Новые дифференциальные уравнения в канонических задачах дифракции (1097783), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Именно этотпример рассматривается подробно в первых трех главах.6Будем рассматривать двумерную задачу дифракции, т. е. ограничимся сечением пространства плоскостью, перпендикулярной образующим полос. Сечением полос будут два отрезка, лежащих на оси x. Геометрия задачи показананиже на Рис.
1. На плоскости выполняется уравнение Гельмгольца∆u + k02 u = 0.(1)На полосах выполняются граничные условия Дирихле. Вместо Дирихле можнозадать граничные условия Неймана, однако импедансные граничные условиязадавать нельзя — построенная теория на этот случай не обобщается.Рис. 1: Геометрия задачи о двух полосахОсновная функция, описывающая рассеяние в данной ситуации — это дифракционный коэффициент S, зависящий от угла рассеяния ϕ и угла паденияψ.
Функция S(ϕ; ψ) определяет асимптотику поля в дальней зоне в соответствиис формулойeik0 R−iπ/4S(ϕ; ψ)(1 + O(R−1 )).usc (R, ϕ) = − √2πk0 RПеречислим основные соотношения, полученные для данной задачи.а) Формула расщепленияВведем четыре краевые функции Грина v 1 (x, y) . . . v 4 (x, y). Каждая из этихфункций представляет собой поле, порожденное точечным источником, расположенным вблизи одной из вершин рассеивателя. Напомним, что рассматривается двумерная задача; точечный источник в ней соответствует линейномуисточнику, расположенному вблизи края полосы в трехмерном пространстве.
Вдвумерном сечении край полосы есть конец соответствующего отрезка. Будемназывать его вершиной.Расположить источник непосредственно в вершине нельзя, поэтому для корректного определения поля строится предельный переход. Для каждого из четырех полей v m , m = 1 . . . 4 расположим источник на расстоянии ² от соответствующей вершины (см.
Рис. 2). Силу источника выберем равной (π/²)1/2 .7Решая соответствующие дифракционные задачи и переходя к пределу ² → 0, получим поля v 1 (x, y) . . . v 4 (x, y). Этим полям соответствуют диаграммы направленности S 1 (ϕ) . . . S 4 (ϕ). Отметим, что найти краевые функции Грина не менеесложно, чем решить исходную дифракционную задачу.Рис. 2: Положение источников для определение краевых функций ГринаФормула расщепления связывает решение исходной задачи с краевыми функциями Грина:S(ϕ; ψ) = −S 1 (ϕ)S 1 (ψ) − S 2 (ϕ)S 2 (ψ) + S 3 (ϕ)S 3 (ψ) − S 4 (ϕ)S 4 (ψ).cos ϕ + cos ψ(2)Таким образом, функция S(ϕ, ψ), зависящая от двух переменных, оказываетсявыражена через несколько функций S n (ϕ), зависящих от одной переменной.б) Спектральное уравнениеПерейдем от угловой переменной ϕ к волновому числу k. Вместо функцийS m (ϕ) будем рассматривать функцииW m (k) = −Построим векторS m (ϕ),k0 sin ϕk = −k0 cos ϕ.W1 W2 W= W3 .W4В работе показано, что этот вектор удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнениюdW(k) = K(k)W(k),(3)dk8которое будет называться спектральным.
Матрица коэффициентов K имеетвесьма простую структуру:ia1 000 0 ia2 00 + 1 K+ + 1 K− .(4)K(k) = 00 ia3 0 k − k0k + k0000 ia4Здесь a1 . . . a4 — координаты вершин рассеивателя по оси x, K± — матрицы, независящие от k (т. е. константы). Эти константы необходимо подобрать такимобразом, чтобы уравнение (3) имело решение, обладающее нужными свойствами.в) Эволюционные уравненияИсследуем вопрос о том, как изменяются решения при изменении параметров рассеивателя, а именно координат вершин a1 . . . am .
Оказывается, такиеизменения можно описать с помощью эволюционных уравнений∂W = Aj W,∂aj(5)коэффициенты которых имеют видAjm,n (k)+−(Km,n+ Km,n)(δj,n − δj,m )= ikδj,m δm,n +.an − am(6)±Здесь Ajm,n — элементы матриц Aj , а Km,n— элементы матриц K± . Предполагается, что второе слагаемое равно нулю при m = n.С помощью условий совместности спектрального и эволюционных уравнений∂K∂Aj=+ [Aj , K](7)∂aj∂kможно получить замкнутые уравнения, описывающие эволюцию неизвестныхконстант, входящих в матрицы K± .Эволюционные уравнения могут быть полезны в следующих обстоятельствах. Как уже отмечалось, для того чтобы воспользоваться спектральнымиуравнениями, необходимо особым образом подобрать в них константы. Процедура их подбора достаточно сложна. Вместо этого можно подобрать константыодин раз для какого-то набора геометрических параметров a1 .
. . a4 (например,при достаточно больших длинах отрезков можно использовать коротковолновое приближение), а затем найти коэффициенты спектрального уравнения длянужного набора a1 . . . a4 путем численного решения эволюционных уравнений.9г) Координатные уравненияРанее все результаты касались диаграмм направленности S m и связанных сними функций W m . Рассмотрим теперь сами краевые функции Грина v 1 . .
. v 4 .Напомним, что эти функции были построены для задачи Дирихле. Добавимк этому набору функции w1 . . . w4 , которые являются краевыми функциямиГрина для задачи Неймана. Их роль полностью аналогична роли функций v m ;для них так же строится формула расщепления, спектральные и координатныеуравнения.Построим вектор-столбецu = (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , w1 , w2 , w3 , w4 )T .В работе показано, что этот вектор удовлетворяет уравнениям вида∂u= X u,∂x∂u= Y u,∂y(8)где X(x, y) и Y(x, y) — матрицы коэффициентов, имеющие достаточно простойвид.
Элементы этих матриц — рациональные функции координат x и y. Данныеуравнения названы в работе координатными.Формально координатные уравнения представляют собой систему уравнений в частных производных более громоздкую, чем исходное уравнение Гельмгольца. Однако изучения свойств этих уравнений приводит к выводу о том, чтосистема вида (8) представляет собой наиболее естественное обобщение понятияобыкновенного дифференциального уравнения на случай двух независимых переменных.
Решение характеризуется своим значением в одной произвольнойточке пространства. Граничные условия также достаточно проверить лишь водной точке границы.д) Координатные и спектральные уравнения в “комплексной” формеСтоит упомянуть об удобной форме координатных и спектральных уравнений, позволяющей записать коэффициенты в компактной форме. Важной особенностью такой записи является то, что она оказывается универсальной дляширокого класса задач, т. е. форма уравнений не зависит от геометрии задачи.Зависимость выражается в порядке уравнения и численных значениях параметров, входящих в коэффициенты.“Комплексная” форма записи наиболее естественно вводится для задачиопределения краевых функций Грина на разветвтленной поверхности.
В работерассматриваются две такие поверхности. Одна из них — это поверхность длязадачи дифракции на паре коллинеарных отрезков. Такая поверхность имеетдва листа и четыре точки ветвления. Ее схема показана на Рис. 3а. Берега разрезов, помеченные одинаковыми цифрами, склеиваются между собой. Вторая10поверхность относится к уголковому отражателю со щелью. Ее схема показанана Рис. 3б. Она имеет четыре листа и четыре точки ветвления. Обе поверхности имеют в конечной области только точки ветвления второго порядка. Выведенные уравнения относятся к случаю разветвленных поверхностей с произвольным (конечным) числом листов и произвольным (конечным) числом точекветвления второго порядка. Считаем, что число точек ветвления равно N .Определим “комплексные” координаты на поверхности с помощью формулz+ = x + iy,z− = x − iy,(9)введем комплексные координаты точек ветвленияpm = xm + iym ,(10)а также локальные координатыzm+ = z+ − pm ,zm− = z− − p̄m .(11)Определим краевые функции Грина поверхности как функции um± , удовлетворяющие на данной поверхности уравнению Гельмгольца и условию излучения, а в точках ветвления имеющие асимптотики видаδm,n −1/2u (zn+ , zn− ) = − √ zn+ +πδm,n −1/2um− (zn+ , zn− ) = − √ zn− +πm+m+2Cn+1/2√ zn++πm−2Cn+1/2√ zn++πm+2Cn−1/2√ zn−+ O(ρ3/2(12)n ) + рег.чл.,πm−2Cn−1/2√ zn−+ O(ρ3/2(13)n ) + рег.чл.,πгде Cβα — неизвестные коэффициенты.
В выражениях присутствуют регулярные члены, не имеющие ветвления и конечные в окрестности соответствующейвершины. Первый член в каждой из этих формул не удовлетворяет краевомуусловию Мейкснера и соответствует некоторой конфигурации источников вблизи точки ветвления. Очевидно, на каждую точку ветвления приходится по двекраевых функции Грина.Обозначим диаграммы направленности краевых функций Грина как S m± (ϕ).Введем векторы¡¢Tu = u1+ , . . .
, uN + , u1− , . . . , uN − ,¡¢T¡¢TU+ = S 1+ , . . . , S N + ,U− = S 1− , . . . , S N −В новых переменных координатные уравнения записываются как∂u = Z+ u,∂z+∂u = Z− u,∂z−11(14)где коэффициенты имеют блочную формуµ¶b+(z+ I − P)−1 (I/2 + C) (z+ I − P)−1 C+(z− I − P̄)+−Z+ = −,C−0+µ¶0C+−Z− = −.−1b−(z− I − P̄)−1 C−+ (z+ I − P) (z− I − P̄) (I/2 + C− )(15)(16)−m+Здесь C+− и C+ — матрицы, составленные из неизвестных коэффициентов Cn−m−b−b+и Cn+, входящих в асимптотики (12), (13), C− и C+ — матрицы, составленныеm−m+из элементов (p̄n − p̄m )Cn−и (pn − pm )Cn+. I — единичная матрица N × N .Наконец,P = diag(p1 , . . .
, pN ).Черта сверху обозначает комплексное сопряжение.Спектральное уравнение записывается в форм嵶d +ie−iϕ k02eiϕ ++−bU (ϕ) = −I + i C+ +P+C P̄C+ U+ (ϕ).dϕ22k0 −(17)Векторы U+ и U− связаны соотношениемU− =2i iϕ − +e C+ U .k0− b+ b−Матрицы C+− , C+ , C+ , C− и P являются константами, т. е. не зависят откоординат x, y или угла ϕ. Эти матрицы зависят от геометрии задачи и отволнового числа k0 .Важно отметить, что все приведенные соотношения и уравнения являются точными в том смысле, что при их выводе не делались предположения омалости длины волны по сравнению с размерами рассеивателя.Структура работыНиже дается детальное описание содержания каждой из глав диссертации.Глава 1Первая глава посвящена формулам расщепления.
В то время как спектральные и координатные уравнения применимы только к двумерным зоммерфельдовым задачам дифракции, формулы расщепления выводятся для гораздо болееширокого класса задач.В начале первой главы формулируется задача о дифракции на двух полосах.Для этой задачи вводятся краевые функции Грина. Для этого используется12предельная процедура, кратко изложенная выше. После этого для задачи одвух полосах выводится формула расщепления.Основной шаг построения формулы расщепления — применение к волновому полю оператора расщепления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
