Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Можно записать эту систему в матричном виде: К„Ъ=р. Здесь К, — корреляционная матрица сигнала (х(Й)) (см. раздел «Дискретные случайные сигналы» главы 3), Ъ вЂ” столбец коэффициентов Ь, р — столбец значений корреляционной функции й„(Ь) для Ь от 1 до Лг. Теперь можно записать искомое решение: Ъ-К, р. (5.25) Подстановка найденного вектора Ъ в формулу (5.24) дает минимально возможное значение среднего квадрата ошибки предсказания: ЗАМЕЧАНИЕ В приведенных выкладках предполагалось, что сигнал (х(й)) вещественный. Это было сделано лишь для упрощения изложения материала н не является принципиальным.

В ком. плексном случае формула (5.25) не меняется, а операцию транспоннрования в (5.26) следует заменить эрмнтовым сопряжением (сочетанием транспоннровання с комплексным сопряжением). Кроме того, прн вычислении корреляционной функции комплексного сигнала один из перемножаемых снп~алов подвергается комплексному сопряжению. На практике мы не знаем истинной корреляционной функции исследуемого сигнала, поэтому для минимизации ошибки предсказания используются оценки КФ, полученные путем временного усреднения. Был разработан целый ряд методов авторегрессионного анализа, отличающихся в основном подходом к обработке краевых эффектов (то есть к способу вовлечения в вычисления тех краевых отсчетов сигнала, для которых при вычислении КФ не оказывается сдвинутой пары), Это метод Берга (Вцгя), ковариационный метод, модифицированный ковариационный метод, авторегрессионный метод Юла — Уолкера (Уц1е — ЖаПгег) и некоторые другие.

Подробные теоретические сведения об этих методах можно найти в ]10], здесь же отметим лишь то, что при анализе длинных последовательностей отсчетов все методы дают практически одинаковые результаты, различия начинают проявляться в случае коротких сигналов. Достоинства и недостатки 281 Параметрические методы методов авторегресснонного спектрального анализа, реализованных в МАТЮКАВ, кратко перечислены в табл. 5П. Таблица БЛ. Характеристики авторегрессиоиных методов спектрального анализа Недостатки Доотоииотеа Метод Берга Рассчитанный формирующий фильтр может оказаться неста- бильным о сравнению с мето- олкера) разрешаю- ость при анализе гналов При анализе суммы синусоид с шумом получаются смещенные спектральные пики оценки частот для ставляющего со- истых» синусоид Высокая разрешающая способ- ность при анализе коротких сигналов Модифициро- ванный ковариационный Юла — Уолкера Авторегрессионные методы анализа спектра больше всего подходят для сигналов, действительно являющихся авторегрессионными процессами.

Вообще, хорошие результаты зти методы дают тогда, когда спектр анализируемого сигнала имеет четко выраженные пики. В частности, к таким сигналам относится сумма нескольких синусоид с шумом. При рспользованнн авторегрессионных методов важно правильно выбрать порядок авторегресснонной модели — он должен быть в два раза больше числа синусоидальных колебаний, которые предположительно содержатся в анализируемом сигнале. Высокая разрешающая способность при анализе коротких сигналов Гарантированная стабильность го формирующего Возможность оценки частот лля сигнала, представляющего со- бой сумму «чистых» синусоид Отсутствие расщепления спек- тральных пиков Хорошие результаты при анали- зе длинных сигналов Гарантированная стабильность рассчитанного формирующего фильтра Положения спектральных пи- ков сильно зависят от началь- ных фаз синусоид При большом порядке модели может наблюдаться расщепле- ние спектральных пиков При анализе суммы синусоид с шумом получаются смещенные спектральные пики Положения спектральных пи- ков в некоторой степени зави- сят от начальных фаз синусоид Рассчитанный формирующий фильтр может оказаться неста- бильным При анализе суммы синусоид с шумом получаются слегка сме- щенные спектральные пики Плохие результаты при анализе коротких сигналов При анализе суммы синусоид с шумом получаются смещенные спектральные пики 282 Глава 5.

Спектральный анализ Пример, демонстрирующий влияние порядка модели на результаты расчетов, будет приведен далее, при описании функций авторегрессионного спектрального анализа, имеющихся в МАТ1.АВ. Помимо спектрального анализа техника линейного предсказания широко используется для кодирования звуковых сигналов. При этом звук. делится на фрагменты (кадры) и вместо самих отсчетов звука для каждого кадра передаются только коэффициенты авторегрессионной модели формирования звука, что позволяет во много раз уменьшить требуемую скорость передачи данных. Такая технология используется, например, в сотовых телефонных сетях СБМ и в радиотелефонах стандарта?)ЕСТ.

Формула (5.25) имеет очень важное значение, и сфера ее использования далеко не ограничивается расчетом коэффициентов линейного предсказания, Рассматривая нашу частную задачу, мы получили формулу оптимального фильтра Винера, который позволяет сделать входной сигнал максимально близким (в смысле среднеквадратической ошибки) к заданному образцу. При этом К, в формуле (5.25) — это по-прежнему корреляционная матрица входного сигнала, а р — вектор взаимных корреляций между желаемым (образцовым) значением выходного сигнала фильтра и входными отсчетами, используемыми при вычислениях (это, как обычно, текущий отсчет и некоторое количество предыдущих).

Метод М08!С Метод М??5?С (М1ЛС?р!е 5?япа1 С!азз?1?саг?оп) предназначен для спектрального анализа сигналов, представляющих собой сумму нескольких синусоид (точнее, в общем случае — нескольких комплексных экспонент) с белым шумом. Целью спектрального анализа подобных сигналов, как правило, является не расчет спек- тра как такового, а определение частот и уровней (амплитуд или мощностей) гармонических составляющих. Метод М??Я?С йредназначен именно для этого, поэтому получаемая с его помощью зависимость уровня сигнала от частоты на- зывается псевдоспектром (рзеийозресггпт), В основе метода лежит анализ собственных чисел и собственных векторов кор- реляционной матрицы сигнала.

Подробное математическое обоснование можно найти в [10], ниже приводятся лишь базовые идеи. Итак, пусть сигнал представляет собой сумму М комплексных экспонент, началь- ные фазы которых случайны, с белым шумом: м х (?г) = п (я) е ~ ~А„ехр(гез„?гТ и- ур ) . (5.27) и ! Здесь п(?г) — отсчеты дискретного белого шума, А, ге и у — соответственно амплитуды, частоты и начальные фазы комплексных экспонент, содержащихся в сигнале, Т вЂ” период дискретизации, Начальные фазы у — независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале 0...2ж ЗАМЕЧАНИЕ Каждая вещественная синусоидальиая составляющая сигнала может быть представлена как сумма двух комплексных экспонент с помощью формулы Эйлера. Параметрические методы 283 Корреляционная функция такого сигнала будет иметь следующий вид: и й„(й) = о~ х (1г)+ ~,А~ ехр(-)а 'нТ).

(5.28) Здесь хо(1г) — единичная импульсная функция (3.17), равная 1 при й - О и О в остальных случаях, о„' — дисперсия шума п(1о). Далее из отсчетов корреляционной функции формируется корреляционная матрица размера Агх Аг, причем размер матрицы должен превышать число комплексных экспонент; Аг> М. Анализируя собственные числа и собственные векторы такой корреляционной матрицы, можно показать, что наименьшее собственное число равно о'„, и оно имеет кратность Аг — М. Остальные М собственных чисел превышают о.„', а их конкретные значения зависят от амплитуд и частот комплексных экспонент.

Собственные векторы, соответствующие М наибольшим собственным числам, представляют собой линейные комбинации комплексных экспонент, содержащихся в сигнале. Множество всех таких линейных комбинаций называют сигнальным подпростпранством (э!два! эиЪэрасе), а упомянутые собственные векторы образуют базис в этом подпространстве.

Оставшиеся Аг — М собственных векторов ортогональны всем комплексным экспонентам, содержащимся в сигнале. Эти векторы образуют базис шумового подпространства (по1эе зиЪзрасе). Спектр комплексной экспоненты, рассчитанный аналитически, представляет собой дельта-функцию, расположенную на соответствующей частоте. Чтобы получить бесконечные выбросы на частотах оо, псевдоспектр при использовании метода М(15!С рассчитывается следующим образом: %'(оо) = 1 (5.29) и !и-1 ~ , 'о,(п)е '"" о=лы -о Здесь оо(п) — и-й элемент в-го собственного вектора корреляционной матрицы.

Векторы пронумерованы по убыванию соответствующих им собственных чисел. Таким образом, внешняя сумма по 1 от М+ 1 до Хзадает участие в вычислениях только шумовых собственных векторов. Внутренняя сумма представляет собой вычисление спектра собственного вектора на частоте оо. Шумовые собственные векторы ортогональны всем комплексным экспонентам с частотами оо, содержащимся в сигнале. Поэтому при ое - ге все внутренние суммы равны нулю, н 'йг(оо) -+ ое.

Сами частоты оо можно получить, приравняв к нулю знаменатель формулы (5.29): и-о 2 ~о,(п)е м"г =О, о-н~~ ) -о Раскроем квадрат модуля, превратив его в двойную сумму: Й и-1 и-1 , 'ч ~по(п)о,(7)в '"'" ог =О. (5.30) о-и+~ -о ыо 284 Глава Э. Спектральный анализ Теперь видно, что левая часть полученного выражения в конечном счете представляет собой полинам относительно е '"г степени 2У вЂ” 2. Те корни этого полинома, которые лежат на единичной окружности, равны ехр(-7»в Т), и для расчета частот остается вычислить аргументы этих комплексных чисел и разделить их на Т. Все сказанное до сих пор относилось к идеализированной модели сигнала (5.27) и аналитически полученной корреляционной функции (5.28).

В реальных ситуациях, когда сигнал не вполне соответствует модели (5.27), а его корреляционная функция оценивается по результатам измерений (к тому же зачастую без возможности усреднения по нескольким наблюдениям), результаты оказываются несколько иными — пики в (5.29) будут иметь конечную высоту, а корни полинома (5.30) не будут лежать строго на единичной окружности. Однако если сигнал близок к предполагаемой модели, метод М1З1С дает хорошие результаты. Для расчета частот выбираются корни полинома (5.30), ближайшие к единичной окружности.

Метод ЕЧ Близким родственником М()51С является метод анализа собственных векторов (е18епмессогз, ЕЧ). Его отличие состоит лишь в том, что в формулах (5.29) и (5.30) при суммировании по 7» используются весовые коэффициенты, обратно пропорциональные соответствующим собственным числам. Таким образом, формула для псевдоспектра принимает вид: 1 И'(а») = м и-1 — ~) э»(п)е ' »=м+» )'» а уравнение, которое необходимо решить для оценки значений частот, оказывается следующим: 1 " 'м ' — ~~„р»(п)р~(1)е '"~" ог =О.

Характеристики

Список файлов книги