Айхлер Ю., Айхлер Г.-И. Лазеры. Исполнение, управление, применение (2008) (1095903), страница 49
Текст из файла (страница 49)
1.2 демонстрирует характеристику волн в плоскости сечения через центр возбуждения. Ограниченныевояны, дифракция Рассматриваемые до сих пор идеальные плоские волны и сферические волны лишь весьма условно применимы в качестве моделей лазерного излучения. Плоская волна обладает неограниченной протяженностью, а сферическая волна распространяется во все направления. Таким образом, ни одна из них в точности не соответствует лазерному пучку, который имеет определенное направление распространения и конечное поперечное сечение луча. Улучшенной моделью лазерного пучка, если брать плоскую волну, считается таковая с боковым ограничением посредством диафрагмы, как показано на рис.! 2.1. В результате генерируется луч, проходящий с постоянной интенсивностью через диафрагму.
Эксперименты показали, что подобный прямоугольный профиль интенсивности за диафрагмой не сохраняется. На достаточно большом удалении (с > сР/Х) образуется расширенный скругленный профиль с побочным максимумом. Изменение профиля интенсивности световой волны за диафрагмой и есть то явление, что называется дифракцией. Согласно принципу Гюйгенса, это объясняется тем, что каждая точка отверстия диафрагмы излучает сферические волны, которые суммируются в правом полупространстве за диафрагмой в результирующее распределение поля. При таком сложении необходимо рассматривать разность хода, или фазу сферических волн.
Если разность хода равна нулю (например, на оси симметрии), то суммируются амплитуды волн и образуется максимум интенсивности. Если разность хода составляет половину длины волны (Х/2), то волны гасятся, поскольку амплитуды имеют противоположную направленность. Это действительно для направлений под углом О: гг.л г ~,г„ю~г х яп 0=/г — * где 1г= +1, +2,...
В этом случае на каждую сферическую волну, образующуюся в нижней половине диафрагмы, приходится гасящая сферическая волна из верхней половины диафрагмы. Более точное решение в данном случае дает распределение интенсивности, показанное на рис. 12.! . Диафрагма )Ц лг глг злг рае. 12л. Дифракцня на щели шириной гл Похожим образом наблюдается и дифракция на точечной диафрагме Резюмируя, можно утверждать, что плоская волна с боковым ограничением изменяет профиль своей интенсивности в процессе расхождения, или дивергенции.
То же происходит и с лазерным пучком. Нечто подобное мы наблюдаем также, когда профиль интенсивности в самом начале выражен не через прямоугольную форму, а, например, через пространственное гауссово распределение. Здесь тоже имеет место расхождение, но при этом всегда остается гауссово распределение. Угол расхождения здесь меньше, чем в случае прямоугольного профиля. Учитывая эти благоприятные свойства, лазеры конструируются часто с таким расчетом, чтобы волны излучались именно с гауссовым профилем интенсивности. Характеристики таких гауссовых пучков будут подробнее рассматриваться в следующем разделе. Речь идет при этом не о лучах в математическом смысле этого слова, а о световых волнах с боковым ограничением, именуемых также гауссовыми пучками.
12.2. Гауссовы пучки Лазеры могут возбуждаться и генерировать излучение в разных распределениях поперечного поля, или модах. Основная мода низшего порядка ТЕМр, обладает особенно простым и весьма удобным для пользования равномерным распределением поля. У резонаторов с вогнутыми зеркалами ТЕМ„-мода обнаруживает в своей интенсивности гауссов профиль. Ниже будет обсуждаться вопрос о том, как распространяется световая волна с таким профилем. Окажется, что подобные световые волны можно представить в виде сферических волн с мнимым источником. (228 Г !2. Р ~ р Сферические волны с мнимым центром г — > г + 1х„= г!. (12.7) Величина ся принимается как вещественная, на ее физическом значении мы остановимся позже. Путем преобразования уравнения (12.7) получаем сферические волны с мнимыми центрами: Е(г,с,г)= ехр — /~~с./у +г -ГО/), ч/2 3 (12.8) где г=~х +у Если рассматривается с-приосевая, так называемая параксиальная область, то при г « ~ 4 имеет силу следующее: Е(г,с,г) = — ехр — Ц!/гг//ф+г /г/ -го ~ = — ехр-/ /о/ !+ —, -гог = /, ~ ~ 2,/2,/ В ( /гг21 = — ехр~-/ ~ехр/(гог-/гс) (!2.9) е ( 2е) При этом В =А ехр (/гг„) — так же, как и А — есть сначала неопределенная амплитуда.
Комплексный параметр 1/д после разложения на действительную и мнимую составляющие может быть записан и в такой форме: (12.10) Ч(Г) с + сх В(с) /гго (г) Величины го(с) и Я (с) означают радиус пучка и радиус кривизны гауссова пучка, поэтому: Е(г,с,1)= — ехр~ —, )ехр~ — / )ехр/(го1 — /сс). ч 1, оз'(с)) ~ 2Я(с)) (12. ! 1) Уравнение (12.11), наряду с уже упомянутыми плоскими и сферическими волнами, является еще одним (правда, весьма приближенным) решением волнового уравнения в параксиальной области (см.
выше). Оно называется гауссовым пучком и описывает распространение так называемых ТЕМ -лучей. Радиусы лучей Решение (12.! 1) волнового уравнения имеет амплитуду, описываемую в г-направлении посредством гауссовой функции ехр (-г'/о~'). Пространственное распределение интенсивности /-~ Е1'выражено через (см. также рис. 12.2): 1/1 =ехр ((-2г'/со'(х)) (12.12) Путем интегрирования получаем зависимость между мощностью лазерного я 2 излучения Р и максимальной интенсивностью= Г„„; Р= — го / Согласно уравнению (12.5) бывает любой центр сферической волны. Он может располагаться и в комплексе, даже если сначала это не очевидно. Поэтому в урав- нение (! 2.5) вместо г можно ввести комплексную величину д: Величина, введенная в уравнение (12.10): оз(2) = т~2з +2я = озе т)'1+ 2 /2я, 1( кся (12.
13а) где озр — — ч(22я /(г = /2я)ь/к, обозначается как радиус пучка. Зависимость радиуса пучка от координаты распространения 2 показана на рис. 12.3. Для 2 = 2„гауссов пучок расходится до и'2 -кратного значения ю(0) = ам Величина 1 2 г/и Рис. 12.2. Профиль интенсивности гауссовв пучка попереч но направлению распространения Рис. 12.3. Распространение гауссовв пучка: изменение радиуса луча го(2) и радиуса кривизны к (2) волновых фронтов Угол дифракции на больших расстояниях (2 » 2„) радиус пучка возрастает практически линейно с 2: оз(2) = озв —.
~Я (12.14) оз',е Ь=22ю где 2„= (12.! Зб) именуется поэтому длиной фокуса, или конфокальным параметром; 2 носит название «рэлеевской длины». Гауссов пучок характеризуется по уравнению (12.! За) либо через шейку, или перетяжку (наименьшее поперечное сечение) пучка ш„либо через упомянутую рэлеевскую длину 2„. ~~~230 Глава ?2 Раслропираиеиае световьог воли Отсюда получается угол дифракции (рис. 12.3) гауссова пучка; !пп» го(е) го» (12.
! 5) се пю» Кольцевая диафрагма с диаметром И= 2!о при освещении плоской световой волной дала бы в итоге дифрагированную волну с углом дифракции (углом расхождения пучка): О„= 1,22 Х/г) = 0,667»/оз, > 8. (12.!6) Радиус кривизны фазовых поверхностей Фазовые поверхности гауссова пучка выражены через: г2 г=пй— 2)?(е) причем т означает целое число. Это параболы с радиусом кривизны: (12.17) Я(~) = е+ —" (12.18) с Для я » ~„имеет силу Я (е) = х, то есть на большом расстоянии от шейки пучка фазовые поверхности являются сферами с центрами при е = О.
Для е -» 0 действительно ?? (е) -в, и получаются плоские волновые фронты. Гауссов пучок может поэтому рассматриваться как смешение плоской и сферической волн — см. здесь рис. 12.3. Параметр !2 При распространении гауссова пучка радиус луча озГг) и радиус кривизны ?? Гг) допустимо воспринимать как функцию расстояния е от шейки пучка. Вместо того, чтобы оперировать параметрами со (~) и ?? (е), иногда бывает проще использовать комплексный параметр а, включающий в себя и го (е), и А ?е) — согласно уравнению (12.10). Соответственно (12.7), 4? (е) ? с + !е = с + е (0) (12.
20) линейно зависит от б В шейке пучка имеем: (? (О) = (е„, (12.21) причем — по (12.14)— Угол О„определяет радиус первого темного кольца ?с дифракционной картины, как это видно из рис. 12.1 для шелевой диафрагмы. Гауссов пучок расходится, следовательно, слабее, чем прочие световые волны с боковым ограничением, хотя это показано здесь только на примере луча с прямоугольным профилем. Поэтому гауссов пучок можно обозначить как «дифракционно-ограниченный».
а.БАГЗ тг ф св = коз~/)с. (12.22) Теперь видно, что гауссов пучок выражен через положение и диаметр своего наименьшего поперечного сечения, именуемого также «шейкой», или «перетяжкой>. При распространении гауссова пучка параметр д изменяется. Также линзы и прочие оптические элементы обеспечивают преобразования параметра д, описываемые на основе «АВСР-матриц>. Но иногда распространение гауссова пучка проще вычислить, не прибегая к закону АВС0, так что мы попробуем обойтись без него в следующем далее элементарном представлении.
Высшие моды Эрмита — Гаусса Наряду с гауссовыми пучками существуют и другие решения волнового уравнения. Е (х) = Н (с) ехр(-Рз/2), (12.23) причем Н, = 1, Н,(~) = 2Р, Н (~) 4Рз 2 Нз(~) — 8Рз !2 (12. 24) с1=х/шв (12.25) обозначаются как эрм итовы полиномы. Индекс пз = О, 1, 2,3... показывает порядок полинома и одновременно число нулей. Некоторые распределения поля и интенсивности, вычисленные по уравнению (12.23), представлены на рис. 12.4. Подобные высшие моды в направлении оси х характерны, например, для полупроводниковых лазеров. О 00 000 Рис.
12.4. Распределения напряхсенности поля Е(х) и линии постоянной интенсивности лучей Эрмита — Гаусса, ияи высшие (ТЕМ,)-моды (см. уравнение 12.25) О~о О 00ооО ( 232 Глава 12. Раснроолраненне свелювых волн Радиусы и диеергекция высших мод Из рис. ! 2.4 видно, что высшие моды занимают более значительную х-область, чем основная гауссова мода. Касательно расстояния от самого крайнего максимума наружу до центра пучка примерно действует следующее: хй = Л»- гл азо Угол дивергенции высших мод: (12.26) 0 = I!+и-0 (12. 27) также увеличивается, поскольку из-за модуляции поля в направлении оси х заметно усиливается дифракция. 12.3.
Прохождение гауссовых пучков через линзы Прохождение световых лучей через линзы можно приближенно описать на основе законов геометрической оптики. Это признано приемлемым, в частности, в отношении изображения объектов с некогерентным излучением: проблемами дифракции тогда можно пренебречь. При распространении же лазерных лучей, в том числе, гауссовых пучков, в силу ограниченного диаметра луча, приходится как раз принимать во внимание дифракционные эффекты. Поэтому, исходя из законов геометрической оптики, Лдя гауссовых пучков приводятся далее соответствующие уравнения преобразования. Геометрическая оптика Линза или линзовая система характеризуются главными плоскостями Ни Н'и фокусами Р и Е (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
