Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В дискретной дифференцируюшей системе это соотношение должно выполняться в полосе частот от нуля до частоты Найквиста. Таким образом, частотная характеристика идеального дискретного дифференцируюшего фильтра имеет вид ЛФ-)ттэх ) О, (Ф-)тв ~ = — '. 2 К(Ф) = Мг) = —, — 'соз — ' -яп — ' для всех целочисленных Е Графики АЧХ и ФЧХ идеального дискретного диф- ференцируюшего фильтра показаны на рис. 4.29. Для нахождения импульсной характеристики поступим так же, как ранее при обсуждении дискретного преобразования Гильберта.
Обратное преобразование Фурье от среднего участка спектра (для )ш~ ь Ф„/2 - к/Т) будет равно 245 Некоторые идеализированные фильтры — сьц ьь и Рис. 4.29. АЧХ (сверху) и ФЧХ (снизу) идеального дискретного дифференцирующего фильтра После дискретизации и умножения на Т получаем следующее: О, )) =О, г'® = (-1)' МТ )г и О. Разумеется, импульсная характеристика получилась физически нереализуемой— она является бесконечно протяженной в обоих направлениях. Кроме того, импульсная характеристика не является безразмерной — из-за деления на Т она имеет размерность частоты. Причиной является тот факт, что дифференцирование аналоговой функции меняет ее размерность. Построим график импульсной характеристики идеального дискретного дифференцирующего фильтра, считая период дискретизации равным единице (рис.
4.30): » д = -20:20; » П - (-1)."к .т к: » Ж убираен 1пт" из-за делениЯ на ноль » П(т)пй-д)) = 0: » а1еа('к, П) Поскольку фильтр оказывается физически нереализуемым, осуществить дифференцирование дискретного сигнала можно лишь приближенно. Простое усечение импульсной характеристики во времени приводит к нежелательным эффектам, связанным с явлением Гиббса, Поэтому фильтры, приближенно реализующие дифференцирование, приходится аппроксимировать с применением более сложных алгоритмов.
Они будут обсуждаться в разделе «Реализация метода Ремеза» главы 6. 246 Глава 4. Дискретные системы 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.6 -1 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Рис. 4.30. Импульсная характеристика идеального дискретного дифференцирующего фильтра Для иллюстрации искажений частотных характеристик, возникающих при простом усечении импульсной характеристики во времени, построим график АЧХ фрагмента импульсной характеристики, приведенного выше на рис.
4.30 (симметрия используемого фрагмента импульсной характеристики является принципиальной для сохранения линейной ФЧХ фильтра). Результаты показаны на рис. 4.31. » ЕЬЬ, Г) = 1ге02(Ь, 1, 'ипо)е'); » р)от(т'/р1, аоз(ЬЬ]), рг)т) » х)аЬе)('логва)12ео Егесцепсу') » у)аЬе)('Науп топе') 3.5 2.5 2 1.5 ол о 05 1.5 г Моппаахед Ргеяоепсу Рио. 4.31. Искажения АЧХ, еозникающие при усечении импульсной характеристики идеального дифференцирующего фильтра На рис.
4.31 хорошо заметны пульсации АЧХ, усиливающиеся при приближении к частоте Найквиста. Для уменьшения этих пульсаций при синтезе диффе- 247 Визуализатор фильтров ренцирующих фильтров применяют те же подходы, что и для фильтров, выполняющих преобразование Гильберта, — задают переходные полосы вблизи нулевой частоты и частоты Найквиста, считают коэффициент передачи фильтра в этих полосах неопределенным и производят оптимизацию только в оставшейся (рабочей) полосе частот. Визуализатор Фильтров В последней (5.1) версии пакета 51япа1 Ргосезз1пя появилась функция тчсоо1 (Р1!гег Ч1зца!1заг1оп Тоо!), предназначенная для визуализации характеристик дискретных фильтров. Синтаксис вызова этой функции следующий: 1чсоо11Ь, а) Здесь Ь и а — коэффициенты полиномов числителя н знаменателя функции передачи соответственно.
Можно вызвать функцию гчьоо1 для одновременного просмотра характеристик нескольких фильтров, в этом случае следует указать в списке входных параметров несколько пар векторов: тчсоо11Ь1, а1. Ь2. а2....) В качестве примера вызовем функцию тчсоо) для просмотра характеристик того же фильтра, что использовался ранее, при описании функции тгецг (см.
рис. 4.14). Рис. 4.32. Просмотр характеристик дискретного фильтра с помощью функции Ьпоо! гав Глава 4. Дискретные системы » Ь = [1 2 3 4]; »а- [1-0.П; » ттсооПЬ. а) Появится окно, показанное на рис. 4.32. Выбор отображаемой характеристики производится с помощью кнопок панели инструментов. На рис. 4.32 представлен график частотной зависимости групповой задержки анализируемого фильтра. Интерфейс окна просмотра характеристик фильтра аналогичен интерфейсу программы расчета и анализа фильтров ГРАТоо1, которая будет рассмотрена в главе б.
ГЛАВА 5 Спектральный анализ В главе 3 было показано, что при дискретизации аналогового сигнала его спектр становится периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации. Однако одного только этого соотношения оказывается недостаточно для решения всех практических задач спектрального анализа. Во-первых, в качестве исходных данных выступает именно последовательность дискретных отсчетов, а не аналоговый сигнал.
Во-вторых, в большинстве случаев анализируемые сигналы являются случайными процессами, что требует выполнения какого-либо усреднения при расчете их спектров. Кроме того, в ряде случаев нам известна некоторая дополнительная информация об анализируемом сигнале, и эту информацию желательно учесть в спектральном анализе. Обо всех этих аспектах спектрального анализа и пойдет речь в данной главе. Прежде всего мы рассмотрим дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — разновидность преобразования Фурье, специально предназначенную для работы с дискретными сигналами. Далее обсудим идеи, лежащие в основе алгоритмов быстрого преобразования Фурье, позволяющих значительно ускорить вычисления, Дискретное преобразование Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми методами, лежит в основе различных технологий спектрального анализа, предназначенных для исследования случайных процессов.
Дело в том, что если анализируемый сигнал представляет собой случайный процесс, то простое вычисление его ДПФ обычно не представляет большого интереса, так как в результате получается лишь спектр единственной реализации процесса. Поэтому для спектрального анализа случайных сигналов необходимо использовать усреднение спектра. Такие методы, в которых используется только информация, извлеченная из самого входного сигнала, называются непараметрическини (попрагашетг(с).
Другой класс методов предполагает наличие некоторой статистической модели случайного сигнала. Процесс спектрального анализа в данном случае включает в себя определение параметров этой модели, и потому такие методы называются параметрическими (рагашетг(с). Используется также термин «модельный спектральный анализ» (Мск1е1-Вазед Зресггшп Апа1уз(з, МВБА). 25О Глава 5. Спектральный анализ В МАТЮКАВ имеются функции, реализующие разнообразные методы спектраль- ного анализа, — как параметрические, так и непараметрические.
Все они будут рассмотрены в этой главе. Дискретное преобразование Фурье В разделе «Спектр дискретного сигнала» главы 3 мы проанализировали явле- ния, происходящие со спектром при дискретизации сигнала. Рассмотрим теперь, что представляет собой спектр дискретного периодического сигнала. Итак, пусть последовательность отсчетов (х(а)) является периодической с перио- дом Ж: х(л + Ю) - х(л) для любого л. (5.2) 1 " ' ( .2лпя1 = — ч ~х(/г)ехр~-у — у =ИТ,., ~ А 3' Таким образом, формула для вычисления комплексных амплитуд гармоник пред- ставляет собой линейную комбинацию отсчетов сигнала.
В выражении (5,2) реальный масштаб времени фигурирует только в множите- ле ЦТперед опь оатором суммирования. При рассмотрении дискретных последо- вательностей обычно оперируют номерами отсчетов и спектральных гармоник без привязки к действительному масштабу времени и частоты. Поэтому мно- Такая последовательность полностью описывается конечным набором чисел, в качестве которого можно взять произвольный фрагмент длиной У, например (х(я), /г - О, 1, ..., л1 — 1). Поставленный в соответствие этой по следовательности сигнал из смещенных по времени дельта-функций: з (т) = ~ х(Й) Ь(» — яТ ) также, разумеется, будет периодическим с минимальным периодом 1т' Т.
Так как сигнал (5.1) является дискретным, его спектр должен быть периодическим с периодом 2я/Т. Так как этот сигнал является также и периодическим, его спектр должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равным 2кУ(У Т). Итак, периодический дискретный сигнал имеет периодический дискретный спектр, который также описывается конечным набором из Ат чисел (один период спектра содержит зт' /ф = Ат гармоник). Рассмотрим процедуру вычисления спектра периодического дискретного сигнала Так как сигнал периодический, будем раскладывать его в ряд Фурье, Коэффициенты Х(п) этого ряда, согласно общей формуле (1.9), равны ят хы Х(п) = — ) зЯе ж"'г(Г= — ) ~х(я)б(г-лТ)е ' "' = ХТ з АГТ а аае 1 я-1 лт 1 — ч~ х()т)~б(Г-(тТ)е ж"'Й= — ,') хЯ)е '"""г = Агт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
