Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 49
Текст из файла (страница 49)
5.10 сверху) и 6 отсчетам (периоди- 27Ж Взаимосвязь ДПФ и фильтрации чески продолженный сигнал содержит скачки, рис. 5.10 снизу), и покажем вид модуля их ДПФ: » Сб - О: 15, Ж вренЯ длЯ дискретных сигналов » та - О:О. 1: 16; Ж времЯ дпЯ аналоговых сигналов » Т1 = 4: Ж период первого сигнала - 4 отсчета » Т2 - б; Ж период второго сигнала - б отсчетов » х1б - сов(2*рт*гб/Т1); Ж дискретный сигнал » х1а - сов(2*рт*та/Т1); Ж аналоговый сигнал » у1 - туг(х1б); Ж ДПФ » х2б = сов(2*рт*тб/Т2): Ж дискретный сигнал » х2а = сов(2*рт*та/Т2): Ж аналоговый сигнал » у2 - ГТЖ(х2б); Ж ДПФ » выЬр1от(2, 2, 1) » втелг(гб, х1б) Ж график дискретного сигнала » Ьо1б оп » р101(га, х1а, '--') Ж график аналогового сигнала » Ь01б отт » х1тнв(10 163) » выЬр1от(2, 2, 2) » всеа(тб.
аЬв(уИ ) » выЬр1ог(2, 2, 3) » всеа(сб, х2б) Ж график диснретного сигнала » Ьо1б оп 0101(та, х2а, '--') Ж график аналогового сигнала » Ьо1б отт » х1тл)(10 16)) » воЬр1ог(2, 2, 4) » 51еи(сб, аов(у2)) Ж график спектра Ж график спектра 00 -10 6 10 6 10 0.5 -0.5 0 5 10 15 0 6 10 Рио. 5.10г Дискретное преобразование Фурье для целого (сверху) и нецелого (снизу) числа периодов гармонического сигнала (слева — исходные последовательности, справа — модули их ДПФ) Необходимо подчеркнуть, что причиной растекания спектра является именно периодическое продолжение анализируемого сигнала, Спектр одиночного фраг- 2П Глава 5.
Спектральный анализ Д график нодулЯ ДПФ сигнала х1г) мента дискретной синусоиды, в соответствии с тем, что говорилось в главе 3, является периодической непрерывной функцией частоты. Эта функция имеет лепестковую структуру независимо от того, целое или нецелое число периодов укладывается в анализируемом сегменте. Однако дискретный ряд частот, на которых вычисляется ДПФ, может быть по-разному расположен относительно лепестков спектральной функции.
В случае целого числа периодов все анализируемые частоты (кроме двух) попадают как раз на границы между лепестками. При нецелом числе периодов такого не происходит. Для иллюстрации этого факта построим графики периодически продолженных сигналов, а также модулей их ДПФ и непрерывных амплитудных спектров одиночных фрагментов синусоиды (рис, 5.11): » Сб ж " [[16-16. 16, 16+16]]: » х16 ж - [х16, х16, х16]; $ продолженный сигнал х16 » х26 ж - [х26, х26, х26]; Д продолженный сигнал х26 » $ спектры одиночных сигналов х16 и х26 » [Ь1, ыЦ - тгедг(х16.
1, [], 16, 'ипо)е'); » [Ь2. ы2] - тгеег(х26, 1, [], 16, 'ипо)е'); » вопр)от(2, 2, 1) » зтеж(16 ж, х16 ж) а график продолженного сигнала х1г) » Ьо)б оп » Ж график продолженного сигнала х1а » р)от(та-16, х1а. 'Ь--'. Са. х1а, 'Ь--', Саь16, х1а. 'Ь--') » Ьо)6 отт » х)]я([-16 32]) » зыЬр)от(2. 2, 2) » втеж(тб, аЬз(у1)) » Ьо)6 оп » р)от(ы1, аЬз(Ь1), '--') 1' спектр одиночного сигнала х16 » х)Чж([0 16]) » Ьо)6 от[ » выЬр)от(2, 2. 3) » зтеж(сб ж, х26 ж) й график продолженного сигнала х26 » Ьо)6 оп » $ график продолженного сигнала х2а » р)от(та-16, х2а. 'Ь--'. Са, х2а.
'Ь--'. (а+16. х2а, 'Ь--') » Ьо)б отт » х)Чж([-16 32]) » выЬр)ос(2, 2, 4) » зсеж(сб, аьз(у2)) д график модулЯ Дпз сигнала х26 » Ьо)б оп » р)от(ы2. аЬз(Ь2), '--') Д спектр одиночного сигнала х26 » х)дя([0 16]) » Ьо)б огт Возможна еще одна трактовка причины растекания спектра. В этом случае мы не считаем анализируемый сигнал периодически продолженным, а предполагаем, что все содержащиеся в нем гармонические компоненты существуют и за преде- 273 Взаимосвязь ДПФ и фильтрации лами анализируемого фрагмента.
Спектр такого сигнала представляет собой набор дельта-функций, а растекание спектра при ДПФ можно объяснить наличием боковых лепестков у АЧХ фильтров, соответствующих отдельным частотным каналам ДПФ (см. раздел «ДПФ как дискретная фильтрация», формулу (5.17) и рис. 5.6). 0 10 20 ЗО 0 5 10 15 1 0.5 0 -10 10 15 Рис.
5.11. Происхохдение растекания спектра: слева — периодически продолженные сигналы, справа — амплитудные спектры одиночных сигналов (пунктирные линии) и модули ДПФ (крухючки) ЗАМЕЧАНИЕ Аналогичные проблемы, связанные с наличием боковых лепестков у АЧХ фильтров, соот- ветствующих отдельным частотным каналам ДПФ, возникают при использовании ДПФ для синтеза дискретных фильтров (см. далее раздел «Синтез с использованием окон» гла- вы 6). Весовые функции Для уменьшения растекания спектра при ДПФ применяются весовые функции (вге1Е)тт(пй (пист(опз), которые также называют окнами (ту1пт(оту), В атом случае перед расчетом ДПФ сигнал умножается на весовую функцию в(/г), которая должна спадать к краям сегмента. Формула прямого ДПФ (5.3) при использовании весовых функций принимает следующий вид: н-1 l Х,( )= ') х(я) ()т)е Роль весовой функции в атой формуле можно рассматривать с различных точек зрения, Сначала проанализируем ситуацию во врелтенной области.
Если мы используем весовую функцию, которая имеет максимум в середине (при (т = Аг/2) и плавно спадает к краям (в - 0 и в = У- 1), то зто приведет к ослаблению эффектов, связанных с возникновением скачков сигнала при периодическом повторении анализируемой конечной последовательности, и, таким образом, к уменьшению растекания спектра.
1 0.5 0 -1О 10 8 8 « 2 0 10 20 30 0 Глава З. Слвктрвльный анализ 27а Аналогичный вывод можно сделать, рассмотрев влияние весовой функции в частотной области. Умножение сигнала на весовую функцию соответствует сеераяе спектров сигнала и весовой функции (см. раздел «Свойства дискретного преобразования Фурье»). Это приводит к тому, что пики, содержащиеся в спектре сигнала, несколько расширяются. Однако при этом становится возможно уменьшить уровень боковых лепестков спектральной функции, что и является целью применения весовых функций. Если трактовать ДПФ как фильтрацию, при использовании весовой функции ге(() получаются частотные характеристики фильтров следующего вида: и-! /2«вЂ” ы ( э) ~ е(1)е и »-о Выбирая весовую функцию ю(е) определенным образом, можно уменьшить уро- вень боковых лепестков частотой характеристики фильтров, соответствующих отдельным каналам ДПФ. Естественно, платой за это является расширение цен- трального лепестка частотной характеристики, Спектр дискретного случайного процесса Все сказанное в этой главе до сих пор относилось к детерминированным сигналам, теперь же мы переходим к рассмотрению спектров дискретных случайных процессов.
Для определения спектральных характеристик дискретного случайного процесса используем тот же подход, что и в аналоговом случае (см, раздел «Спектральные характеристики случайных процессовь главы 1 и формулу (1.45)) — будем усреднять спектр мощности: г %'(со) = 11т — ~х(й)е ы»г ° "2п~-1». „ (5.19) л п И'(а) = 1пп — ~ ч~„х(7»)е ' '" ~х'(а)е~ г «-'" 2и+ 1 ~ »--и я -и = 1пп — ~ ч ~х(Й)х'(а)е '"" "'г = "2п+1». „„. „ и я = 11ш — ~ ~Я,(й-а)е»ь" "'г.
~20» 1» -дт -л Черта сверху обозначает здесь усреднение по ансамблю реализаций. Если про- цесс эргодический, спектр мощности для всех реализаций является одинаковым и выполнять усреднение по ансамблю не обязательно. Выполнять вычисления непосредственно по формуле (5.19) неудобно, поэтому попробуем привести ее к более приемлемому виду.
Для этого раскроем выраже- ние для квадрата модуля: 276 Непараметрические методы Суммируемые слагаемые зависят от разности индексов суммирования )г и т, поэтому можно преобразовать двойную сумму в одиночную: Гт(го) = !!пав — ~~'(2п+ 1-3 !! )Я„(! )е ' ~~. 2п+1ы-ы Поскольку при любом ! !нп 2пк-1-~!! =1, 2п+1 окончательно получаем К'(ат) = 2, Я,(к)е '~~, Выражение (5.20) представляет собой дискретный аналог теоремы Винера — Хинчина: спектр дискретного случайного процесса является преобразованием Фурье от его корреляционной функции. Непараметрические методы При использовании непараметрических методов расчета спектра случайного процесса используется только информация, заключенная в отсчетах сигнала, без каких-либо дополнительных предположений, Мы кратко рассмотрим два таких метода — периодограмму и метод Уэлча (%'е!с!т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
