Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В этом случае где частота оптического излучения ~ выражена в герцах, длина волны Х вЂ” в сантиметрах, К, — в Вт-см 'Гц ', й,— в Вт-см ~-см '. Пользуясь формулой Эйнштейна — Фаулера, найдем суммарный поток излучения в момент времени ~ можно представить в виде И с!~, (~) =- ~ Ф, (~ ~„), й-1 где Ф, (1 — 1,,) — поток, определяемый излучением одного фотона, в момент времени ~~.
Случайные моменты времени излучения фотонов будем пока считать равновероятными в интервале О, Т. Определим среднее значение потока излучения т Ф„(К) =1!т — ' ~ Ф„~ф) Й =-1$т —,' ~ ~ Ф, (К вЂ” ЦСЦ. Т-ь о г-+- 0 1=1 Учитывая, что независимо от момента вылета фотона Ф, (1 — 1„) Ж = Йч, найдем 0 Ф„(1) =- Ф0 =- МУ„, где Р,=== 11гп(й,/Т) представляет собой среднее за единицу времени число фотонов, излучаемых в единичном спектральном интервале, центрированном относительно частоты ч.
Рассмотрим спектр излучения одного фотона + ОР Ф (Д =- ~ Ф ~~ — Ц е-12"~~й. Предполагая, что испускание фотона есть мгновенный процесс, т. е. Ф1 (1 — 1д) - — — йчб (1 — — 1~), где о (1 — 1~) — дельта-функции в момент времени 8 = 1~, получим, вводя новое значение текущего времени 1' =- 1 — 1~, +СО Ф, Ц) =- ~ Йъб~ф') е ' " ~' ~'4) Ф' = йче ' В соответствии с равенством Парсеваля интеграл от квадрата потока, излучаемого в момент времени 1, когда в момент времени 1~ происходит акт испускания одного фотона, вычисленный для всех значений времени 1 от †до +со„ равен интегралу от квадрата модуля временного спектра излучения одного фотона, вычисленного для всех частот ~ от — оо до + оо. Следовательно, введя обозначение +СО д, = ~ Ф', (~ — ~Д й, найдем но ~ Ф~ ф ~ ~ ==- ~ Ме ' ~ ~ 2 = (М)2, следовательно, В полученную формулу должна быть внесена существенная поправка, связанная с тем, что при ее выводе предполагалось, что случайные события (отдельные акты излучения фотонов) появляются независимо друг от друга.
В этом случае справедлив закон Пуассона, описывающий распределение числа появлений рассматриваемых случайных событий в единицу времени (ФД ~ — ж„ 1К„! где Р (У,) — вероятность того, что в течение времени произойдет ровно Л~, актов излучения; Ж вЂ” среднее число актов излучения в единицу времени.
Как известно, дисперсия случайной величины, распределенпой по закону Пуассона, равна среднему значению ЛЖ =- У„. Это свойство распределения Пуассона, называемое законом среднеквадратического отклонения, является критерием того— правдоподобна ли гипотеза о распределении случайной величины по закону Пуассона. Закон среднеквадратического отклонения может быть, например, использован для расчета отклонения от среднего числа атомов, находящихся в некотором объеме газа, а также многих других физических явлений, характеризующихся равномерным распределением энергии по степеням свободы (классическая статистика Больцмана).
Рассмотрим, справедлив ли закон среднеквадратического отклонения для фотонного газа. Для этого найдем выражение для дисперсии флуктуаций числа фотонов лУ„, — ---(ӄ— У~) === У~ — Я ) ° Так как Е„=- У Йгч, ЛЕ~~= ЛЖ (М)~, то где ЛЕ' — средний квадрат отклонения энергии от среднего значения Е„,. Из формулы Эйнштейна — Фаулера для флуктуаций потока излучения следует, что ЬЕ~ ==- Е йм [1+ 1/(е ~ ~ — 1)~, откуда искомая дисперсия флуктуации числа фотонов: ЛФ = И [1+6, (ч)1 =- Ф М (ч), где 6„(ч) =- 1~(е~ ~(-~ — 1), Я (,ч) 1 1 О (,д) еы1<и~Уи~Ят~ 1) ., Ц1 е ь~Мтт) Как видим, полученное выражение отличается от закона среднеквадратического отклонения, т.
е. рассмачриваемое распределение не является распределением Пуассона. Флуктуации в фотонном газе несколько больше — на величину 6„(ч), называемую параметром вырождения. Это является следствием учета вынужденного излучения атома, помещенного во внешнее поле. Поглощение атомом энергии внешнего поля, связанное с переходом его из низшего квантового состояния в высшее, не изменяет чисто случайный характер флуктуаций собственного излучения атома. Однако существует определенная вероятность перехода атома из высшего состояния в низшее, сопровождающегося излучением энергии.
Вынужденное (под действием внешнего поля) излучение определяет возможность одновременного излучения нескольких фотонов, испускаемых с одинаковыми энергиями в одном направлении (эффект слипаиия). Таким образом, существует некоторая корреляция излучения фотонов и отдельные акты излучения нельзя считать независимыми. Это обстоятельство учитывается статистикой Бозе — Эйнштейна, в которой в отличие от статистики Больцмана вводится коэффициент корреляции М(ч), определяемый через параметр вырождения о,(ч). У тепловых источников излучения до температур примерно 10' К параметр вырождения очень мал. Действительно, например, для комнатной температуры при длине волны 10 мкм он равен 0,008.
Однако у нетепловых (лазерных) источников параметр вырождения может быть очень большим. Учитывая статистику Бозе — Эйнштейна, спектр Хинчина— Винера для потока, излучаемого единицей поверхности абсолютно черного тела в единичном спектральном интерва..' в полусферу можно представить в виде Е Д)=(йм)~Ф Я(ч)=(Рю)~У [1+5 (")) или 5 7. ФОТОННЫЙ ШУМ ТЕПЛОВЫХ ПРИЕМНИКОВ Предположим, что тепловой приемник взаимодействует с окружающей средой лишь путем излучения, т.
е. не происходит обмена энергией вследствие конвекции и теплопроводности; приемник имеет температуру Т„окружен средой с температурой Т, и имеет излучательную способность в, которая не зависит от температуры и длины волны. Поток излучения, падающий на приемник и поглощенный им, в этом случае равен (пользуемся только шкалой частот) Ф = валВ,сЬ, О где В,„— спектральная плотность энергетической яркости абсолютно черного тела, имеющего температуру Т,„а — площадь приемника. Так как излучает вся полусфера, то В„= К„Ъ, где й„— спектральная плотность энергетической светимости, следовательно, Если й„флуктуирует относительно своего среднего значения, то и поток излучения, падающий на приемник, испытывает соответствующие флуктуации. Дисперсия этих флуктуаций в полосе частот электронного тракта Л~,„, очевидно, равна Л кккк = 2 Л~,„ка ~ Ек сЬ, о где Е, — спектр Хинчина — Винера для спектральной плотности энергетической яркости, т.
е. ©Л~ = 2Лт' ка ~ атйкЫ (т) Лт = т а„иткК,К инта к к к тКкт,К к ~~~= кк к'куш где интеграл 4 и~Мт,1 к=- ~ т ккК~кта Ккк Если М ф йТ2, то . Р / 4 — Ы~<ЬТ,>д, о Этот интеграл можно вычислить по формуле п! х е-1'"дх =- — „. Тогда найдем Р~ =- 24 (АТ~/Ь)5, следовательно, Учитывая, что постоянная закона Стефана — Больцмана (у = — 2д Ч4~(15с2ГР), найдем'дисперсию флуктуаций, выраженную в Вт' ЛФ2 = 7,39йиа Л~ Т2~. Точное значение интеграла д'„позволяет получить несколько иную величину ЛФ = — 8йжа Л~шТ2 =62,62 10 'еаЛ~шТ2- Так как приемник излучает как серое тело, имеющее температуру Т, и излучательную способность е, то флуктуации излучаемой им мощности будут проявляться как фотонный шум с дисперсией ЛФ = 8йоеаЛ~ Т1. Поскольку флуктуации падающего и излучаемого потоков излучения независимы, суммарная дисперсия ЛФ == 8АоеаЛ~ ~Т~+ Т2).
Если приемник находится при той же температуре, что и окружающая его среда, т. е. Т, = Т, = Т, то ЛФ~ =16йаеа Ц Т'=125,24.10 ~аеас Та. Если тепловой приемник излучения представляет собой пластинку, площадь каждой стороны которой равна а при излучательной способности сторон е, и е„то общий уровень фотонного шума такого приемника определяется выражением ЖР = 16Иаа (е, + е,) Л~ Т~. 481 1ь м м. мирошни'.:о~ Во всех предыдущих расчетах имелось в виду, что е, = в ав,=О.
Если же тепловой приемник представляет собой плоское аб солютно черное тело, имеющее температуру Т,, площадь каждой стороны а и окруженное другими абсолютно черными телами, име ющими различную температуру, распределенную по закону Т~ (и, ср), то дисперсия полной флуктуации определяется выражением л(э'=.1бйаал~„т;+ — 1 1 т, (а, <р) совийпийипгр, ь 1 О 0 где интегрирование проводится по полусфере, так что угол а изменяется от О до и/2, а угол ср — от О до 2л.
Если приемник окружен со всех сторон абсолютно черным телом, имеющим одинаковую температуру Т,, то Т, (а, ~р) = — Т, = = сопз1, созаз1па Йхдср = 2л я/2 ь1п~сс 1~/2 сйр созаз1аада= — 2л ~ = л; 2 ~о ЛФ = %Ырра Л~~ (Т~+ Т~~). Если приемник окружен со всех сторон абсолютно черным телом, имеющим темперагуру Т, всюду, кроме малого телесного угла Й внутри одной полусферы, где она равна Т„т. е. Т, (и, ср) = Т в телесном угле Й, Т, (а, ср) — — - Т, в остальном угле л — Й, то 2ы л/2 — Т2 (я, яэ) соз сс 81п сс асс дя~ = — — Т2 + Т~ — — Тъ й ь 5 й 5 Я Я; Я 0 Е ЛФ~ = 16Ааа Л~ ~(2 — Й/л) Т~ + (Й/л) ТД.
При Т~=Т~= — Т ~~РЯ З2У~~ Ц Ть что естественно следует из предыдущего выражения, когда в~ = в2 ник охлажден до температуры абсолютного нуля, эквивалентная мощность фотонного шума уменьшается всего в 3/2 раза по сравнению со случаем, когда приемник имеет комнатную температуру. ф 8. ФОТОННЫЙ ШУМ ФОТОННЫХ ПРИЕМНИНОВ Фотонные или квантовые приемники отличаются от тепловых тем, что в них имеет место прямое взаимодействие между падающими фотонами и электронами материала приемника. Поэтому, если чувствительность тепловых приемников пропорциональна поглощенной энергии, то чувствительность фотонных приемников — числу поглощенных фотонов.
Вследствие прямого взаимодействия между фотонами и электронами инерционность фотонных приемников очень мала, а чувствительность их в условиях глубокого охлаждения обычно на один-два порядка выше, чем чувствительность тепловых приемников. Спектральная чувствительность фотонных приемников зависит от длины волны, в то время как спектральная чувствительность теплового приемника от длины волны не зависит, если процесс чернения его поверхности достаточно совершенный. Так как энергия фотона изменяется с длиной волны, фотонные приемники характеризуются длинноволновой границей чувствительности, за пределами которой энергия фотона либо меньше работы выхода для фотоэмиссионных приемников, либо недостаточна для создания пары электрон — дырка для фото- резисторов и фотовольтаических приемников, т. е.
длиной волны (мкм) Х = 1,242йр. Для фотоэмиссионных приемников ср есть задерживающий потенциал в электронвольтах ~р ==- а/в, где и — работа выхода, е — заряд электрона. Предельно низкую величину задерживающего потенциала имеют серебрянокислородноцезиевые эмиттирующие поверхности, у которых ср =- 0,98эВ, т. е. Х, = 1,25мкм. Для полупроводниковых приемников ср =- ЛЕ„где ЛЕ,— ширина запрещенной зоны, выраженная в электрон — вольтах.
Все известные полупроводники с собственной проводимостью имеют ширину запрещенной зоны не менее 0,18 эВ, т. е. работают в области до 7 мкм. При охлаждении ширина запрещенной зоны сужается, сузить ее можно и за счет введения примесей легирования. В этом случае наибольшая граничная длина волны достигает 140 мкм (германий, легированный бором) и даже 8000 мкм (легированный антимонид индия). Идеализированные спектральные характеристики тепловых и фотонных приемников, построенные исходя из постоянной величины потока излучения на единичный интервал длин волн, имеют вид, представленный на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
