Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Данный алгоритм (он называется полифазяым — ро1урЬазе) минимизирует число вычислительных операций и широко используется на практике 19]. В МАТ).АВ для выполнения передискретизации используется функция гезэвр1 е. Синтаксис ее вызова следующий: у - геззяр1е(х. р. ц) Здесь к — входной сигнал, р и ц — числитель и знаменатель дробного коэффициента изменения частоты дискретизации. Выходной параметр у — передискретизированный сигнал. В качестве фильтра используется нерекурсивный ФНЧ, рассчитанный с помощью функции т1г1 з с использованием окна Кайзера, ЗАМЕЧАНИЕ Подробнее сб использовании функции йг1з длл синтеза фильтров с линейной ФЧХ речь пойдет в главе 6', окно Кайзера, наряду с другими весовыми функциями, будет рассмотрено в главе 5. Ядром функции геззвр1 е является функция црт1гйп (црзагпр11пя, Р1К 111Сег1пя апб йотепзагпр!1пя), которая и выполняет приведенную выше последовательность дей- 239 Изменение частоты дискретизации ствий.
Эта функция реализована в машинных кодах (в виде Ш).-файла) для достижения максимальной производительности, Функцию црт(г((п можно использовать в тех случаях, когда необходимо задать конкретный ФНЧ. Синтаксис вызова функции црт1 гоп следующий: у - црт(гоп(х, Г1, р, а) Здесь х — входной сигнал, р/(( — коэффициент изменения частоты дискретизации, (1 — импульсная характеристика нерекурсивного ФНЧ. Выходной параметр у— передискретизированный сигнал.
Для осуществления блочной обработки сигнала имеется вариант синтаксиса с доступом к внутреннему состоянию фильтра: (У. 22] црт1г()п(х, Ь. р, о. 21) Здесь 21 — начальное состояние фильтра, 22 — его конечное состояние. Длина вектора 21 должна быть на единицу меньше длины импульсной характеристики фильтра )1. Использование начального и конечного состояний фильтра для организации блочной фильтрации обсуждалось в разделе «Доступ к внутреннему состоянию фильтрах. Если один из параметров х и и является матрицей, эта матрица рассматривается как многоканальный сигнал или фильтр (каждый столбец матрицы соответствует одному каналу).
Если оба параметра х и )1 являются матрицами с одинаковым числом столбцов, при обработке каждого сигнала используется свой фильтр. Выходной сигнал у во всех этих случаях является матрицей с тем же числом столбцов. В качестве примера увеличим в 5/4 раз частоту кусочно-линейного сигнала, представляющего собой набор отсчетов со значениями (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 5, 4, 3, 2). Результат показан на рис. 4.24.
10 2 4 Б Б 10 12 о Рис. 4.24. Исходный (крестики) и передискретизированный (кр)лкочки) сигналы при повышении частоты дискретизации в Б/4 раз 240 Глава 4. Дискретные системы » х = (4:10 6:-1:2): » у = геваир1е(х. 5. 4): » Ж граФик исходного сигнала - крестики » р1ос10:1епдсП(х)-1, х, 'х') » Ж граФик передискретивированного сигнала - кружочки » По1о оп » р1осПО:1епдсл(у)-1)*4/5, у, 'о') » По16 оГГ Некоторые идеализированные фильтры В данном разделе мы рассмотрим частотные и импульсные характеристики иде'альных фильтров, осуществляющих над дискретным сипталом преобразование Гильберта и дифференцирование. Эти фильтры являются нереализуемыми, поскольку их функции передачи не выражаются в виде рациональных дробей, а импульсная характеристика является бесконечной в обоих направлениях.
Однако знание того, как выглядят идеализированные характеристики, полезно для понимания принципов синтеза фильтров, аппроксимирующих данные преобразования (этот вопрос будет рассмотрен в главе 6). Дискретное преобразование Гильберта Все сказанное в разделе «Комплексная огибающая» главы 1 о преобразовании Гильберта относилось к аналоговым сигналам. В дискретном случае указанные спектральные соотношения должны выполняться в рабочей полосе частот (то есть от нуля до частоты Найквиста). Таким образом, частотная характеристика дискретного преобразования Гильберта имеет следующий вид: 1) )г - -)со < ст < Ьо, 2! ' Л' О, го= — го, ю 1) )тго <то< л+- со К(и) = для всех целочисленных Ф.
Графики АЧХ и ФЧХ дискретного преобразования Гильберта показаны на рис. 4.25. Для нахождения импульсной характеристики можно, например, выделить сред- ний участок спектра (для )ст( < и/Т), вычислить обратное преобразование Фурье На рис. 4.24 видно, что новые отсчеты действительно интерполиру1от исходный сигнал, однако наблюдается и эффект Гиббса (см. раздел «Примеры разложения сигналов в ряд Фурье» главы 1), хотя в данном случае он выражен слабо, по- скольку частота дискретизации меняется незначительно. 241 Некоторые идеализированные фильтры и взять дискретные отсчеты результата.
Обратное преобразование Фурье будет равно Ь(С) = — 1 — соз —" „тг о аь(г еь е Рис. 4.26. АЧХ (сверку) и ФЧХ (снизу) дискретного преобразования Гильберта Дискретизируем это выражение с шагом Т = 2к/атл (можно легко показать, что предел при г -+ О ранен 0). Кроме того, значения Ь(Ь) необходимо умножить на Т, поскольку в формуле (3.7), дающей связь между спектрами аналогового и дискретизированного сигналов, имеется множитель 1/Т. В конечном счете получаем следующее: и О, Ь четно, Ь(Ь) = 2 — Ь нечетно.
кЬ Как и для аналогового случая, импульсная характеристика получилась физически нереализуемой — она является бесконечно протяженной в обоих направлениях, Ее график показан на рис. 4.26. » к = -20:20: » П - 2 г'.р( ./ 'к .* л)об('и, 2): » П( 1(пб(-'к)) = 0; Ж убираем 1п1 из-за делениЯ на ноль » з1еа(д.
и) Поскольку фильтр оказывается физически нереализуемым, осуществить дискретное преобразование Гильберта можно лишь приближенно. Простое усечение импульсной характеристики во времени приводит к нежелательным эффектам, связанным с явлением Гиббса. Поэтому фильтры, приближенно реализутошие преобразование Гильберта, приходится аппроксимировать с применением более сложных алгоритмов. Речь о них пойдет в разделе «Реализация метода Ремеза» главы 6.
242 Глава 4, Дискретные системы 0,6 О.е 0.4 0.2 -0.4 -0.6 -0.6 -20 -16 -10 -б 0 б 10 16 20 Рис. 4.26. Импульоная характеристика дискретного преобразования Гильберта Для иллюстрации искажений частотных характеристик, возникающих при усечении импульсной характеристики во времени, построим график АЧХ фрагмента импульсной характеристики, приведенного выше на рис. 4.26 (симметрия используемого фрагмента импульсной характеристики является принципиальной для сохранения линейной ФЧХ фильтра). Результаты показаны на рис.
4.27 (на горизонтальной оси графика отложены нормированные значения частоты, такие, что частота Найквиста равна единице). » [ЬЬ. Г] - Ггеог(Ь. 1, 'нЬО1е'); » р)ОТ(Г/р1. аЬз(ЬЬ)), ОГ10 х1аЬе1('((огиа11теб Ггеоиепсу') » у1аЬе1('Маоп)тобе') 1.2 а 0.6 с 0.4 0.2 00 О.б г)оппа()зес ггейоепсу Рис. 4.2Т. Искюкения, возникающие при усенении импульсной характеристики преобразования Гильбврта Нвкоторыв идвализирОванныв фильтры На рис. 4.27 хорошо заметны выбросы АЧХ вблизи частот, кратных частоте Найк- виста. Величина максимального выброса составляет примерно 18% от номинального коэффициента передачи (это согласуется с тем, что говорилось в главе 1 применительно к разложению меандра в ряд Фурье — в данном случае коэффициент передачи меняется скачком от -7' до у', так что величина скачка равна двум, и выброс составляет 9% от величины этого скачка), Для уменьшения пульсаций АЧХ при синтезе фильтров, выполняющих преобразование Гильберта, задают переходные полосы вблизи нулевой частоты и частоты Найквиста.
Коэффициент передачи фильтра в этих полосах считается неопределенным, и оптимизация производится только в оставшейся (рабочей) полосе частот. Функция НИЬег1 В МАТ).АВ для формирования аналитического сигнала служит функция Ь11ЬегС. Синтаксис ее вызова более чем прост: у - Ь)1ЬегС(х) Здесь х — входной вещественный сигнал (если х — матрица, отдельные столбцы обрабатываются независимо), у — сформированный комплексный аналитический сигнал. ВНИМАНИЕ Вопреки своему названию, функция ЬЕЬегг осуществляет не преобразование Гильберта, а именно формирование аналитического сигнала. Преобразование Гильбсрта с помощью этой функции можно реализовать, взяв мнимую часть результата; 1щай(Ь11Ьсгг(х)).
Формирование аналитического сигнала функцией Ь11ЬегС производится в частотной области. Вычисляется дискретное преобразование Фурье (оно будет рассмотрено в главе 5) входного сигнала, далее обнуляется половина спектра (то есть создается односторонний спектр аналитического сигнала) и, наконец, производится обратное преобразование Фурье. В качестве второго аргумента можно указать желаемую размерность дискретного преобразования Фурье: у - Ь11ЬегС(х. и) При этом входные данные х усекаются или дополняются нулями до заданного размера.
ЗАМЕЧАНИЕ Как указывалось ранее, преобразование Гильберта физически нереализуемо. Однако это ограничение можно обойти, если известны (точнее, считаются известными) будущие значения сигнала. Например, мы можем считать, что сигнал закончился (то есть все его будущие значения равны нулю). Именно это и предполагается в функции Ь11Ьегг. В качестве примера вычислим аналитический сигнал для функции Дирихле 9-го порядка (рис. 4.28); г44 Глава 4.
Дискретные системы » г - 0:0,01:4"р1; Ж рассиатриваеи два периода функции х = ((1г1с(Г. 9): » у - 'п11оегт(х); р10Г(Г, геа1(у), с, 1ва9(у). '--') 0.8 0.6 0,4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 0 2 4 6 8 10 12 14 Рис. 4.26. Функция Дирихле (оплошная линия) и ее преобразование Гильберта (пунктирная линия) На графике видно, что вблизи тех мест, где исходный сигнал имеет экстремумы, его преобразование Гильберта пересекает ось абсцисс, и наоборот. Идеальный дифференцирующий фильтр В разделе «Свойства преобразования Фурье» главы 1 было показано, что при дифференцировании сигнала по времени его спектральная функция умножается на )тэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
