Айхлер Ю., Айхлер Г.-И. Лазеры. Исполнение, управление, применение (2008) (1095903), страница 50
Текст из файла (страница 50)
12.5). Если с обеих сторон линзы находится одинаковая среда (например, воздух), то величины заднего фокусного расстояния (в пространстве изображений) и фокусного расстояния в пространстве предметов равны Г. При этом необходимо соблюдать следующие правила знаков: интервалы справа от соответствующих главных плоскостей положительные (например, Ь), интервалы слева от них — отрицательные (например, д).
То же касается и размеров объекта, и Эрмитовы функции по уравнению (12.25) образуют ортогональную систему функций. Любую другую функцию или распределение напряженности поля на оси х можно представить как сумму этих функций. Эрмитовы функции по (12.25) обладают, однако, особым свойством, а именно: распределения поля в направлении оси х для любого значения с подобны друг другу. Только величина радиуса пучка а(с) подвержена изменениям. В случае иных распределений на оси х, например, при прямоугольной функции, каковая имеет место за равномерно освещенной щелью по рис.
12.1; при распространении света, напротив, изменяется форма начального распределения. Виды мод, которые возникают как произведение Е (х) Е (у) и имеют нули в направлениях х и у, приведены на рис. 13.5. даз. Лд д у у д 233 дуу изображения. Расстояния в направлении вверх (например, 0) будут положительными, а расстояния вниз (например, В) — отрицательными. н н' Итак, имеет силу следующее уравнение изображения; (12.28) () = ВУН= ЬУ~. (12.29) С помощью этих уравнений можно рассчитать положение и размер изображения, причем у тонких линз обе главных плоскости Ни Н' совпадают. Уравнение (12.28) может быть доказано, если предположить, что из каждой точки объекта выходит сферическая волна. Если рассматривать изображение точки на оси, то радиус кривизны в месте (тонкой) линзы будет иметь вид: А, = — я.
Сразу за линзой имеем радиус кривизны сферической волны: А, = — Ь. Минусовые знаки вводятся с учетом того, что радиусы А для выпуклых (А,) волновых фронтов определяются как положительные, а для вогнутых (А,) — как отрицательные. Поскольку пройти через линзу по краю удается быстрее, чем через ее среднюю часть, соответственно изменяется и радиус кривизны (12.28). Обратимся далее к прохождению гауссовых лучей через линзы с фокусным расстоян нему. Допустим, мы имеем падающий луч с определенным расстоянием а линзы от шейки пучка и радиусом шейки ате.
Требуется найти соответствующие величины а' и и', пучка за линзой. Величины а и а'измеряются (если смотреть от шейки пучка) вправо как положительные и влево — как отрицательные. Для вывода соответствующих уравнений следует исходить из обычных формул линзы (12.28). Линза преобразует падающую сферическую волну с радиусом А, = — я в проходящую сферическую волну с радиусом А, = — Ь. Таким образом, из (12.28) следует: 1 1 1 А,=А, 7 (12. 30) 1 1 1 1 1 — — — или — = — +- У Ь А Ь Масштаб изображения !) составляет; Преобразование гауссовых пучков Рис.!2.5.
Изображение, формируемое линзой на основе геометрической оптики. Сд— размер объекта,  — расстояние от передней главной точки до осевой точки объекта,  — размер изображения и Ь вЂ” расстояние от главной точки в пространстве изображения до осевой точки изображения (~~~234 Глава 12. Распространение световых волн Радиусы Гг, если смотреть со стороны линзы, являются положительными для выпуклых волновых фронтов и отрицательными для вогнутых. Так как у гауссова пучка радиус оз непосредственно до и после (тонкой) линзы остается неизменным, то с учетом уравнения (12.10) имеет силу следующее: ! 1 1 (!2.31) '72 % .Г Комплексные паРаметРы лУча дп 4, до и после линзы выводЯтсЯ из Рэлеевских длин х„, х' и, соответственно, шеек пучка зе„зевсогласно (!2.7): д, =а+ (е 4,=а'+ 1с'в.
(12.32) Из уравнений (! 2. 31) — (12.32) следует: а' — -Г+ и а — з (зг — а)з+ г (12.33) (12.34) Рве. !2.6. Преобразование гвуссовв пучка посредством линзы Фокусировка гауссова пучка Во многих областях применения лазера его луч следует наводить на как можно меньшее пятно. Для этого ев и, соответственно, аз, по уравнению (12.34) должны быть максимально большими. Тогда действительно: Ц' кюа (12. 35) Эти уравнения дают в итоге радиус оз', и расстояние от шейки пучка за линзой (рис. ! 2.6). Если св есть малая величина по сравнению с интервалом а — Г, то получают обычные формулы линзы (12.28) и (12.29) для геометрической оптики. Интересная ситуация возникает, когда шейка падающего луча совпадает с передней фокальной плоскостью, то есть когда а =Г. В этом случае будет: а'= — Г и оз', = ХГГлозв Шейка (наименьшее поперечное сечение) пучка за линзой находится, таким образом, в задней фокальной плоскости.
12.4. Т- ф ° р р, „,. „„„., 23~ф Эта формула используется, как правило, для вычисления радиуса пучка со', при фокусировке лазерного луча линзой. (Речь идет о минимальном значении, имеющем силу фактически только для: ер» а — /). Чтобы радиус падающего луча гл, не урезался линзой с диаметром Р, должно быть оз, <13/2. Следовательно: гв'0 = 20~/кО. (! 2.36) Для получения малого диаметра пятна диаметр линзы выбирается как можно большим.
Поскольку фокусное расстояние/; например, двояковогнутой линзы примерно равно радиусу кривизны и, следовательно, не может быть много меньше ее диаметра, то минимально достижимые диаметры пятна соответствуют примерно половине длины волны ).. Глубина резкости составляет 2г'„и может рассчитываться по формуле (12.13а). 12.4.
Телескопы и фильтры пространственных частот Для расширения лазерных пучков применяют телескопы, с чем связано уменьшение дивергенции излучения. Это важно, например, при передаче лазерного излучения на большие расстояния без использования стекловолокон. Телеогоп Кеплера Коллимационный телескоп, действующий по принципу Кеплера, состоит из объективной линзы с фокусировкой/; и имеющей более короткое фокусное расстояние /; второй линзы, которую в стандартных телескопах называют окуляром (рис.
12.7). Фокусные расстояния обеих линз совпадают, когда телескоп настроен на бесконечность. У параллельно падающего лазерного луча диаметр Н увеличивается до Р, причем, согласно геометрической оптике (рис. 12.7), имеет силу: Р/г(=/;//г (12. 37) При более точном описании системы расширения пучков необходимо учитывать волновой характер света. Расширитель для гауссовых пучков показан на рис. 12.8. Изображение шейки пучка езм формируется линзой. Наименьшее поперечное сечение пучка ю'и = гам возникает с некоторым выходом за пределы фокуса этой линзы. С помощью линзы 2 увеличивается диаметр пучка с шейкой ю'и.
Радиус гв'м будет максимальным, когда промежуточная шейка ез'„= езм смещается в левую фокальную плоскость линзы 2. Это приводит к тому, что наименьшее поперечное сечение ез'м располагается в правой фокальной плоскости данной линзы. На основе уравнений бР *""" у ""у"" " ~: = ч( О ~1 "Х Если падающий луч имеет наименьшее поперечное сечение а„в фокусе Р, и при этом Г, = Рп то мы получим, подобно уравнению (12.37) в геометрической оптике (рис. 12.7): ~~~ 236 Глава 12 Раснросшраненне свешовьа волн Х 02 О! лля а г Х (12.38) Рис. 12Д. Геометрический ход лучей а телескопе Кеплера и зрительной трубе Галилея Рис.
12.8. Расширитель для гауссоаых пучков Тогда для угла дивергенции излучения до и после расширения имеет силу; Х е,=в,—, Л' (12. 39) то есть расходимость в результате расширения уменьшается. Зрительная труба Галилея У расширителя пучка по Кеплеру излучение фокусируется первой линзой. В случае высокомощных лазеров это может привести к электрическому пробою в воздухе. В этом смысле расширитель, действующий по принципу Галилея, представляется более целесообразным (рис.
12.7). Здесь линза 1 выбирается как рассеивающая линза с отрицательным фокусным расстоянием. Можно сделать так, чтобы, как у Кеплера, оба фокусных расстояния совпадали. В этом случае действительны приведенные выше уравнения (12.38) и (12.39), только 1: надо заменить на ~Д. гг.г. л ° ф г р , ° ф Фильтры пространственных частот Распределения напряженности поля лазерного луча нередко выражаются не через идеальный гауссов профиль ТЕМ««, а на основе наложения помех, как показано на рис. 12.9. Причиной помех могут стать, например, пыль или царапины в оптических системах.
«Очистка» подобного лазерного луча производится иногда с помощью так называемого фильтра пространственных частот (рис. 12.9). При таком фильтре лазерный луч фокусируется линзой или объективом. Параллельно падающее излучение, которое соответствует гауссову пучку большого диаметра, фокусируется в фокальной плоскости. В фокус помещают точечную диафрагму, отверстие которой несколько больше диаметра пятна. При этом гауссов пучок беспрепятственно проходит через диафрагму. Световые волны, образующиеся, например, в результате рассеяния на пыли, распространяются с отклонением от гауссова пучка сферически вокруг центра рассеяния.
Это приводит к тому, что за линзой рассеянные волны не проникают сквозь точечную диафрагму В результате паразитные волны пространственно отделяются от гауссова пучка и диафрагмируются. Фильтр пространственных частот нередко комбинируется с расширителем пучка. Более точное описание фильтра пространственных частот по рис. 12.9 можно дать с помощью известного фурье-преобразования. В фокальной плоскости линзы 1 образуется спектр Фурье, или спектр пространственных частот профиля падающего луча. Высокие пространственные частоты находятся сбоку от оси и, следовательно, диафрагмируются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
