Диссертация (1097499), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ýòî îáóñëîâëåíî ïðåæäå âñåãî èõ ôèçè÷åñêîé íàãëÿäíîñòüþ. Îáå ýòè ìîäåëè áàçèðóþòñÿ íà ðåøåíèè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîéçàäà÷è î ïîëå â äèýëåêòðè÷åñêîì øàðå.Äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîãî øàðà (ðèñ. 2.3) c äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε1 , êîòîðûé îêðóæåí äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäîé ñ ïðîíèöàåìîñòüþ ε2ëîêàëüíîå ïîëå E1 âíóòðè íåãî ñêëàäûâàåòñÿ èç âíåøíåãî ïîëÿ E0 è ïîëÿïîëÿðèçîâàííîé ñôåðû Ed , íàïðàâëåíèå êîòîðîãî çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿâåëè÷èí ε1 è ε2 :E1 = E0 + Ed ,ïðè ýòîìEd = −4πP ,3ãäå [73, 91](2.7)(2.8)3 ε1 − ε2E0 −(2.9)4π ε1 + 2ε2âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ñðåäû â øàðå, à χ0 âåëè÷èíà åå ïîëÿðèçóåìîñòè.P = χ 0 E0 =52PE0E1Edε1ε2Ðèñ. 2.3.
Äèýëåêòðè÷åñêèé øàð (ε1 > ε2 )2.1.2. Ìîäåëü Ìàêñâåëëà-ÃàðíåòòàÅñëè òåïåðü ðàññìîòðåòü îáú¼ì V , îáðàçîâàííûé ñðåäîé ñ ïðîíèöàåìîñòüþ ε2 ñ ðåäêèìè ñôåðè÷åñêèìè âêëþ÷åíèÿìè c äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε1 , òî òîãäà ïîëÿðèçóåìîñòü òàêîãî îáúåìà â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.9)áóäåò ðàâíà:3 εef f − ε2.(2.10)4π εef f + 2ε2C äðóãîé ñòîðîíû, ïîëÿðèçàöèÿ äàííîãî îáúåìà ñêëàäûâàåòñÿ èç ïîëÿðèχ=çàöèé êàæäîãî èç ñôåðè÷åñêèõ âêëþ÷åíèé:1X3 ε1 − ε2,(2.11)Vi χ0 = f1V i4π ε1 + 2ε2Pãäå Vi îáú¼ì i-é ÷àñòèöû, à f1 = (1/V ) Vi - îáú¼ìíûé ôàêòîð çàïîëíåχ=iíèÿ. Èç (2.10) è (2.11) ñëåäóåò ôîðìóëà Ìàêñâåëëà-Ãàðíåòòà [76]:εef f − ε2ε1 − ε2= f1.(2.12)εef f + 2ε2ε1 + 2ε2Êàê âèäíî, êîìïîíåíòû êîìïîçèòíîé ñðåäû íåðàâíîïðàâíû. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ìîäåëü Ìàêñâåëëà-Ãàðíåòòà ñïðàâåäëèâà, êîãäà îäèí ìàòåðèàëïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòðèöó, à äðóãîé îáðàçóåò â íåé èçîëèðîâàííûå âêëþ÷åíèÿ, ïðè÷åì îáúåìíàÿ äîëÿ ïîñëåäíèõ íåâåëèêà [83].532.1.3.
Ìîäåëü Áðóããåìàíà òîì æå ñëó÷àå, êîãäà â êîìïîçèòíîé ñðåäå íåëüçÿ âûäåëèòü ìàòðèöó èâêëþ÷åíèÿ (ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñðåäà â òåðìèíàõ àâòîðîâ [82]), ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ ìîäåëüþ, ïðåäëîæåííîé Ä.À.Ã. Áðóããåìàíîì [77]. Ðàññìîòðèì ñðåäó,îáðàçîâàííóþ øàðàìè èç äâóõ ìàòåðèàëîâ (ðèñ. 2.19).  äàííîé ìîäåëèñ÷èòàåòñÿ, ÷òî êàæäàÿ ÷àñòèöà ïîìåùåíà íå â ñðåäó ìàòðèöû, à â íåêîòîðóþ ýôôåêòèâíóþ ñðåäó ñ ýôôåêòèâíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþεef f , îòëè÷àþùåéñÿ îò äèýëåêòðè÷åñêèõ ïðîíèöàåìîñòåé ε1 , ε2 êàæäîé èçêîìïîíåíò. Êðîìå òîãî, äåëàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî íà êàæäûé øàðäåéñòâóåò ïîëå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ óñðåäíåííûì ïî âñåìó îáúåìó. Òàêèì îáðàçîì, ñðåäíåå ïîëå < E > îïðåäåëÿåòñÿ ïîëÿìè E1 è E1 , ñóùåñòâóþùèìèâ øàðàõ ñ ε1 è ε2 , ñîîòâåòñòâåííî:hEi = f13εef f3εef fhEi + f2hEi ,2εef f + ε12εef f + ε2(2.13)ãäå f1 è f2 ñîîòâåòñòâóþùèå ôàêòîðû çàïîëíåíèÿ,f1 + f2 = 1(2.14)Èç (2.13) ñëåäóåò:f13εef f3εef f+ f2=1,2εef f + ε12εef f + ε2(2.15)f1ε1 − εef fε2 − εef f+ f2=0.2εef f + ε12εef f + ε2(2.16)èëè â äðóãîé ôîðìå äàííîì ñëó÷àå äâà êîìïîíåíòà, ôîðìèðóþùèå íàíîêîìïîçèòíóþ ñðåäó, ðàâíîïðàâíû.
Óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè äàííîé ìîäåëè ÷àñòî ñ÷èòàåòñÿñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå íà ôàêòîðû çàïîëíåíèÿ (ïåðêîëÿöèîííûå ïðåäåëû):1/3 < f < 2/3 ,54(2.17)ε1ε2εeffE1E2Ðèñ. 2.4. Ê ìîäåëè Áðóããåìàíà.îáóñëîâëåííûå òðåáîâàíèåì êîíòàêòà ìåæäó íàíîêëàñòåðàìè.
Äðóãîå îãðàíè÷åíèå îòíîñèòñÿ ê âåëè÷èíàì äèýëåêòðè÷åñêèõ ïðîíèöàåìîñòåé, ôëóêòóàöèè êîòîðûõ íå äîëæíû áûòü ñëèøêîì âåëèêè:(2.18)1/20 < |ε1 /ε2 | < 20 .Ïîìèìî óêàçàííûõ äâóõ ìîäåëåé øèðîêîå ïðèìåíåíèå íàõîäèò òàêæåìîäåëü Ëàíäàó Ëèôøèöà Ëóéåíãè [78, 79], äëÿ êîòîðîé1/3εef fD1/3E= ε(2.19),à òàêæå âåñüìà ïðîäóêòèâíîå àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå Áåðãìàíà: [80]ÃZ1εef f = ε1 1 − (1 − p)0g(x, p)dxε1−xε1 −ε2!,(2.20)ãäå p ïîðèñòîñòü, à g(x, p) ôóíêöèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè, êîòîðàÿíå çàâèñèò îò ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ, îáðàçóþùèõ íàíîêîìïîçèòíóþ ñðåäó, àîïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ãåîìåòðèåé.
 äàííîé çàïèñè ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôàêòîðëîêàëüíîãî ïîëÿ ñ ôàêòîðîì äåïîëÿðèçàöèè x.Èñïîëüçîâàíèå ýòèõ ìîäåëåé ýôôåêòèâíîé ñðåäû äëÿ àíàëèçà îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîðèñòûõ ïîëóïðîâîäíèêîâ øèðîêî îáñóæäàåòñÿ â ëèòåðàòóðå55(ñì. [8183]).  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [13, 14, 8490]) äåòàëüíî àíàëèçèðîâàëèñü îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïîðèñòîãî êðåìíèÿ. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ìåçîïîðèñòîãî êðåìíèÿ óìåðåííîé ïîðèñòîñòè ïðèìåíåíèå ìîäåëè Áðóããåìàíàäà¼ò õîðîøèå ðåçóëüòàòû (ñì. [13, 85, 87] ).2.1.4. Îáîáùåíèå ìîäåëåé ýôôåêòèâíîé ñðåäû íà ñëó÷àé àíèçîòðîïèèÌîäåëè ýôôåêòèâíîé ñðåäû Ìàêñâåëëà-Ãàðíåòòà è Áðóããåìàíà äîïóñêàþò ñâî¼ îáîáùåíèå íà ñëó÷àé àíèçîòðîïèè ôîðìû ñîñòàâëÿþùèõ èõ ÷àñòèö.Ïóñòü, íàïðèìåð, ñðåäà ñîäåðæèò ðåäêèå âêëþ÷åíèÿ â ôîðìå ýëëèïñîèäà(ìîäåëü Ìàêñâåëëà-Ãàðíåòòà) èëè ñîñòîèò èç òàêèõ ýëëèïñîèäîâ (ìîäåëüÁðóããåìàíà).
Íàì ñíîâà íóæíî îáðàòèòüñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è ýëåêòðîñòàòèêè, íà ýòîò ðàç ê çàäà÷å î ëîêàëüíîì ïîëå â ýëëèïñîèäå.Êàê è â ñëó÷àå øàðà, ïîëÿðèçàöèÿ äèýëåêòðèêà óìåíüøàåò ïîëå âíóòðèýëëèïñîèäà (ðèñ. 2.5). Ïîëå E1 âíóòðè äèýëåêòðèêà, òàêèì îáðàçîì, ñêëàäûâàåòñÿ èç âíåøíåãî ïîëÿ E0 è äåïîëÿðèçóþùåãî ïîëÿ Ed . Êîìïîíåíòûïîëÿ âíóòðè ýëëèïñîèäà îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè [92]:E1x = E0x −4πLx P1x ,E1y = E0y −4πLy P1y ,E1z = E0z −4πLz P1z .
(2.21)Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îäíîðîäíîãî è ïàðàëëåëüíîãî âíåøíåãî ïðèëîæåííîãîïîëÿ ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå âíóòðè ýëëèïñîèäà áóäåò òàêæå îäíîðîäíî èïàðàëëåëüíî, õîòÿ îíî è íå îáÿçàíî ñîâïàäàòü ïî íàïðàâëåíèþ ñ âíåøíèìïîëåì.Âåëè÷èíà L íàçûâàåòñÿ ôàêòîðîì äåïîëÿðèçàöèè; å¼ ìîæíî íàéòè, ðåøèâ óðàâíåíèå Ëàïëàñà â ýëëèïòè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.
Äëÿ ýëëèïñîèäà ñãëàâíûìè ïîëóîñÿìè a, b è c ôàêòîðû äåïîëÿðèçàöèè îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè ñîîòâåòñòâåííî [102]:abc2Z∞0ds,(s + a2 )R(s)abc2Z∞0ds,(s + b2 )R(s)56abc2Z∞0ds,(s + c2 )R(s)(2.22)––––E0P1E1–+Ed++++Ðèñ. 2.5. Ëîêàëüíîå ïîëå â ýëëèïñîèäå.ãäåR(s) =p(s + a2 )(s + b2 )(s + c2 )Ðàçíûì ãëàâíûì îñÿì ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå âåëè÷èíû L; òðè ôàêòîðàäåïîëÿðèçàöèè äëÿ òðåõ ãëàâíûõ îñåé ýëëèïñîèäà (x, y è z ) ñâÿçàíû ìåæäóñîáîé ñîîòíîøåíèåì:Lx + Ly + Lz = 1(2.23)Äëÿ ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ (ñôåðîèäà) ñèòóàöèÿ óïðîùàåòñÿ, òàê êàê â ýòîìñëó÷àå äâà ôàêòîðà äåïîëÿðèçàöèè îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè äðóã äðóãó. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ L|| äëÿ ôàêòîðà äåïîëÿðèçàöèè äëÿ ïîëÿ, íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè âðàùåíèÿ, è L⊥ äëÿ ôàêòîðà äåïîëÿðèçàöèè äëÿ ïîëÿ, íàïðàâëåííîãî ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè âðàùåíèÿ.
Âåëè÷èíà L|| îïðåäåëÿåòñÿîòíîøåíèåì ξ = a/b äëèíû ïîëÿðíîé ïîëóîñè a è äëèíû ýêâàòîðèàëüíîéïîëóîñè b :1L|| =1 − ξ2Ã!parcsin( 1 − ξ 2 )p1−ξ1 − ξ2L|| + 2L⊥ = 1(2.24)(2.25)Çàâèñèìîñòè L|| è L⊥ îò ñîîòíîøåíèÿ ïîëóîñåé ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2.6.Ñëó÷àé a/b < 1 ñîîòâåòñòâóåò ñïëþñíóòîìó ýëëèïñîèäó âðàùåíèÿ, a/b >571.0L||L⊥L||,L⊥0.80.60.4ab0.2ab0.00123456a/bÐèñ. 2.6. Ôàêòîð äåïîëÿðèçàöèè.1 âûòÿíóòîìó, a/b = 1 øàðó; â ïîñëåäíåì ñëó÷àå L|| = L⊥ = 1/3.Îòíîøåíèå a/b = ∞ ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íîìó öèëèíäðó (L|| = 0, L⊥ =1/2), à a/b = 0 ïëîñêîñòè (L|| = 1, L⊥ = 0).Êîìïîíåíòû ïîëÿðèçàöèè P1 ñâÿçàíû ñ ïîëåì E1 êàêε1,ii − 1E1 i ,(2.26)4πãäå χii êîìïîíåíòû òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòè, à i íóìåP1 i = χii E1 i =ðóåò äåêàðòîâó êîîðäèíàòó.
Èç (2.21) ïîëó÷àåì:E1i =11+E0iε1,ii −ε2,iiLiε2,ii= Li E0i ,(2.27)ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèåLi =11+ε1,ii −ε2,iiε2,ii Li(2.28)äëÿ ôàêòîðà ëîêàëüíîãî ïîëÿ.×òîáû îáîáùèòü ìîäåëü Ìàêñâåëëà-Ãàðíåòòà íà ñëó÷àé àíèçîòðîïèè,áóäåì ðàññìàòðèâàòü âêëþ÷åíèÿ â ôîðìå ýëëèïñîèäîâ. Òîãäà ìîäèôèöèðîâàííàÿ ôîðìóëà áóäåò èìåòü âèä [83]:ε2 − ε1εef f − ε2= f1L(εef f − ε2 ) + ε2ε2 + L(ε1 − ε2 )58(2.29) ìîäåëè Áðóããåìàíà ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî â ñðåäå ñ ýôôåêòèâíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ íàõîäÿòñÿ ýëëèïñîèäû èç ìàòåðèàëîâ ñ ε1 è ε2 .Îáîáùåííàÿ ôîðìóëà Áðóããåìàíà ïðèìåò âèä [82, 83]:f1εef fε1 − εef fε2 − εef f+ f2=0+ L(ε1 − εef f )εef f + L(ε2 − εef f )(2.30)Ðàçëè÷íûì íàïðàâëåíèÿì ïîëÿ áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ðàçëè÷íûå ôàêòîðû äåïîëÿðèçàöèè è, êàê ñëåäñòâèå, ðàçëè÷íûå âåëè÷èíû ýôôåêòèâíîéäèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè, ÷òî ïîçâîëÿåò ó÷åñòü àíèçîòðîïèþ ïðèïîìîùè ìîäåëè ýôôåêòèâíîé ñðåäû.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ íàíî÷àñòèö ñôåðè÷åñêîé ôîðìû (L = 1/3) ôîðìóëû (2.29) è (2.30) ïåðåéäóò â (2.12) è (2.16)ñîîòâåòñòâåííî.2.1.5. Âëèÿíèå ðàçìåðîâ êîìïîíåíòîâ ïîðèñòîé ñðåäû íà å¼ îïòè÷åñêèå ñâîéñòâàÊàê ïðàâèëî, â îñíîâå ìîäåëåé ýôôåêòèâíîé ñðåäû ëåæèò ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå, óñëîâèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ìàëîñòü êàê ðàçìåðàíàíî÷àñòèöû, òàê è ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé îïòè÷åñêîé âîëíû â ñðåäå.  òî æå âðåìÿ, êîãäà îòíîøåíèå ðàçìåðîâ íàíî÷àñòèö a ê äëèíå âîëíû λ ñòàíîâèòñÿ äîñòàòî÷íî âåëèêî, õîòÿ è a/λ îñòà¼òñÿâñ¼ åù¼ ìåíüøå åäèíèöû, äëÿ îïèñàíèÿ îïòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê íàíîêîìïîçèòà òðåáóåòñÿ ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ðàçìåðû íàíî÷àñòèö. Ïîäõîä,ïîçâîëÿþùèé ó÷åñòü âëèÿíèå ðàçìåðîâ ÷àñòèö íà âåëè÷èíó ëîêàëüíîãî ïîëÿ, áûë âïåðâûå ïðåäëîæåí â ðàáîòå [93, 94] è âïîñëåäñòâèè èñïîëüçîâàëñÿâ ìîäåëÿõ ýôôåêòèâíîé ñðåäû äëÿ òàê íàçûâàåìîãî äèíàìè÷åñêîãî ðåæèìà [9599].2.1.5.1.
Ñôåðè÷åñêèå ÷àñòèöûÌîäåëè Áðóããåìàíà è Ìàêñâåëëà-Ãàðíåòòà îñíîâàíû íà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíîé ñðåäû, íå ó÷èòûâàþùåé ðàçìåðîâ êîìïîíåíòîâ íàíîêîìïîçèòà. Îäíàêî ïðè óâåëè÷åíèè îòíîøåíèÿ ðàçìåðà íà59Ðèñ. 2.7. Ðàñ÷åò ïîëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ ñ äèïîëüíûì ìîìåíòîì âäîëü îñè z .íîñòðóêòóðû ê äëèíå âîëíû äàííîå ïðèáëèæåíèå ïåðåñòàåò áûòü ñïðàâåäëèâûì.Äëÿ òîãî ÷òîáû ó÷åñòü âëèÿíèå ðàçìåðîâ ñîñòàâëÿþùèõ íàíîêîìïîçèòà íà åãî îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà ðàññ÷èòàåì ñíà÷àëà äåïîëÿðèçóþùåå ïîëå âøàðå êîíå÷íîãî ðàäèóñà a â ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè, êàê ýòîáûëî ñäåëàíî, íàïðèìåð, â ðàáîòå [93]. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â öåíòðå øàðà ñäèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε ðàñïîëîæåí äèïîëü ñ äèïîëüíûì ìîìåíòîì p, íàïðàâëåííûì ïî îñè z (ñì. ðèñ.
2.7), îñöèëëèðóþùèé ñ ÷àñòîòîéω , à ñàì øàð íàõîäèòñÿ â âàêóóìå.Cîãëàñíî [73] ðàäèàëüíàÿ è òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ äèïîëÿ íà ðàññòîÿíèè R îò íåãî ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:µ¶[p][ṗ]ER = 2 cos θ+,R3 cR2µ¶[ṗ][p̈][p]++Eθ = sin θ,R3 cR2 c2 R(2.31)(2.32)ãäå θ - ïîëÿðíûé óãîë ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðîì R è îñüþ z , à âåëè÷èíû âêâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ñîîòâåòñòâóþò çàïàçäûâàþùèì çíà÷åíèÿì äèïîëüíîãî60ìîìåíòà:[p] = p eiω (t−R/c)−ikR ,(2.33)[ṗ] = ick[p] ,(2.34)[p̈] = −c2 k 2 [p] .(2.35)Âêëàä çàäåðæàííîãî èçëó÷åíèÿ äèïîëÿ â äåïîëÿðèçóþùåå ïîëå âíóòðèøàðà Ed áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ èíòåãðàëîì ïîëÿ äèïîëÿ ïî îáúåìó øàðà:ZZZdEd, || +d Ed =VdEd,⊥ ,(2.36)VVãäå Ed, || è Ed,⊥ êîìïîíåíòû ïîëÿ Ed , ïàðàëëåëüíûå è ïåðïåíäèêóëÿðíûåîñè z ñîîòâåòñòâåííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
