Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Примеры реализации данных методов спектрального анализа будут приведены далее, при описании соответствующих функций МАТ|АВ. Периодограмма Этим довольно странно звучащим термином — периодограима (рег1ог!оягащ)— называется оценка спектральной плотности мощности, полученная по А! отсчетам одной реализации случайного процесса согласно определению (5.19) (естественно, не путем взятия предела, а усреднением конечного числа слагаемых). Таким образом, периодограмма рассчитывается по следующей формуле; и-1 2 1У(то) = — 2 х(е)е '~~ (5.21) МУ, г.о Деление на частоту дискретизации Ук необходимо для получения оценки спектральной плотности мощности аналогового случайного процесса, восстановленного по отсчетам х(я) (ведь в формуле (3.7), связывающей спектры аналогового и дискретизированного сигналов, имеется множитель ЦТ), Если при расчете спектра используется весовая функция (окно) с коэффициентами в(к), формула (5,21) слегка модифицируется — вместо числа отсчетов Аг в знаменателе должна стоять сумма квадратов модулей коэффициентов окна.
Полученная оценка спектра мощности называется модифицированной периодограчмой (щос!!Вед рег!ос!оягащ): 276 Глава 5. Спектральный анализ и-1 ~х(е)ге(я)е '"~~ Ф(со) = ' (5.22) Ы ®!' з-о В 1101 показано, что периодограмма не является состоятельной оценкой спектральной плотности мощности, поскольку дисперсия такой оценки сравнима с квадратом ее математического ожидания. С ростом числа используемых отсчетов значения периодограммы начинают все быстрее флуктуировать. Метод Уэлча При вычислении периодограммы по длинному фрагменту случайного сигнала она оказывается весьма изрезанной (см. далее пример вычисления периодограммы в разделе, посвященном описанию функции рег1ойодгав — рис. 5.24).
Для уменьшения этой изрезанности необходимо применить какое-либо усреднение. Даньелл (Раше11) предложил сглаживать быстрые флуктуации выборочного спектра путем усреднения по соседним частотам спектра Данный метод, называемый периодограимой Даньелла, сводится к вычислению свертки периодограммы со сглаживаюшей функцией. В методе Бартлетта (Вагт1етт) анализируемый сигнал делится на неперекрывшошиеся сегменты, для каждого сегмента вычисляется периодограмма и затем эти периодограммы усредняются. Если корреляционная функция сигнала на длительности сегмента затухает до пренебрежимо малых значений, то периодограммы отдельных сегментов можно считать независимыми. В этом случае дисперсия периодограимы Бартлетта обратно пропорциональна числу используемых сегментов, однако с ростом числа сегментов при фиксированном общем числе отсчетов сигнала падает спектральное разрешение (за счет того, что сегменты становятся короче).
Уэлч (Же1сЬ) внес в метод Бартлетта два усовершенствования: использование весовой функции и разбиение сигнала на перекрывающиеся фрагменты. Применение весовой функции позволяет ослабить растекание спектра и уменьшить смещение получаемой оценки спектра плотности мощности ценой незначительного ухудшения разрешающей способности. Перекрытие сегментов введено для того, чтобы увеличить их число и уменьшить дисперсию оценки. Итак, вычисления при использовании метода Уэлча (он называется еше методом усреднения модифицированных периодограмм — ачегаяей шой1(1ей рег(ойоягжв 1ветЬой) организуются следуюшим образом; 1. Вектор отсчетов сигнала делится на перекрывающиеся сегменты. Как правило, на практике используется перекрытие на 50 Ж.
Строго говоря, оптимальная степень перекрытия зависит от используемой весовой функции. В 1101 приводятся данные о том, что для гауссовских случайных процессов при использовании окна Ханна минимальная дисперсия оценки спектра плотности мощности получается при перекрытии сегментов на б5 %. 2. Каждый сегмент умножается на используемую весовую функцию. 3. Для взвешенных сегментов вычисляются модифицированные периодограммы. 4.
Периодограммы всех сегментов усредняются. 2т7 Параметрические методы Так же как и для периодограммы Бартлетта, дисперсия оценки, получаемой методом Уэлча, уменьшается примерно пропорционально числу сегментов. Благодаря перекрытию в методе Уэлча используется больше сегментов, поэтому дисперсия оценки спектра плотности мощности оказывается меньше, чем для метода Бартлетта. Метод Уэлча, согласно (101, является наиболее популярным периодограммным методом спектрального анализа.
Параметрические методы Использование параметрических методов подразумевает наличие некоторой математической модели анализируемого случайного процесса. Спектральный анализ сводится в данном случае к решению оптимизационной задачи, то есть поиску таких параметров модели, при которых она наиболее близка к реально наблюдаемому сигналу. Мы рассмотрим два параметрических метода: авторегрессионный и М1)51С (М()1г(р!е 51япа1 С1азз(беат(оп). Авторегрессионная модель Среди возможных параметрических методов спектрального анализа наибольшее распространение получили методы, основанные на авторегрессионной (Аигогеягезз(те, АК) модели формирования сигнала.
Это обусловлено простотой модели, удобством расчетов на ее основе и тем, что данная модель хорошо соответствует многим реальным задачам. Согласно авторегрессионной модели, сигнал (х(/г)1 формируется путем пропускания дискретного белого шума (п(1т)1 через «чисто рекурсивный» фильтр Аг-го порядка (рис. 5.12). Рис. 5.12. Авторегрессионная модель Формирования сигнала 278 Глава 5. Спектральный анализ Спектральная плотность мощности такого сигнала пропорциональна квадрату модуля коэффициента функции передачи фильтра: о„ 1 %'(ш) — —" т !1 -!«т —,т«т ->к.т г (5.23) Таким образом, данный метод спектрального анализа сводится к определению коэффициентов модели (ад заданного порядка У, оценке мощности белого шума о„~ и расчету спектральной плотности мощности по формуле (5.23).
Для определения коэффициентов модели производится минимизация ошибки линейного предсказания сигнала. Сущность этого метода состоит в следующем. Сигнал (х(Ь)) пропускается через нерекурсивный фильтр с коэффициентами (1, -Ьн — Ьг, ..., — Ьн) (рис. 5.13). ка зания Рис. 5.13.
Линейное предсказание сигнала Взвешенную сумму предыфцих отсчетов входного сигнала называют линейным предсказанием (1гнеаг ргед(сг(оп) следующего входного отсчета, а выходной сигнал рассматриваемого фильтра, то есть разность между истинным и предсказанным значением отсчета, — ошибкой предсказания (ргед)сс)оп еггог). У-преобразование ошибки предсказания с учетом модели формирования сигнала (х(Ь)) можно записать следующим образом: У ) Аг( ) 1 2" " и 1-а - ' -а;г ' —...-а— ЗАМЕЧАНИЕ Помимо авторегресснонной существуют и другие модели формирования сигнала путем пропускания белого шума через формирующий фильтр.
Так, в МА-модели (Меч!па Агегаяе, «скользящее среднее«) для этого используется нерекурсивный фильтр, а в АКМА-модели (Апгогейгеззгге Мог!ай Агегайе) — фильтр общею вида, содержащий ре- курсивную и нерекурсивную ветви. 279 Параметрические методы Отношение двух полиномов можно в общем случае записать в виде бесконечного полинома по отрицательным степеням переменной д причем целая часть этого отношения в данном случае, очевидно, равна единице: У(;) = У(а) (1 ч- Ь!.='+ Ьгг=г е ...). Сам выходной сигнал будет представлять собой результат преобразования бело- го шума (п(Ь)) эквивалентным фильтром (Ь(Ь)): у(Ь) - п(Ь) + Ьгп(lг — 1) + Ьгп(Ь вЂ” 2) + ... Поскольку отсчеты белого шума являются независимыми, дисперсия сигнала ( 1г(Ь)) рассчитывается согласно следующей формуле; г- „г(1 -Ьг -Ьг Отсюда видно, что а„' ~ а„~ и равенство достигается, только когда Ь; - 0 для всех !.
Это возможно, если наборы коэффициентов (а,) и (Ь,) совпадают. Таким образом, коэффициенты фильтра, минимизирующего дисперсию (или среднеквадратическое значение) ошибки предсказания, совпадают с коэффициентами авторегрессионной модели формирования сигнала. Теперь обратимся к собственно процедуре расчета коэффициентов предсказывающего фильтра по отсчетам сигнала (х(й)). Ошибка предсказания определяется как у(А) = х(Ь)-Ь!х(И вЂ” 1)-Ьгх(Ь -2)- ... -Ь х(Ь-М) = = х(Ь)- ~ч Ь х(Ь-т). Нам нужно подобрать коэффициенты Ь, обеспечивающие минимальное средне- квадратическое значение у(Ь). Возведем у(Й) в квадрат: и !' и у'(Ь)=х'(Ь)-2х(Й)к~„Ь х(Ь вЂ” т)+ ~Ь х(Ь вЂ” т) и=! и=! л! и и = хг(Ь)-2х(Ь)",„Ь х(Ь-т)+ ",„'ЯЬ Ь„х(Ь вЂ” т)х(Ь-п).
и ! =! Теперь усредняем это по ансамблю реализаций, чтобы получить средний квадрат (считаем случайный процесс х(Ь) центрированным, поэтому математическое ожидание у(Ь) также равно нулю, а средний квадрат равен дисперсии): — и л и г(Ь)-2с„Ь.
(Ь) (Ь- )+Ч. с Ь„Ь„(Ь- -! чю Усредненные попарные произведения, входящие в это выражение, дают значения корреляционной функции входного сигнала; х'(Ь) = Як(0) = а,', х(Ь)х(Ь вЂ” т) = Я,(т), х(Ь вЂ” т)х(А - п) = Я,(т-п). 280 Глава 6. Спектральный анализ С учетом этих обозначений средний квадрат сигнала (у(Ь)) можно записать следующим образом: гг„' =а„' -2~" Ь А„(гд)+ ',,', Ь„Ь„Я,(т-п). (5.24) Дифференцирование этого выражения по Ь» дает да~ — '" =-2Я,(Ь)+2~,Ь,Я„(т-Ь). аь, Таким образом, для нахождения коэффициентов линейного предсказания необходимо решить систему линейных уравнений 2,'Ь А„(гд — Ь) = й„(Ь), Ь = 1, 2, ..., М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
