Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Есть два способа определения коэффициентов фильтра нижних частот. Первый способ — аналитический: 1. Записать выражение для дискретной частотной характеристики Н(т). 2. Подставить это выражение в формулу обратного ДПФ, чтобы получить коэффициенты Ь(я). 3. Вывести выражение для Ь(я), как функции индекса времени я. Глава 5. Фильт ысимп льснойха акте исгикойконечнойдлнны 180 Частотиаи керактеристике фильтра и(/) 1 Частота срака (а) Частота Я -/ /2 /,/г ,) Н(т) ииииииеекиииииии и-Ь- к тим/г от = Н Частота (/,/г) (т) (ь) -' — Г— лкк -М к лк = - Юг (-/л'2) (О) Интервалот //гдо/~2 Интервал от 0 до / Рис. 5.14. Частотные характеристики фильтра нижних частот: (а) непрерывная частотная характеристика Н(/); (Ь) периодическая дискретная частотная характеристика Н(/и) -е- — — К ° и ° ° и „° ° ° ° ° Н(/л) и- ° -а-в-в- ° -а-в-и- ° †4ЬО й л /л лт =( К- 1)/2 М2 л т=-(к-тхг л -Л/2 и 1 Рис.
5.15. Частотная характеристика произвольного дискретного КИХ ФНЧ, опре- деленная в /т/ точках частотной оси в диапазоне частот 1 Гц )(//2 /)(//) (1 ~д/) ~ Н(/Л)Е/2лт/т//к/ т- — (К//2)е/ (5-9) где /т — временной индекс. Результат преобразования (5-9), полученный в разде- ле 3.13 как (3-59), мы повторяем здесь в виде /)(/2) = ( 1/)))) ')з(п(яйК/М)'1/1/чз)п(гг)//)))) '1 .
(5-10) Второй способ состоит в том, чтобы задать отсчеты Н(т) в частотной области, а затем с помощью программы, реализующей обратное ДПФ, получить коэффициенты КИХ-фильтра. В любом случае нам необходимо задать периодическую Н(т) на одном периоде/, Гц.
С точки зрения последующих преобразований при аналитическом вычислении коэффициентов нам удобнее определить Н(т) на рисунке 5.14 (Ь) в диапазоне частот от — /, /2 до ~; /2, а при численном вычислении ОДПФ удобнее задавать Н(т) для частот от 0 до/а. Попробуем использовать оба метода для вычисления коэффициентов фильтра. При аналитическом вычислении мы можем определить произвольную дискретную частотную характеристику Н(п)), используя Л/отсчетов на интервале частот от — /к/2 до/,/2 и задав К единичных отсчетов, соответствующих полосе пропускания проектируемого фильтра, как показано на рисунке 5.15.
Чтобы определить /)(к) аналитически, необходимо взять ОДПФ функции Н(т) в следующей форме 5.3. П секти рвание КИХ- нльт а нужник частот Если мы вычислим (5-10) как функцию й, мы получим последовательность, показанную на рисунке 5.16, которая имеет форму классической функции з(п(х)/х. Просмотрев материал раздела 3.13, легко заметить, что переход от (5-9) к (5-10) требует достаточно большого количества аналитических выкладок.
Наделе такой большой объем аналитических преобразований, создающих много возможностей для внесения ошибок, приводит к тому, что разработчики цифровых фильтров стараются избегать аналитических преобразований выражения (5-9). Они предпочитают использовать для вычисления л(4) программы, выполняющие ОДПФ (в форме обратного БПФ), так же будем поступать и мы.
к ° л(к) % к к ь к ч ь к к~ к юч к Ю к „к к к Ю Ю ' ° кч' М Рис. 5.16. Коэффициенты л((г), полученные в результате вычислений по (5-10) 1 Если вы хотите использовать этот метод проектирования КИХ-фильтров, но у вас есть только программа прямого БПФ, в разделе 13.6 вы найдете способ использования алгоритма прямого БПФ для вычисления обратного БПФ. Продемонстрируем проектирование КИХ-фильтра с помощью программного ОДПФ на примере. Допустим, мы хотим спроектировать КИХ-фильтр, моделирующий непрерывную частотную характеристику, показанную на рисунке 5.17 (а). Дискретный вариант частотной характеристики фильтра Н(т) показан на рисунке 5.17 (Ь), где мы использовали )к' = 32 точки на частотной оси.
На рисунке 5.17 (с) приведены отсчеты частотной характеристики в диапазоне от 0 до 7;. Этот рисунок эквивалентен рисунку 5.27.(Ь), изображающему отсчеты характеристики в диапазоне — 7, /2 до +/, /2, но содержит только отсчеты, соответствующие положительным частотам. Итак, мы почти у цели. Использовав 32-точечное ОБПФ для вычисления 32-точечного обратного ДПФ последовательности Н(т), показанной на рисунке 5.17 (с), мы получаем 32 отсчета л((), показанных точками на рисунке 5.18 (а) для диапазона индексов от ( = — 15 до а = 16 '. Нам нужно сделать еще один шаг. Поскольку мы хотим сделать последовательность коэффициентов фильтра симметричной относительно отсчета с наибольшим значением, мы опустим коэффициент с индексом lг = 16 и сдвинем индекс й влево, в результате чего получим требуемую форму Ь(() вида яп(х)/х, как показано на рисунке 5.18 (Ъ). Этот сдвиг индекса Й не изменяет амплитудно-частотную характеристику КИХ-фильтра.
(Вспомните, что согласно теореме о сдвиге ДПФ в разделе 3.6 сдвиг во временной области проявляется в частотной области как линейный фазовый сдвиг без изменения модуля спектра.) Последовательность на рисунке 5.18 (Ь) и есть последовательность коэффициентов, которые мы используем в операции свертки для реализации КИХ ФНЧ. Здесь важно показать, что, чем больше отсчетов л(а) мы используем в качестве коэффициентов фильтра, тем ближе наша частотная характеристика к идеальной. Используем девять центральных отсчетов А(() и посмотрим, как будет выглядеть при этом частотная характеристика.
АЧХ и в этом случае вычисляется как ДПФ этих девяти отсчетов, как показано в правой части рисунка 5.19 (а). Частотная характеристика идеального фильтра для сравнения показана здесь же серой линией. (Чтобы подробнее показать ее форму, мы начертили (Н(т) ~ на рисунке 5.19 (а) сплошной 1Вг Глава 5. Фильт ы с имл льсной ка акте истикой конечной длины линией, но мы должны помнить, что на самом деле (Н(т) ~ есть последовательность дискретных отсчетов.) Заметьте, что при использовании девяти отсчетов мы определенно получаем фильтр нижних частот, но он явно далек от идеала.
Использование большего количества коэффициентов позволяет улучшить ситуацию: на рисунке 5.19 (Ь) показаны 19 коэффициентов и соответствующая АЧХ, которая выглядит более похожей на требуемую прямоугольную характеристику. Обратите внимание на то, что в полосе пропускания хорошо видны флуктуации, илн пульсации, частотной характеристики фильтра Н(т). Использование всех 31 отсчетов последовательности /)(//) дает частотную характеристику, показанную на рисунке 5.19 (с).
Частотная характеристика нашего фильтра стала еще лучше (приблизилась к идеалу), но подозрительные пульсации в полосе пропускания по-прежнему присутствуют. ЧаСтотная (в) 0 /6/8 /6/4 / /2 Частота - /6/4 - /6/8 -/,/г 1 «и«а ° иа Н(т) (ьт а-а.а-а-а-а-а-а-а-16-а-а а-а-а-а-а-6-а-а-а-а-а-а-а-Ф -18 -12 -8 -4 4 8 18 гп (- /6/4) (- Цз) (/6/8) (/6/4) (/В/2) Н(п2) ив ° а 1 а-а-и-В-а-В-а-а-а-а-а-а-а-а- ° -а-В-а. ° -и-В-а-и-а-а — 2-~-Ь (с) 0 4 8 12 1б 20 24 28 31 (/ /8) (/ М) (/ /2) (3/ /4) (/ ) Рис.
5.17. Идеальный фильтр нижних частот: (а) непрерывная частотная характеристика Н(/); (Ь) дискретная характеристика Н(гл) в диапазоне частот от -/ 72 до /, 72 Гц; (с) дискретная характеристика Н(гл) в диапазоне частот от О до /я Гц В то и Обратисв ДПФ Н(т) ° а /и а 6 ааа 46 ди "и в (а) „а П(В) = сдвииутсв обратисв ДПФ поспвдоватвпьиости н(т) В. 22 Ваи 26 В и (ь) а В.и ° 4 ° а 42 55 56 и и 26 ии Рис. 5.1 В. Обратное ДПФ дискретной характеристики, показанной на рисунке 517(с): (а) нормальная индексация отсчетов обратного ДПФ; (Ь) симметричная последовательность коэффициентов, используемая для реализации КИХ-фильтра с 31 ответвлением 5.3. П секти ованиеКИХ-фильт анижникчастот 183 Нам важно понять, откуда берутся эти пульсации в полосе пропускания КИХ- фильтра нижних частот на рисунке 5.19.
Вспомним сказанное выше о свертке коэффициентов, или импульсной характеристики, усредняющего фильтра с пятью ответвлениями с последовательностью входных данных для получения выходного сигнала. Мы установили, что свертка во временной области соответствует умножению в частотной области, что мы представили символически в (5-8) и повторяем здесь в виде дпФ Ь(Ь) ° х(п) Н(гп) Х(т) ОДПФ (5-12) )Н(тл)( лля фильтра с 9 ответвлениями ° ь(к) (а) тс)8 астота - (с/8 (Н(тх ряя фильтра с 19 ответвлениями (ь) Частота 3 - т,(8 ))Кт)( лля фильтра с 31 ответвлением (с) -( /8 частота 9(8 Рис.
5. 19. Коэффициенты и частотные характеристики трех фильтров нижних частот: (а) КИХ-фильтра с 9 ответвлениями; (()) КИХ-фильтра с 19 ответвлениями; (с) частотная характеристика полного фильтра с 31 ответвлением Ь(Ь) н х(п) Н(т) ° Х(т) (5-11) ОДПФ Эта связь между сверткой во временной области и умножением в частотной области, изображенная на рисунке 5.7, показывает, что, если две последовательности во временной области Ь(Ь) и х(п) имеют ДПФ Н(гп) и Х(т) соответственно, то ДПФ свертки Ь(Ь) я х(п) будет равно Н(т) ° Х(т).
Не существует никаких ограничений относительно того, что в действительности представляют последовательности Ь(Ь) и х(п) в (5-11). В разделе 5.9 мы выясним, что свертка в одной области эквивалентна умножению в другой области. Это позволяет нам утверждать, что умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области или Глава 5. Фильт ыснмп льснойка акте истикойконечнойдлины Теперь мы готовы понять, откуда берутся пульсации АЧХ, заметные на рисунке 5.19. Переписывая (5-12) и заменяя Ь(Ь) и х(п) последовательностями Ь" (Ь) и и(Ь) соответственно, получаем ЛпФ Ь "(Ь) ° и(Ь) Н" (т) «И'(т) одлэ (5-13) ° " ' , ь (к) ° «« » « «« «« ° « ° « « « ° «(к) « ° « Л(«) « » Рис.
5.20. Бесконечная последовательность П (к), взвешенная окном в(к) для получения коэффициентов фильтра Л(й) Мы изображаем эту свертку на рисунке 5.21, где для того, чтобы не загромождать картинку, мы показываем Н" (и) (ДПФ коэффициентов Ь"(Ь)) как серый прямоугольник.
Помните, что это в действительности последовательность отсчетов с одинаковыми значениями. Посмотрев на рисунок 5.21 (а) очень внимательно, можно увидеть, почему все три ~Н(т) ~ на рисунке 5.19 имеют пульсации в полосе пропускания. Мы можем рассматривать конкретный отсчет свертки Н(т) = Н (т) «Й(т) как сумму произведений Н (т) на И'(и) для соответствующего сдвига %'(и) по частоте. Н (т) и несдвинутая последовательность й'(т) показаны на рисунке 5.21 (а.). Будем считать, что Ь"(Ь) представляет бесконечно длинную последовательность коэффициентов идеального КИХ-фильтра нижних частот вида яп(х)/х, а и(Ь) представляет окно, которое мы используем для усечения последовательности яп(х)/х, как показано на рисунке 5.20. Таким образом, и(Ь) представляет собой последовательность конечной длины единичных отсчетов, и ее ДПФ есть И'(т).
Длина и(Ь) равна количеству коэффициентов, или ответвлений, которые мы намерены использовать при реализации нашего КИХ ФНЧ. При принятом определении Ь" (Ь) произведение Ь" (Ь) и(Ь) представляет собой усеченную последовательность коэффициентов Ь(Ь) на рисунках 5.19 (а) и 5.19 (Ъ). Следовательно, согласно (5-13), реальная частотная характеристика КИХ-фильтра Н(т) есть свертка Н(т) =Н"(т) » И'(и) (5-14) 5.3. П секти рвание КИХ- нльт а нижних частот 185 и"(пг)вдпоо (С), н( )вдпа „в„К-. прямоуголвного в(л) '-к~ ' Т в в вв ва в ° '.в ° (а) в = т в) „'в. О ) в„ ° ~ — в в~ ° ° (ы в в Частота в ° ввГ ) ° ) вв О ввв "в» в ° ° вв Частота (с) ° ° в(» <а) о ° а\ ° ° в в Частота Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
