Вихревые методы исследования нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости (1097493), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Входящие в них величины dΓ, dΓ new привихревом моделировании течений известны, так как они вычисляются в ходерасчета течения без участия давления.Следует отметить, что полученные зависимости играют важную роль припостановке сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил, о чем будет сказано в следующей главе.Глава 2 посвящена бессеточному численному методу «вязких вихревыхдоменов» (ВВД), разработанному для решения уравнений Навье-Стокса плоских и незакрученных осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости.
Метод основан на том, что в таких течениях циркуляция вектора скоростисохраняется на контурах, движущихся относительно жидкости с диффузионнойскоростью Vd , определенной формулой (1).Это свойство было использовано также в работе [Ogami Y., Akamatsu T.Comp. & Fluids. 1991. Vol 19. N. 3/4, P. 433-441] для моделирования плоскопараллельных течений.
Метод, развитый в этой работе, получил название методадиффузионной скорости (ДС). Общая схема метода ВВД имеет сходство сосхемой метода ДС, но способ аппроксимации диффузионной скорости имеетряд принципиальных отличий от способа, предложенного в методе ДС, что позволило устранить ряд его недостатков. Кроме того, в отличие от метода ДС вметоде ВВД отсутствуют произвольные параметры, влияющие на результатырасчетов.В разделе 2.1 излагается общая схема метода ВВД.Пространство с ненулевой завихренностью моделируется набором мелких областей (вихревых доменов), движущихся относительно жидкости с диффузионной скоростью.
На каждом временном шаге на поверхности тела образуются новые домены. В процессе движения циркуляция домена Г остаетсяпостоянной. В каждом домене имеется контрольная точка R, в которой вычисляется скорость жидкости V и диффузионная скорость Vd, после чего точка перемещается в соответствии с суммарной скоростью V + Vd . Для сталкивающихся доменов разноименной циркуляции имеется механизм аннигиляции.По положению контрольных точек и значениям циркуляций соответствующих им доменов можно восстановить поля скоростей и завихренности спомощью интегральных представлений, которые будут приведены ниже.9Новые вихревые домены в отсутствие неконсервативных сил рождаютсятолько на контуре обтекаемых тел.
При достаточно малом значении шага повремени можно считать, что образовавшиеся за время этого шага домены находятся в непосредственной близости от тела, и задать положение новых контрольных точек непосредственно на контуре тела. Циркуляции вновь образовавшихся доменов определяются из граничных условий на поверхностях.В разделе 2.2 описывается математическая модель течения в лагранжевых координатах ξ, η, связанных с эйлеровыми координатами r уравнениями∂r ( ξ, η, t )∂t= V + Vd .В этой системе координат уравнение эволюции завихренности, вытекающее из уравнений Навье-Стокса, имеет вид∂∂t( J r Ω ) = 0,J r ( ξ, η, t ) =ξ,ηD ( x, y )D ( ξ, η ).Скорость выражается формулойV ( R ) = ∫ vd Γ +Γ∫ v dQqb+ V∞ ,Qbгде интегрирование проводится по всем вихревым элементам d Γ = ΩJ r d ξd η ,включая вихри в гипотетическом течении в области тела, и источникам dQ, моделирующим тела.
Вектор v – скорость, индуцируемая в точке R вихревой линией единичной циркуляции (прямолинейной, в случае плоскопараллельноготечения и кольцевой в осесимметричном случае), vq – аналогичный вектор дляисточников.Граничное условие, накладываемое на скорость, приводит к интегральному уравнению⎛ ∂v⎞∂∂( nVs ) = n ⎜⎜ ∫ dΓ + ∫ vd Γ new + ∫ v q dQ ⎟⎟ ,∂t∂t QΓ new⎝ Γ ∂t⎠где Vs – скорость движения поверхности, частные производные по t берутсяпри фиксированных лагранжевых координатах, dΓ new – совокупность элементовпотока завихренности с поверхности dΓ (1)new и изменяющихся присоединенных (1)вихревых элементов dΓ (2)new , где d Γ new = − ( nVd ) Ωdl (dl – элемент длины конту∂ра поверхности) d Γ (2)( d Γ ) .
При условии скольжения поток завихренноnew =∂tсти с поверхности принимается равным нулю, а в случае условия прилипаниясчитается равной нулю присоединенная завихренность с внешней стороны поверхности тела.10Это уравнение является сингулярным интегральным уравнением первогорода. Методы решения таких уравнений в настоящее время разработаны иобоснованы [Лифанов И.К. Сетуха А.В. Дифференциальные уравнения т.З5,№9, 1999. С.
1227-1241.]. Уравнение дополняется условием на суммарную циркуляцию ∫ d Γ new = 0 .Γ newВ разделе 2.3 приводятся аппроксимационные формулы, используемые вметоде ВВД.Формулы для вычисления диффузионной скорости по положению дискретных вихревых элементов и их циркуляциям основаны на следующем интегральном представлении функции ΩΩ ( R ) = limε→ 0I1 ( R ) =I1,I0⎛ R −r1Ω ( r ) exp ⎜ −2 ∫2πε Sε⎝I0 ( R ) =⎛ R −r1exp⎜−2πε 2 ∫Sε⎝⎞⎟ ds,⎠⎞⎟ ds .⎠Показано, что при ε → 0 I1/I0 = Ω(R) + О(ε2).Вытекающие отсюда дискретные выражения диффузионной скорости вточке ri имеют видVd = −ν⎛II ⎞∇Ω= −ν ⎜ 2 − 3 ⎟Ω⎝ I1 I 0 ⎠⎛ ri − r j∑j r − r ε Γ j exp ⎜⎜ − εiiji⎝⎛ ri − r j ⎞1expI1 ( ri ) ≈Γ∑ j ⎜⎜ − ε ⎟⎟,2πεi2 ji⎝⎠1I 2 ( ri ) ≈ −2πεi2ri − r j⎞⎟,⎟⎠1 KI 3 ( ri ) ≈ −∑ n k dk exp ( − ξ k ),2πεi2 k =1(r + r )r − rˆξ k = i k , d k = rk +1 − rk , rˆk = k k +1 ,2εi1 K (ξ k nk ) dkI 0 ( ri ) ≈ 1 −( ξ k + 1) exp ( − ξ k ) .∑2πεi k =1 ξ k 2Значение параметра εi выбирается на каждом шаге для каждой i-ой точкиследующим образом.
Путем перебора всех точек определяется расстояние до11ближайшей к ней j-ой точки (или до ближайших нескольких точек), после чеговеличина εi полагается равной этому расстоянию, умноженному на некоторыйкоэффициент запаса c (c > 1). При суммировании по j используется не зависящее от j, но зависящее от i значение ε = εi.В выражение диффузионной скорости входят два слагаемых. Первоепредставляет собой сумму вкладов от всех вихревых доменов, каждый из которых является вектором, направленным вдоль линии, соединяющей их контрольные точки, и носит характер отталкивания для доменов одного знака ипритяжения для доменов разных знаков. По мере увеличения расстояния междуточками этот вклад экспоненциально убывает.
Второе слагаемое в соответствиес (2.3.7) является суммой вкладов отрезков контура и независимо от знака циркуляции вихря носит характер отталкивания.Отметим следующие принципиальные отличия аппроксимации, используемой в методе ВВД, от аппроксимаций в методе ДС и в методах сглаженныхчастиц. Вклад j-й точки зависит не только от ее характеристик, но также от положения i-ой точки относительно границы области течения и плотности точеквблизи нее. Еще одним отличием от аппроксимации ДС является то, что подзнаком экспоненты используется первая степень расстояния между точками.Благодаря этому диффузионная скорость не стремится к нулю при сближенииконтрольных точек и они «не слипаются», а распределяются более равномерно.Кроме этого, параметр εi выбирается по фактическому расположению точек вкаждый момент времени, что повышает точность при удалении частиц друг отдруга.Таким образом, в результате всех усовершенствований аппроксимациидиффузионной скорости метода ВВД более точны, чем в методе ДС, вблизи поверхностей, а также при близком и далеком расположении точек.Интегральное уравнение для нахождения неизвестных циркуляций новыхвихревых элементов Γ k = ΔΓ new аппроксимируется системой линейных уравнений.∑aikkΓ k = bi ,aik = n i v ki ,bi = −n i ∑ v ij Γ j − n i ∑ v q im Qm + n i ( Vsi − V∞ ) ,jmгде Vsi – скорость движения i-го отрезка контура, vki – скорость индуцированная на нем k-ым элементом единичной интенсивности, вычисленная в контрольной точке или как осредненная по отрезку.
В первом случае система оказывается близкой к вырожденной, во втором строго вырожденной. В обоихслучаях она дополняется условием на суммарную циркуляцию∑ Γk + ∑ Γ j = 0 . При этом в первом случае добавляется неизвестный регуляkjризирующий источник, а во втором отбрасывается одно из уравнений.При решении сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил неизвестные составляющие скорости Vsi, умноженные на нормаль, переносятся в левую часть уравнений, и система дополняется уравнениями движения тела, а также выражением сил через циркуляции движущихся ивновь образовавшихся вихревых элементов. Как было показано в первой главе,12эти выражения линейны относительно неизвестных значений циркуляции. Таким образом, получается единая линейная система уравнений, позволяющаярешать сопряженные задачи без итераций и расщепления на гидродинамическую и динамическую части.
Это имеет особо важное значение в случае, когдатело обладает малой инерционностью, например, при движении парашютныхсистем или тонких оболочек. В предельном случае нулевой массы динамическая часть задачи оказывается вырожденной, и отдельное решение ее становится невозможным, а при конечной, но малой массе динамические уравнениястановятся так называемыми «жесткими». Для их решения требуется малыйшаг по времени или применение неявных численных схем, что в сочетании сгидродинамической частью задачи серьезно осложняет решение.
Метод, разработанный в данной работе, позволяет решить эти проблемы.В разделе 2.4 приведены численные схемы для решения различных типовзадач, таких как двухстороннее омывание произвольно движущейся поверхности идеальной и вязкой жидкостью, обтекание тел при произвольном движении, включая изменение формы. При этом рассматриваются различные типыграничных условий: скольжение, прилипание, наличие вдува и отсоса жидкости на поверхности. Во всех рассмотренных случаях приводятся формулы длявычисления давления в жидкости, гидродинамических сил и моментов, действующих на тела, а также формулируется постановка соответствующих сопряженных задач.В разделе 2.5 описывается быстрый алгоритм решения задачи N тел, использованный при решении задач методом ВВД.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
