Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 45
Текст из файла (страница 45)
ХТ. 251 Дискретное преобразование Фурье житель 1/Т из (5.2) удаляют, то есть считают частоту дискретизации равной еди- нице. Удаляют обычно и множитель 1/Аг (об этом см. замечание ниже). Полу- чившееся выражение называется дискретным преобра ованием Фурье (ДПФ; английский термин — П]эсгеге Гонг!ег Тгапэгогш, РГТ): и-~ / . 2ппР Х(п) = х ~х(Ь)ехр~ — у — !. г-в Аг (53) Существует и обратное дискретное преобразование Фурье. Переход от дискрет- ного спектра к временным отсчетам сигнала выражается следующей формулой: 1 " ' .
/,2пп)г'1 х(Ь) = — ч ~Х(п)ехр~/ — ~. ]~ ь 0 (5.4) ЗАМЕЧАНИЕ В размещении множителя 1/гк'в формулах (5.3) и (5.4) нет полного единства. В большин- стве источников, среди которых [1, 4, 8], а также в математических пакетах компьютерных программ (в том числе и в МАТ1.АВ) этот множитель фигурирует в формуле обратного ДПФ (5А) (этот вариант принят и в данной книге).
В то же время в учебнике [2] этот мно- житель включен в формулу прямого ДПФ (5.3). Свойства дискретного преобразования Фурье В целом свойства ДПФ аналогичны свойствам непрерывного преобразования Фурье (см. главу 1), однако дискретный характер анализируемого сигнала прив- носит некоторую специфику. Линейность Из формулы (5.3) очевидно, что ДПФ является линейным, то есть если последо- вательностям [х(Ь)) и [у(Ь)) с одним и тем же периодом Х соответствуют наборы гармоник Х(п) и У(п) то последовательности [ах(Ь) + Ьу(Ь)) будет соответствовать спектр аХ(п)+ Ьг'(и).
Задержка Если задержать исходную последовательность на один такт (у(Ь) - х(Ь вЂ” 1)), то, согласно (5.3), спектр необходимо умножить на ехр(-/2яп/Щ: .2кп'1 У(п) =Х(п)ехр -у — ). А)' Поскольку мы считаем последовательность [х(Ь)) периодической, рассматриваемый здесь сдвиг является циклическим: у(0) х(-1) х(Х вЂ” 1). Это выражение отличается от формулы прямого ДПФ (5.3) лишь знаком в пока- зателе комплексной экспоненты и наличием множителя 1/гу' перед оператором суммирования.
252 Глава З. Спвктрвльный анализ Симметрия Как уже отмечалось, спектр дискретного периодического сигнала является периодическим. Кроме того, сохраняется и свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного вещественного сигнала (5(-гв) = 5 (гэ)). Поэтому Х(У-л) =Х( — и) =Х (и). (5.5) Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая), как видно из (5.3), представляет собой сумму отсчетов последовательности на одном периоде: Х(0) =,' х(lг). о-о Если Аг чстно, то амплитуда гармоники с номером гт/2 является суммой отсчетов с чередующимися знаками; лн Х(йг!2) = х(0)-х(1)+...+х(гт'-2)-х(дг — 1) = 2 (-1)'х(Уг). гыо Согласно (5.5), спектр является «сопряженно-симметричным» относительно Аг/2, то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал.
В самом деле, исходная последовательность представляется набором из Х вещественных чисел. Спектр же представляется набором из У/2 (вторая половина взаимно-однозначно связана с первой) комплексных чисел, каждое из которых с пггформационной точки зрения эквивалентно двум вещественным. Если же исходная последовательность (х(гг)) не является вещественной, симметрия спектра отсутствует и Аг комплексным отсчетам во временной области соответствует У комплексных отсчетов в спектральной области.
ДПФ произведения последовательностей Возьмем две последовательности отсчетов (х,(гг)) и (хг(гг)) одинаковой длины Аг п вычислим результат их поэлементного умножения: у(7г) - хг(Й) хг(/г). Если применить к этой формуле прямое ДГ1Ф, получится следующее выражение: 1 Я-1, "г'(и) = — ~~ Х,(г)Хг(п — г). (5.7) У;-о ЗАМЕЧАНИЕ При выполнении вы шслений по формуле (5.7) могут понадобиться значения Хг(г) с номерами й выходящими за рамки диапазона О ...М вЂ” 1. В этом случае следует воспользоваться свойс.пюм периодичности спектра: Хг(г) = Хг(г 1 У). Это выражение представляет собой круговую свертку спектров Х, (г) и Х, (г). Итак, как и для непрерывного преобразования Фурье, спектр произведения является сверткой спектров.
При л - 0 из (5.7) получается дискретный аналог теоремы Рэлея (см. раздел «Энергетические расчеты в спектральной области» главы 1): 253 Дискретное преобразование Фурье к-! 1 к ! 1 н ! г(0) = ч~" х!(Й)хг(я) = — ,'!" Х,(!)Х,(-!) = — ч! Х,(!)Х',(!). ь-о гт !-о г!! -о При выводе формулы (5.8) были использованы соотношения (5.5) и (5.6). Если, кроме того, последовательности (х!(Й)) и (хг(я)) совпадают, то есть х!(я)- - хт(й) - х(й) для всех я - 0 ...
М вЂ” 1, из (5.8) получается дискретный аналог равенства Парсееаля (см. раздел «Энергетические расчеты в спектральной области» главы 1 и формулу (1.24)): '~, 2(нк) 1 ЯХ( )~ г-о гт! -о Круговая свертка Так как мы рассматриваем периодические последовательности, то и суммирование при вычислении свертки таких последовательностей следует производить по одному периоду. Такую операцию называют круговой сверл!кой: к-! к-! у(Й) = й'х!(!)х (Й-!) = ,'! х!(!)хг((я-!)шо!1М). ! О !-о Подставив выражение (5.9) в (5.3), легко убедиться, что круговая свертка пе- риодических временных последовательностей соответствует перемножению их спектров: У(п) = Х, (и) Хг (и).
(5.10) ЗАМЕЧАНИЕ а)!угоеую свертку иериодических последовательностей не следует путать с линейной сверт- кой (4.3), являющейся основой алгоритма дискретной фильтрации. Восстановление непрерывного сигнала с помощью ДПФ Являясь по своей сути спектром дискретного периодического сигнала, дискретное преобразование Фурье позволяет легко восстановить непрерывный периодический сигнал, занимающий ограниченную полосу частот.
Для этого в формуле обратного ДПФ (5.4) необходимо заменить дискретный параметр (номер отсчета я) на непрерывный — нормированное время г/т, где т — период дискретиза- 1 'Ж! Г,2кпг!! х(г) = — й Х(и)ехр ~' — /. !т» -и/г ~ МТ.)' (5.11) ЗАМЕЧАНИЕ В этой формуле выражение (!!! — ! ) топ У означает взятие (а — !) по модулю У, то есть вы- числение остатка от деления (й — ! ) иа !Ч. Глава З. Спектральный анализ Следует обратить внимание на еше одно отличие этого соотношения от формулы (5А): диапазон индексов суммирования смещен вниз на )и/2 (при четном л); при нечетном Ю суммирование производится от и - — (У вЂ” 1)/2 до (Х вЂ” 1)/2).
Это необходимо, чтобы получить аналоговый сигнал, занимающий полосу частот от О до и/Т. Коэффициенты Х(п) с отрицательными номерами могут быть получены из соотношения симметрии (5.5). Результат восстановления непрерывного периодического сигнала с помощью ДГГФ, разумеется, совпадает с результатами, получаемыми при использовании ряда Котельникова (3.12). Однако использование ДПФ в данном случае оказывается более предпочтительным, так как ряд Котельникова для периодического сигнала содержит бесконечное число слагаемых, а формула (5.11) — конечное. Матрица ДПФ ДПФ является линейным преобразованием, трансформирующим вектор времен ных отсчетов в вектор такой же длины, содержащий отсчеты спектральные, Та кое преобразование может быть реализовано [5] как умножение некоторой квад ратной матрицы на входной вектор-столбец: у-Ах, где А — матрица преобразования, В случае ДПФ зта матрица имеет вид 1 1 .2» -)'— 1 е 4« 1 в .б» 1 е -) — (И-1) .2» в .2» -! — 2(И-1) е .6» ) .12« ) в 12» l е 4» ) е б« е !2» И Аозт -) — з(и-о ,2» И ,2»(И 1)1 е И и — З(И-1) 2» И вЂ”,— 2(И-!) .2» е -) — (И-1) ,2» И Общая формула для элемента матрицы, расположенного в и-м столбце и-й стро- ки, выглядит так: Аа, ()цп)=ехр -)2п !, 1ьт<У, 1<я<1)(.
(т -1)(п — 1)1) У Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала Имея один и тот же конечный набор чисел, можно рассчитать либо спек)праль- пую функцию этого дискретного сигнала по формуле (3.2), либо его ДПФ по формуле (5.3). Разумеется, возникает вопрос о том, как связаны друг с другом Вычисление ДПФ путем умножения матрицы на вектор полностью соответству- ет формуле (5.3).
Этот метод требует большого количества вычислительных опе- раций, поэтому на практике вместо него применяются быстрые алгоритмы, рас- сматриваемые далее. 255 Дискретное преобразование Фурье эти два спектральных представления, полученные на основе одних и тех же отсчетов сигнала. Сравнение формул (3.2) и (5.3) показывает, что ДП(1) представляет собой просто дискратлные отсчегльс спектральной функции дискретного сигнала, соответст- ВУЮЩИЕ ЧаСтОтаМ Ф„- ФхПГ'И: Х(П)=5 — ы5 Ԅ— (5.12) По этой причине значения ДПФ иногда называют спектральными оглсчеглами.
Из соотношения (5.12) следует еше один важный вывод: если добавить к конечному набору отсчетов некоторое количество нулей, спектральная функция дискретного сигнала, естественно, не изменится, но ДПФ даст большее число спектральных отсчетов, соответствующих частотам, более тесно расположенным в интервале от нуля до частоты дискретизации. Поясним сказанное на простом примере, вычислив ДП(1) для отсчетов прямоугольного импульса при разном количестве концевых нулей (рис, 5,1); » х1- [олед(0.1): гегоа(8,1)1: Ж 16 отсчетов » у1 - гть(х1): Ж ДПФ сигнала х1 » х2 " [х1: пегое(16,1)1: Ж добавлйеи 16 нулей » у2 - гть(х2): Ж ДПФ сигнала х2 » зиЬр)от(2.
2. 1). згев(0: 15, х1) Ж график сигнала х1 » х)1в([0 ЗЦ) » зоЬр)01(2, 2. 2), аТев((О:15)/16, аЬд(у1)) Ж модуль ДПФ сигнала х1 » зоЬр)ог(2, 2. 3), зтев(0:31, х2) Ж график сигнала х2 » х)1в([0 3Ц) » зоЬр)ог(2, 2, 4) » з(ев((0:31)г'32, аЬз(у2)) Ж иодуль ДПФ сигнала х2 1 О.з 0.6 0.4 0.2 0 10 20 30 о 0 0.2 0.4 0.6 0.8 О.з О.е О.4 о.г о О 1О гО ЗО о 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 6.1. Повышение спектрального разрешения ДПФ при дополнении сигнала нулями: сверху — исходный сигнал и модуль его ДПФ, снизу — сигнал, дополненный 16 нулями, и модуль его ДПФ 256 Глава В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
