Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Эта инверсия порядка следования отсчетов во времени обусловлена структурой фильтра, показанной на рисунке 5А. Повторяя первую часть (5-3) и опуская подстрочный индекс выходного сигнала, можно записать выходной отсчет исходного КИХ-фильтра у(п) в виде у(п) = (х(п — 4) + х(п — 3) + х(п — 2) + х(п-1) + х(п)]/5. (5-4) Поскольку мы будем исследовать фильтры, коэффициенты которых принимают разные значения, нам необходимо представить их некоторой переменной, например, Ь(Ь). Таким образом, мы можем переписать уравнение для выходного отсчета усредняющего фильтра (5-4) в более общем виде у(п) = Ь(4)х(п — 4) + Ь(3)х(п — 3) + Ь(2)х(п — 2) + Ь(1)х(п — 1) + Ь(0)х(п) = 4 =ХЬ(Ь)х( -Ь), (5-5) к-0 где все коэффициенты Ь(0) — Ь(4) равны 1/5. Выражение (5-5) представляет собой компактный способ описания структуры фильтра, показанной на рисунке 5.4 и процесса вычисления, иллюстрируемого рисунком 5.5. 170 )лааа5.
Фильт ысимп льснойха акте истикойконечнойдлины пврвьа вводной отому, «ГО) Сумма пврвмк пити проитввдвний 0 П (а) Вычислить у(4) Выходной сигнал у(л) Ствмионврмкв у и и и и и О 2 4 Сумма «тормк пыи прснкввдтннй ип П П П 0 П ', П П (Ь) Вычислить у(О) тт — ь Выходной сигнал у(л) ими и ° О г 0 П П П П 0 П П Вычислить у(О) и ~> Выходной сигнал у(л) (с) и д и и и О 2 4 П 0 0 П и П П Вычислить у(т) Ч:> Выходной сигнаЛ у(л) О 2 4 Пятьд вксднсй оус мт, кувг П и и П и П 0 П П Вычислить у(а) О 2 4 Выходной сигнал у(л) (е) и и д ° и Рис. 6.6. Свертка в усредняющем фильтре: (а) первые пять входных отсчетов, выровненные относительно неподвижных коэффициентов фильтра, индекс и = 4; (Ь) сдвиг входных отсчетов вправо, индекс и = 5; (с) индекс и = 6; (с)) индексп=7;(е) индексп=8 М вЂ” 1 у(п) =,~„)г()г)х(п-)г), )г-а (5-6) Итак, мы получили то, что хотели.
Выражение (5-6) и есть печально известное уравнение свертки в приложении к цифровым КИХ-фильтрам. Начинающие в области цифровой обработки сигналов часто испытываю трудности в усвоении понятия свертки. Эти трудности совсем не обязательны. Уравнение Сделаем еще одни шаг вперед и запишем п-й отсчет КИХ-фильтра с и ответвлениями: 5.2. Све тка вКИХ- ильт ах 171 (5-6) представляет собой просто некоторое количество умножений с последующим суммированием произведений. В действительности процесс достаточно прост.
Мы просто инвертируем порядок следования отсчетов входной последовательности и сдвигаем инвертированную последовательность относительно коэффициентов фильтра, как показано на рисунке 5.5. Для каждого нового входного отсчета мы суммируем произведения и получаем выходной отсчет. Задержимся на минуту и введем новое понятие, которое важно хорошо усвоить — импульсную характеристику.
Импульсная характеристика фильтра — это именно то, что значит ее название, это выходная последовательность фильтра во временной области при подаче на вход фильтра единственного отсчета, равного единице (единичного импульса), которому предшествуют и за которым следуют нулевые отсчеты. Рисунок 5.6 иллюстрирует это понятие точно таким же образом, как рисунок 5.5 иллюстрирует получение выходной последовательности фильтра. Левая часть рисунка 5.6 показывает соответствие коэффициентов фильтра, черных квадратиков, отсчетам входного импульса, отмеченным белыми (пустыми) квадратиками.
На рисунках 5.6 (а) — 5.6 (е) мы сдвигаем входные отсчеты вправо и на каждом шаге вычисляем выходной отсчет фильтра с помощью выражения (5-4). Выходные отсчеты в правой части рисунка 5.6 представляют собой импульсную характеристику фильтра. Обратите внимание на важную особенность: импульсная характеристика КИХ-фильтра идентична последовательности пяти коэффициентов. По этой причине термины коэффициенты КИХ-фильтра и импульсная характеристика являются синонимами. Следовательно, когда кто-то говорит об импульсной характеристике некоторого КИХ-фильтра, он также говорит и о его коэффициентах. Возвращаясь к усредняющему фильтру, вспомним, что все коэффициенты, или отсчеты импульсной характеристики, Ь(0) — Ь(4) равны 1/5.
Оказывается, качество нашего фильтра можно улучшить, если использовать неравные значения коэффициентов. Под качеством фильтра мы понимаем то, насколько хорошо фильтр пропускает требуемые сигналы и насколько хорошо он подавляет нежелательные сигналы. Мы оцениваем качество фильтра по форме его частотной характеристики, которую мы получаем посредством использования свойства свертки линейных систем. Для описания этого понятия повторим (5-6), используя сокращенную запись у(п) = Ь(/г) « х(п), (5-7) где символ «обозначает свертку.
(Формула 5-7 читается так: «у от п равно свертке Ь от Ь их от пм) Свойство свертки в приложении к КИХ-фильтрам формулируется следующим образом: ДПФ свертки импульсной характеристики фильтра и входной последовательности равно произведению спектра входной последовательности и ДПФ импульсной характеристики. Идея, которую мы стараемся донести до вас, состоит в том, что, если две последовательности во временной области Ь(Ь) и х(п) имеют ДПФ Н(т) и Х(т) соответственно, то ДПФ последовательности у(п) = Ь(Ь)» х(п) будет равно Н(т) ° Х(т).
Формулируя более компактно, мы представляем это утверждение в форме выражения дпо у(п) = Ь(Ь) «х(п) Н(т) Х(т) (5-8) ОИПФ 172 Глава 5. Филвт ы с имп льснойха акте нстикой конечной длины Сумме перв к пвм В О й Вычислить у(4) ы> Импульсная характеристика, Ип) Импуп а й 1 О «хайяма умея (д) В В В В В Суецпа«ер«м юзффуммвпм О 2 4 Сумма« самки ум паамэееапммй Вычислить у(Б) Импульсная характеристика, у(п) 1О (Ь) » В ° В О 2 4 Вычислить у(6) В и Импульсная характеристика, у(п) (с) В В В М В О 2 4 1О Вычислить у(у) В В В В Импульсная характеристика, у(п) ° В В В В О 2 4 Вычислить у(8) В В В ° В Импульамвя характеристика, у(п) (е) Рис. 5.6. Свертка коэффициентов фильтра и входного импульса для получения импульсной характеристики фильтра: (а) единичный отсчет импульса выровнен с первым коэффициентом фильтра, индекс и = 4; (Ь) импульс сдвинутвправои индексп= 5;(с) индексп=б;(с() индексп=7;(е) индекс п=8 Здесь ОДПФ обозначает обратное ДПФ, и (5-8) показывает, что две последовательности, образованные в результате выполнения операций ))()у) «2(л) и Н(т) Х(т), связаны парой преобразований Фурье.
Таким образом, вычисляя ДПФ от свертки уу(к)»х(л), мы получаем произведение Н(т) е Х(т), т. е. спектр выходного сигнала нашего фильтра У(гл). Аналогично, мы можем получить свертку у)(к) «х(л), вычисляя обратное ДПФ произведения Н(т) «Х(т). Из (5-8) можно сделать важное заключение о том, что свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области.
Чтобы помочь вам понять этот принцип, на рисунке 5.7 наглядно представлено соотношение между сверткой во временной области и произведением в частотной области. Операция свертки для линейных систем обсуждается подробнее в разделе 5.9. Мы настоятельно рекомендуем начинающему читателю просмотреть этот материал, чтобы получить общее представление о том, как и когда операция сверки может быть использована для анализа цифровых фильтров.
Выражение (5-8) и соотношения на рисунке 5.7 подсказывают нам, что необходимо сделать, чтобы получить частотную характеристику некоторого КИХ-фильтра. Произведение Х(т) Н(т) — это ДПФ выходного сигнала фильтра. Поскольку 5.2. Све ткавКИХ- нльт ех 173 Х(т) является ДПФ входной последовательности, отсюда следует, что частотная характеристика фильтра есть Н(т), ДПФ импульсной характеристики фильтра а(тг) . Возвращаясь опять к нашей задаче, мы можем определить частотную характеристику усредняющего фильтра, вычислив ДПФ последовательности коэффициентов фильтра (импульсной характеристики) в (5-4).
Если мы возьмем пять коэффициентов гт(1г), равных 1/5, и дополним их 59 нулями, мы получим последовательностгп изображенную на рисунке 5.8 (а). Выполнив 64-точеное ДПФ этой последовательности и пронормировав модули ДПФ, мы получаем амплитудно-частотную характеристику. фильтра ~Н(т) ~, показанную на рисунке 5.8 (Ъ), и фазо-частотную характеристику, показанную на рисунке 5.8 (с)'.
Мы видим, что Н(т) — наша старая знакомая, функция яп(х)гтх из раздела 3.13. вх си аиаппаа впасть пр астстпаа бпасть Рис. Б 7. Соотношения свертки в приложении к цифровым КИХ-фильтрам Теперь установим связь отсчетов дискретной частотной характеристики, показанной на рисунках 5.8 (Ь) и 5.8 (с), с физической размерностью частоты дискретизации у',.
Из раздела 3.5 и нашего опыта манипуляций с ДПФ мы знаем, что отсчет ш = Ж,'2 = 32 в этом случае соответствует частоте заворота, равной половине частоты дискретизации, /;,'2. Учитывая это, мы можем преобразовать частотную 1 Здесь мы говорим «импульсная характеристика» вместо «коэффицентьт», потому что эта концепция применима также и к БИХ-фильтрам. Частотная характеристика БИХ- фильтра также равна ДПФ импульсной характеристики. Использовать здесь именно 64-точечное ДПФ совсем не обязательно. Мы могли дополнить импульсную характеристику нулям до 16 или 32 отсчетов. Мы выбрали 64 отсчета, чтобы обеспечить разрешение по частоте, которое позволяет нам получить достаточно гладкую форму характеристики на рисунке 5.8 (Ъ).
Вспомните: чем больше отсчетов используется для БПФ, тем выше разрешение по частоте — не так ли? 174 ' 7лава5. Фильт ысимп льснойха акте истикойконечнойдлины ось рисунка 5.8 в частотную ось рисунка 5.9. Заметим, что на рисунке 5.9 (а) АЧХ фильтра, конечно же, периодична в частотной области, и период повторения равен частоте дискретизации )т Поскольку нас в первую очередь интересует частотная характеристика фильтра в диапазоне частот от 0 до половины частоты дискретизации, рисунок 5.9 (с) показывает этот диапазон в увеличенном масштабе, чем подтверждает, что операция усреднения ведет себя как фильтр нижних частот.
Это довольно плохой ФНЧ по сравнению с идеальным, характеристика которого показана на рисунке 5.9 (с) штриховой линией, но наш усредняющий фильтр будет ослаблять высокочастотные составляющие входного сигнала по сравнению с низкочастотными составляющими. ~ О(к) 0.2 ° ° а ° (а) а ° ° в а в +-а-в-в-а-4Ь. 9 11 13 15 17 59 61 63 К 0 1 3 5 7 18 )Н(81)) 1 аа в а а в ааааа ° ааааа в а 1нааа в в ° О.б о.б (ь) 0.2 0 0 3 б в4444Ч445444 тНта+Н+Н "$447+аГНтН а'Н"НтНтН)"а' 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 81 Не(т) 180 135 90 45 а вв а„ ° в аа 3 вв а а„ ° 54 57 60 63 (О) 0 ° -45 -90 -135 -180 ФЬЮ+44(чв7(4+)4+7 а~~+Н++1Н1Н1 Ф~+Н+ГН(4+)4 ° ° ° вв6 91215 аа 242730 вв 394245 а а а ° в в аа Рис. 5.8.
Усредняющий КИХ-фильтр: (а) последовательность коэффициентов фильтра Л(М), дополненная нулями; (Ь) нормированная дискретная АЧХ ~ Н(т) ~; (с) ФЧХ в градусах Это можно продемонстрировать на примере. Предположим, что мы подаем на вход усредняющего фильтра низкочастотную синусоиду, показанную белыми квадратиками на рисунке 5.10 (а), при этом частота синусоиды равна/; /32, а амплитуда равна 1. Выходной сигнал в этом случае представляет собой синусоиду частотой ~; /32, амплитуда которой уменьшена до 0.96, при этом выходная синусоида оказывается задержанной по фазе на 22.5'. Далее, если мы подадим на вход фильтра синусоиду с более высокой частотой, равной 3~; /32, как показано на рисунке 5.10 (Ь), выходной сигнал фильтра будет синусоидой частотой 3~; /32, амплитуда которой 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
