Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Затем мы вычислили среднее значение количества машин в минуту для одноминутных интервалов со второго по шестой и получили второе среднее значение за пять минут, равное 40.4. Продолжая в том же духе, мы усреднили количество машин в минуту для интервалов с третьего по седьмой и получили третье среднее 53.8 и так далее. На рисунке 5.2 мы изобразили график количества машин за одноминутные интервалы серой линией, график среднего количества машин в минуту за пятиминутный интервал выделили черной линией. (На рисунке 5.2 показаны входные значения количества машин в минуту за пределами десятиминутного интервала, данные для которого приведены в таблице 5.1, чтобы продемонстрировать некоторые важные идеи, которые следует коротко обсудить.) Таблица 5.1. Численные значения для примера усреднения Индекс Количество машин Среднее за последние пять минут минуты за последнюю минуту количество машин в минуту 10 22 24 42 27 37 40.4 53.
8 89 22 53.4 57.6 63 52 10 Из этого примера можно сделать много полезных выводов. На рисунке 5.2 заметно, что резкие изменения входной последовательности в процессе усреднения сглаживаются. Выходная последовательность оказывается намного более гладкой, чем входная. Зная, что быстрые изменения последовательности обусловлены высокочастотными компонентами, мы можем сказать, что наше устройство усреднения ведет себя как фильтр нижних частот, сглаживая быстрые изменения Глава 5.
Фильт ы с имп льснойха акте истикой конечнойдлины входной последовательности. Является ли наше устройство усреднения КИХ- фильтром? Конечно, да — для вычисления текущего выходного значения не используются предыдущие выходные отсчеты; только входные отсчеты используются для вычисления выходных значений. Кроме того, мы видим, что, если мост закрывается в конце 19-й минуты, то серая линия быстро опускается до 0 машин в минуту в конце 20-й минуты, а выходные отсчеты устройства усреднения на рисунке 5.2 постепенно уменьшаются до нуля к концу 24-й минуты.
во веется й минуты то во яо го то г з я в в т в в та и тг 1з и тв тв тт тв тз го г1 гг гз ге гв минуты Рис. 5.2. Усреднение количества машин в минуту. Серая линия показывает количество машин за каждую минуту, а черная линия показывает количество машин в минуту, усредненное за последние пять минут Рисунок 5.2 показывает, что первый выходной отсчет появляется в конце 5-й минуты, потому что именно в этот момент мы получаем первые пять отсчетов, которые позволяют нам вычислить правильное среднее. 5-й выходной отсчет можно обозначить как у в.(5), где у (5) = (х(1) + х(2) + х(3) ч- х(4) + х(5)(25. (5-1) В общем случае, если и-й входной отсчет есть х(к), то и-й выходной отсчет вычисляется как у„„(п) = (х(п — 4) +х(п — 3) + х(п — 2) ч.
х(и — 1) + х(п)~тт5 = Хх(Й)(5. (5-2) я-и — 4 Теперь посмотрите на выражение (5-2) внимательно. Оно утверждает, что и-й выходной отсчет представляет собой сумму п-го и четырех предыдущих входных отсчетов. Мы можем проявить фильтрующую сущность нашего устройства усреднения, начертив его блок-схему, показанную на рисунке 5.3. Она показывает, как устройство усреднения вычисляет выходные отсчеты. Эта блок-схема, которую называют структурой фильтра, представляет собой изображение того, как мы могли бы вычислять выходные отсчеты усредняющего фильтра, используя сдвиг входной последовательности по порядку слева направо вдоль верхней части фильтра при вычислении каждого нового выходного отсчета. 5. 1.
Введение в КИХ- ильт ы Эта структура, которая реализует уравнения (5-1) и (5-2), показывает используемые значения отсчетов в момент, когда мы получили первые пять входных отсчетов. Элементы задержки на рисунке 5.3, которые называют единичными задержками, образуют регистр сдвига, в котором входные отсчеты запоминаются на время вычисления выходного отсчета. Рис. Б.З. Блок-схема усредняющего фильтра в момент, когда на вход поступает пятый отсчет, 37 При усреднении мы складываем пять отсчетов и делим сумму на пять. В реализации КИХ-фильтра мы можем с таким же успехом умножить каждый входной отсчет на коэффициент 1/5, а затем вычислить сумму, как показано на рисунке 5.4 (а). Конечно же, фильтры на рисунках 5.3 и 5А (а) эквивалентны, потому что уравнение (5-2), описывающее структуру, показанную на рисунке 5.3, эквивалентно уравнению ув (п) = х(п — 4)/5 +х(п — 3)/5 +х(п — 2)/5 +х(,л — 1)/5 +х(п)/5 = ~х(й)/5, (5-3) !ггв — 4 которое описывает структуру на рисунке 5.4 (а)'.
Давайте убедимся в том, что мы правильно понимаем то, что происходит на рисунке 5.4 (а). Каждый из пяти входных отсчетов умножается на 1/5, и пять произведений суммируются, давая значение 5-го выходного отсчета. Сдвиг отсчетов слева направо иллюстрируется на рисунках 5.4()з) и 5.4(с). Чтобы вычислить 6-й выходной отсчет фильтра, входная последовательность сдвигается вправо, при этом 1-й отсчет, имеющий значение 10, выпадает из регистра сдвига и теряется безвозвратно, а 6-й отсчет со значением 77 поступает на вход слева.
Аналогично, при вычислении 7-го выходного отсчета входная последовательность сдвигается вправо, в результате чего 2-й отсчет, равный 22, теряется, а 7-й входной отсчет, имеющий значение 89, поступает на вход слева. Таким образом, когда на вход приходит новый отсчет, фильтр отбрасывает самый старый отсчет, умножает отсчеты на 1/5 и суммирует произведения, давая в результате один новый выходной отсчет. Структура фильтра, использующая этот процесс сдвига типа пожарной цепочки часто называют трансверсальным фильтром из-за поперечного перемещения входных отсчетов . Поскольку для вычисления выходного значения мы «ответвляем» отдельные входные отсчеты, структуру на рисунке 5.4 на жаргоне цифровой обработки называют КИХ-фильтром с 5 ответвлениями.
! При переносе множителя 1/5 в (5-2) под знак суммы в (5-3) мы используем дистрибутивный закон умножения и сложения скаляров а(Ь»с»Ы)- аЬ+ас»аг!. 2 Английское слово !санзвена! (трансе«реальный) переводится букваяьно как поперечный, секуигий — (прим.
перев.). 168 Глава 5. Фильт ы с имп льснойха акте логикой конечнойдлины (а) 1/5 (ь) 1/5 (с) 1/5 Рис. 5.4. Альтернативная структура усредняющего фильтра: (а) входные отсчеты, используемые для вычисления значения 5-го выходного отсчета; (Ь) входные значения, используемые для вычисления б-го выходного отсчета; (с) входные отсчеты, используемые для вычисления 7-го выходного отсчета Один важный и, вероятно, наиболее интересный аспект в понимании сущности КИХ-фильтров связан с предсказанием их поведения при подаче на вход синусоидальных последовательностей разных частот, т.
е, с оценкой их частотной характеристики. На частотную характеристику КИХ-фильтров влияют два фактора: количество ответвлений и значения коэффициентов, используемые при умножении. Мы исследует эти два фактора на нашем примере усредняющего фильтра, а затем увидим, как можно использовать их при проектировании КИХ-фильтров. Это приводит нас к необходимости ввести новое понятие: свертка. (На самом деле мы уже представили читателю уравнение свертки, не говоря об этом. Это было уравнение (5-3), и сейчас мы изучим его подробнее.) 169 5.2.
Сае тка а КИХ- иль т ах 5.2. Свертка в КИХ-фильтрах Сейчас мы всерьез возьмемся за математику, описывающую КИХ-фильтры. Мы можем графически представить вычисления по формуле (5-3), показанные на рисунке 5.4, так, как на рисунке 5.5. Кроме того, будем придерживаться общепринятых в теории цифровых фильтров обозначений для индексов входных отсчетов и коэффициентов фильтра, когда первый индекс последовательности принимается равным О; т. е. мы будем обозначать первый входной отсчет как х(0).
Следующий входной отсчет обозначается х(1), следующий — х(2) и т. д. Аналогично, значения пяти рассматриваемых коэффициентов будут индексироваться от нуля до четырех, т. е. от Ь(0) до Ь(4). (Эта схема индексирования позволяет сделать описывающие наш пример уравнения совместимыми с общепринятыми в литературе по цифровым фильтрам.) В (5-3) в качестве коэффициентов фильтра, на которые умножаются отсчеты входной последовательности, мы использовали множитель 1/5. В левой части рисунка 5.5 показана схема соответствия этих коэффициентов (черные квадратики) отсчетам входного сигнала фильтра, представленным пустыми квадратиками.
Обратите внимание на то, что на рисунках 5.5(а) — 5.5(е) мы сдвигаем входные отсчеты вправо и на каждом шаге вычисляем значение выходного отсчета с помощью (5-3). Выходные отсчеты в правой части рисунка 5.5 совпадают с первыми пятью отсчетами, показанными черными квадратиками на рисунке 5.2. Входные отсчеты на рисунке 5.5 — это те же значения, которые на рисунке 5.2 представлены белыми квадратиками. Заметьте, что порядок следования входных отсчетов во времени на рисунке 5.5 изменен на обратный по отношению к порядку отсчетов на рисунке 5.2! То есть входная последовательность на рисунке 5.5 перевернута во времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
