Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Они называются окном Чебышева и окном Кайзера и определяются следующими внушительными выражениями: Окно Чебышева— (его также называют окном Дольфа- Чебышева) га(1) — )ч'-точечное ОДПФ последовательности сов[И соз ~[с соз(тгт/У '1[/ /созЬ[йГ созЬ 1(а)[, (5-17) где а =созЬ[(1/йГ)созЬ ~(10т)1 и т=0, 1,2,...,У вЂ” 1 Окно Кайзера- (его называют также окном Кайзера-Бесселя) (ь - ьв чР-кг-риж лом, при й = О, 1, 2, ..., 1ч'-1 и р = (М-1)/2 (5-18) Два типовых окна Чебышева и Кайзера и их амплитудные спектры показаны на рисунке 5,25.
Для сравнения там же приведены прямоугольное окно и окно Блэкмана. (Графики на рисунке 5.25 (Ъ) были получены для окон, рассчитанных в 32 точках с добавлением 480 нулей и последующим 512-точечным ДПФ.) Первоначально выражение (5-17) было выведено в теории антенных решеток с использованием полиномов Чебышева [9-1Ц. Выражение (5-18) происходит из выполненной Кайзером аппроксимации вытянутых сфероидальных функций с помощью функций Бесселя нулевого порядки [12-13]. Пусть вас не смущает сложность выражений (5-17) и (5-18) — в данный момент нас не интересуют математические подробности их вывода. Нам только нужно убедиться в том, что управляющие параметры у и 1) в (5-17) и (5-18) дают возможность регулировать ширину главного лепестка окна и уровень его боковых лепестков.
5.3. П оекти рвание КИХ- иль а нижних частот о.в яая1 г.в) о.в (а) О.4 о.г о о гв го 2в Зо 1 В ге ио -го -зо <ь> -4О -во -то 1я12 Частота 1,1В 1 14 Рис. 5.26. Типовые оконные функции, используемые для проектирования ЦФ: (а) отсчеты окон во временной области; (Ь) модули спектров окон в дБ Аггел сьев = 20 У (5-19) Следовательно, если мы хотим, например, чтобы уровень боковых лепестков не превышал -60 дБ по отношению к главному лепестку, мы в соответствии с (5-19) задаем у=3.0 и запускаем программу, генерирующую отсчеты окна Чебышева'.
1 Кстати, некоторые пакеты программ ЦОС требуют залания Аггеясьсв вместо у. В этом случае (5-19) нам не нужно вообще. Посмотрим, как выглядит эта зависимость в случае окна Чебышева, задав четыре разных значения у и построив их спектры на рисунке 5.26. Разработчики ЦФ для расчета значений отсчетов окна Чебышева обычно используют специальные программы. Коммерческие пакеты программ ЦОС позволяют пользователю задать три параметра: вид оконной функции (в данном случае Чебышева), требуемое количество коэффициентов (количество ответвлений КИХ-фильтра) и значение у.
Задание разных значений у дает нам возможность установить требуемый уровень боковых лепестков и посмотреть, как это влияет на ширину главного лепестка, в то время как при использовании окна Блэкмана и других окон, рассмотренных в разделе 3.9, мы лишены такой возможности. Уровень боковых лепестков окна Чебышева в децибелах составляет 162 Глава 5. Фильт ы с имл льснойха акте истикой конечнойдлины (а) О.2 15 20 25 30 (т 5 10 -1О -20 (ь) -Зо -4О -50 -50 -то (й2 Чаотота гйв та и Рис.
6.26. Окно Чебышева при разных значениях у: (а) отсчеты окна во временной области; (Ь) модуль спектра в дБ То же относится и к окну Кайзера, показанному на рисунке 5.27. Коммерческие пакеты программ позволяют нам задавать значение р" в (5-18) и выдают соответствующие отсчеты окна. Графики на рисунке 5.27 (Ъ), полученные для окна Кайзера, содержащего 32 отсчета, показывают, что мы можем устанавливать требуемый уровень боковых лепестков и проследить его влияние на ширину главного лепестка. Какое окно лучше использовать — Чебышева или Кайзера? Это зависит от решаемой задачи. Возвращаясь к рисунку 5.25 (Ъ), заметим, что в отличие от боковых лепестков окна Чебышева, имеющих постоянный уровень, боковые лепестки окна Кайзера уменьшаются с ростом частоты.
Однако вблизи главного лепестка боковые лепестки окна Кайзера выше боковых лепестков окна Чебышева. Наша главная задача — уменыпить уровень боковых лепестков, насколько это возможно без слишком сильного расширения главного лепестка. Разработчики ЦФ обычно экспериментируют с разными значениями у и(8 для окон Чебышева и Кайзера, стараясь получить оптимальную форму И"ав(т) для конкретного приложения.
(С этой точки зрения низкий уровень боковых лепестков окна Влэкмана во многих 193 5.4. П секти рвание полосовых КИХ- ильтров приложениях перевешивает ширину его главного лепестка.) Отдельные разновидности окон имеют свои собственные преимущества и недостатки с точки'зрения проектирования КИХ-фильтров. Независимо от того, какое непрямоугольное окно используется, оно всегда уменьшает пульсации АЧХ КИХ-фильтра в полосе пропускания по сравнению с прямоугольным окном.
Заинтересованный читатель может найти очень подробное описание окон в работе (141. о (а) о 1о ш го зз зо (т о з -1о -оо -во поо Г /2 Частота гам Рис. 6.27. Окна Кайзера для разных значений Р: (а) отсчеты окна во временной об- ласти; (Ь) логарифмический амплитудный спектр в дБ 5.4. Проектирование полосовых КИХ-фильтров В качестве первого шага проектирования полосовых КИХ-фильтров можно использовать проектирование ФНЧ методом окон.
Допустим, нам необходимо рассчитать КИХ-фильтр с 31 ответвлением и с АЧХ, показанной на рисунке 5.22 (а), центр которой вместо О Гц приходится на у', тт4 Гц. Если мы обозначим 194 Глава 5. Фильт ы с имл льснойха акте истикой конечнойдлины коэффициенты КИХ ФНЧ как Ь~ (к), наша задача сводится к вычислению коэффициентов полосового фильтра ~ь (А). Как показано на рисунке 5.28, мы можем сдвинуть частотную характеристику Н1„(т), умножив коэффициенты Ь~ (к) на синусоиду частотой / /4 Гц. Эта синусойда представлена на рисунке 5.28 (а) последовательностью з,ь,/,(й), отсчеты которой получены путем дискретизации синусоиды с частотой четыре отсчета на период.
В результате получаем коэффициенты ЬЬ (1г) полосового фильтра йьр® А~р® з~~ф® ' (5-20) частотная характеристика которого )Нь (т) ! показана на рисунке 5,28 (Ь) сплошной черной линией. Уровень АЧХ )Нь (т)! вдвое ниже уровня исходной АЧХ (Н~р(т)1 потому что, когда з,ь/,(() соответствует частоте~;/4, половина значений коэффициентов льр(к) оказываются равными нулю. Данный эффект имеет важное практическое следствие.
Это значит, что, когда мы реализуем полосовой КИХ-фильтр с А1-ответвлениями, центральная частота АЧХ которого равна/;/4 Гц, нам необходимо выполнить только А1/2 умножений на каждый выходной отсчет. (Нет необходимости умножать входной оТсчет х(пчг) на 0 перед суммированием произведений в (5-6) и на рисунке 5.13, не правда ли? Мы просто не выполняем такие умножения вообще.) Конечно, когда центральная частота полосового КИХ- фильтра отлична от /, /4, мы вынуждены выполнять все Агум пожени й на каждый выходной отсчет КИХ-фильтра. Обратите здесь внимание на то, что коэффициенты ФНЧ )О (А) на рисунке 5.28 (а) не были взвешены каким-нибудь окном. На практике следовало бы в (5-20) использовать взвешенные коэффициенты Ь~ ((), чтобы уменыпить пульсации в полосе пропускания.
Если бы мы хотели получить центральную частоту АЧХ полосового фильтра, равную другой частоте вместо/; /4, нам просто нужно было бы модифицировать з,ь/,(1) так, чтобы она представляла дискретные отсчеты синусоиды, частота которой равна требуемой центральной частоте. Эту новую последовательность з,ы/,(() следует использовать затем в (5-20) для получения новых коэффициентов льр(к). 5.5. Проектирование КИХ-фильтров верхних частот Двигаясь дальше, мы можем использовать метод проектирования полосовых КИХ-фильтров для проектирования КИХ-фильтров верхних частот (ФВЧ). Чтобы получить коэффициенты ФВЧ, нам необходимо только изменить сдвигающую последовательность з,ы/г(й) так, чтобы она представляла собой дискретизованную синусоиду частотой ~', /2.
Этот процесс показан на рисунке 5-29. Коэффициенты результирующего КИХ ФВЧ 6 р(й) равны Ьь (lг) = й~Я) ° з,ы/г(й) = Ь~Я ° (1, — 1, 1, — 1, 1, — 1и т. д.), (5-21) 5.5. П секти рвание КИХ- иль оа ае хних частот 195 ° ° ° ь„(х) ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 4 ьа(Х) (а) ь„(х) ° ° ° ° ° ° ° ° ° -4- М (ь) ( (З Частота с - (т(4 ( /4 Рис. 5.28. Полосовой фильтр, центральная частота АЧХ которого равна т /4: (а) генерация коэффициентов (то (Ь) для 31 ответвления: (Ъ) АЧХ (Н (гл) ( ор В отличие от ~Нь (лт)! на рисунке 5.28 (Ъ), характеристика )Нь (т)( на рисунке 5.29 (Ъ) имеет тот же уровень, что и исходная (Н(„(т) !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
