию Грина для задачи на сфере. Модифицированные формулы Смышляева имеют видZ1S(ω, ω0 ) =e−iπν [v 1 (ω0 , ν)v 1 (ω, ν +1)+v 1 (ω, ν)v 1 (ω0 , ν +1)] dν, (27)4πi(η + η0 ) γZ1e−iπν [v 2 (ω0 , ν)v 2 (ω, ν + 1) + v 2 (ω, ν)v 2 (ω0 , ν + 1)] dν, (28)S(ω, ω0 ) =4πi(ξ + ξ0 ) γZ −iπνeiC21 (ν)[B(ω, ω0 , ν) + B(ω0 , ω, ν)] dν, (29)S(ω, ω0 ) =8π(ξ + ξ0 )(η + η0 ) Γ νB(ω, ω0 , ν) = (v 1 (ω, ν + 1) − v 1 (ω, ν − 1))(v 2 (ω0 , ν + 1) − v 2 (ω0 , ν − 1)).Здесь S(ω, ω0 ) — дифракционный коэффициент (ω0 — направление падения, ω— направление рассеяния), v 1,2 (ω, ν) — краевые функции Грина для задачи срассеивателем Дирихле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
