Новые дифференциальные уравнения в канонических задачах дифракции (1097783), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Действие данного оператора на поле должнообладать следующими свойствами:— оператор должен переводить решения уравнения Гельмгольца в решенияуравнения Гельмгольца;— оператор должен сохранять граничные условия на поверхностях рассеивателя;— оператор должен обращать в нуль падающую плоскую волну;— оператор должен переводить решение, удовлетворяющее условию излучения,в решение, удовлетворяющее условию излучения.В случае, если рассеиватель имеет только компланарные поверхности, оператор расщепления можно выбрать в виде суммы константы и оператора дифференцирования вдоль координаты, направленной по касательной к рассеивателю. Константа выбирается таким образом, чтобы обратить в нуль падающуюволну.Обозначим исходное поле символом u, а оператор расщепления символом H.Рассмотрим функцию H[u].
Благодаря свойствам оператора расщепления, этафункция представляет собой решение уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее условию излучения и граничным условиям на рассеивателе. Краевое условие при этом нарушается, поскольку дифференциальный оператор повышаетособенность вблизи ребра. Применяя теорему единственности, получаем соотношение4XH[u](x, y) =(−1)m−1 Cm v m (x, y),(18)m=1где Cm — коэффициенты, связанные с асимптотикой поля u вблизи краев рассеивателя. Выражение (18) названо в работе формулой расщепления в слабойформе.
Для получения сильной формы необходимо избавиться от констант Cm .Для этого применяется теорема взаимности. Результатом является формулаCm (ψ) = −iS m (ψ),(19)т. е. коэффициент Cm оказывается выражен через значение диаграммы направленности краевой функции Грина. Отметим, что в (19) явно указана зависимость констант Cm от угла падения. Далее в формуле (18) производится переходк диаграммам направленности правой и левой части.
Результат есть формула(2).Похожая схема применяется в главе 1 к выводу формул расщепления в других задачах. Наиболее важным классом задач, описываемых в работе, является13класс “зоммерфельдовых” задач. Это двумерные скалярные дифракционные задачи, которые можно свести к задачам распространения на разветвленных поверхностях с конечным числом листов и точек ветвления. Необходимо, чтобы висходной физической постановке все экраны были кусочно-прямолинейны, чтобы на этих экранах были заданы идеальные граничные условия (Дирихле илиНеймана), и чтобы угол между любой парой экранов был рациональным, т. е.его отношение к π было рациональным числом. Зоммерфельдовы задачи представляют собой класс задач, к которым применимы методы, развитые в работе(координатные и спектральные уравнения).
Рассматриваются два примера: дифракция на двух полосах (отрезках) и дифракция на двух перпендикулярныхполупрямых, не имеющих общих точек. Последняя конфигурация в работе длякраткости названа уголковым отражателем со щелью. Схемы разветвленныхповерхностей для этих задач показаны на Рис. 3. Основные результаты работы(координатные уравнения (14) и спектральное уравнение (17)) остаются справедливыми для любой зоммерфельдовой задачи с особыми точками второгопорядка.Ëèñò 1II’ I’IIIIVII’IIIVVIII’Ëèñò 2I IIIIIIVËèñò 4Ëèñò 1Ëèñò 3Ëèñò 2VIIIII’IV’I’III’IV’III’VIIV’ VI’a)VI Vá)Рис. 3: Примеры разветвленных поверхностей для зоммерфельдовых задачДля вывода формулы расщепления на зоммерфельдовой поверхности вводятся краевые функции Грина um± (их краевые асимптотики выписаны выше). Далее используется описанная выше процедура, т.
е. к полю применяетсяоператор расщепления; с помощью теоремы единственности выводится слабаяформула расщепления; с помощью теоремы взаимности коэффициенты слабойформулы расщепления выражаются через диаграммы направленности краевых14функций Грина S m± . Результатом является формула расщепления4X£ m+¤1S (ψi,o )S m+ (ϕi,o ) + S m− (ψi,o )S m− (ϕi,o ) ,4k0 (cos ϕ + cos ψ) m=1(20)где S — дифракционный коэффициент задачи о падении плоской волны, S m±— диаграмма направленности краевой функции Грина, ψ — угол падения, ϕ —угол рассеяния, индексы i, o маркируют лист зоммерфельдовой поверхности,по которому распространяется приходящая или уходящая волна.Далее в первой главе выводятся формулы расщепления для трехмерныхзадач дифракции с плоскими рассеивателями, имеющими гладкую границу.Для трехмерных задач также вводятся краевые функции Грина, при этомисточники выбираются локализованными вблизи какой-либо точки ребра.
Типичное обозначение краевой функции Грина имеет вид G(x, y, z; l), где (x, y, z)— декартовы координаты точки наблюдения, а l — координата, отсчитывающая путь вдоль ребра рассеивателя до точки, вблизи которой сосредоточеныисточники. В некоторых случаях необходимо ввести несколько краевых функций Грина, соответствующих различным конфигурациям источников. Примером формулы расщепления для трехмерной задачи является формула, выведенная для тонкого плоского рассеивателя, лежащего в плоскости (x, y), с граничными условиями Дирихле на гранях:S(ϕi,o , ψi,o ) = −S(θx , θy ; θxin , θyin ) ==iZSG (θx , θy ; l)SG (θxin , θyin ; l) sin Θ(l) dl.(21)πk0 (cos θx +ΓЗдесь S — дифракционный коэффициент исходной задачи, SG — диаграмманаправленности краевой функции Грина, θxin , θyin — углы, описывающие направление прихода падающей волны, θx , θy — углы, описывающие направление рассеяния, Θ — угол между осью x и касательной к краю рассеивателя.Пример (21) иллюстрирует достоинства формул ращепления.
Неизвестнаяфункция S(θx , θy ; θxin , θyin ) выражается с помощью другой неизвестной функцииSG (θx , θy ; l). Вычисление второй функции не проще, чем вычисление первой.Однако функция в левой части равенства зависит от четырех скалярных переменных, в то время как функция, стоящая в правой части зависит лишьот трех переменных. Таким образом, численное табулирование диаграммы направленности краевой функции Грина представляется менее трудоемким, чемтабулирование диаграммы для исходной задачи.Далее в первой главе указаны способы обобщения формулы расщепления.Основные направления — более сложные граничные условия и более сложная геометрия рассеивателя. Учет импедансных граничных условий сводитсяcos θxin )15к построению краевых функций Грина для соответствующих задач.
Построение формул расщепления для более сложных геометрий рассеивателя требуетприменения операторов расщепления высоких порядков. В качестве примеразадачи со сложной геометрией рассматривается двумерная задача с идеальными граничыми условиями на кусочно-линейном рассеивателе. Предполагается,что все участки рассеивателя составляют “рациональные” углы с осью x, т. е.углы, равные πqi /n. Показано, что всеми свойствами оператора расщепленияобладает оператор· µ¶¸i ∂nHn = (−ik0 ) Pn− Pn (cos ψ) ,(22)k0 ∂xгде Pn (z) — полином Чебышева, а ψ — угол падения плоской волны. Соответственно, строится формула расщепления, содержащая n различных краевыхфункций Грина.Глава 2Во второй главе рассматривается задача о дифракции на двух компланарных полосах (отрезках). Решается вопрос о нахождении краевых функций Грина для задачи Дирихле.Для каждой из краевых функций Грина v m формулируется функциональная задача, сходная с задачей Винера-Хопфа. Для пяти участков, на которые ось x разбивается точками a1 .
. . a4 , вводятся пять неизвестных функцийU0m (k) . . . U4m (k), с точностью до множителя представляющих собой Фурье-образы значений поля v m или его производной на соответствующих интервалах(k — волновое число). Свойства данных неизвестных функций даются стандартными теоремами. А именно, устанавливается аналитичность в верхней инижней полуплоскости переменной k и делаются оценки роста в соответствующей полуплоскости.
Кроме того, выводится функциональное уравнение, устанавливающее линейную зависимость между неизвестными функциями. Такимобразом, задача дифракции оказывается сведена к функциональной задаче, т.е. к задаче отыскания набора неизвестных функций, обладающих заданнымисвойствами.Рассматриваются производные функций Unm (k) по переменной k. Нетруднопоказать, что набор таких производных для каждой вспомогательной задачитакже оказывается связан изомонодромией с исходной функциональной задачей.
Этот факт приводит к построению спектрального уравнения (3). Способвывода спектрального уравнения следующий. Задается форма уравнения, коэффициент уравнения выражается в виде отношения определителей, содержащих его решение, и с помощью теоремы Лиувилля устанавливается вид определителей. Отметим, что сама по себе форма (3) является достаточно общей.16Нетривиальность спектрального уравнения состоит в том, что его коэффициентоказывается весьма простой (рациональной) функцией переменной k.Коэффициент спектрального уравнения не вычисляется явно. Вместо этогодоказывается, что он имеет заданную форму.
Поэтому коэффициент оказывается известным с точностью до нескольких скалярных параметров. Эти параметры могут быть найдены только численно. Значительные усилия прикладываются, чтобы корректно сформулировать задачу отыскания этих параметров.Одним из методов, помогающих в поиске неизвестных параметров, являются эволюционные уравнения (6), (7). Первое из этих уравнений описываетизменение решения при изменении геометрических параметров задачи. Уравнение (6) получено с помощью того же приема, с помощью которого выводитсяспектральное уравнение, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
