Джон Ф.Уэйкерли Проектирование цифровых устройств. Том I (2002) (1095889), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Любую логическую функцию можно записать в виде канонической суммы. Каноническим произведением (гапон!са! ргодис!) логической функции называется произведение макстремов, соответствующих тем комбинациям входных сигналов, для которых значение функции равно О.
Например, каноническое произведение логической функции из табл.4.5 имеет вид =П „(1,2, 5) =(Х+У+с') (Х+У'+2) (Х'+У+У'). Злесь П„„(1, 2, 5) — список макстермов (тахгегт йм), означающий «произвеление макстермов 1, 2 н 5 с переменными Х,'ти Е». Список макстермов называют также множ«ство выключений (оф-ке!) логической функции. Можно мысленно представить себе, что каждый нз макстермов, входящих в это множество, «выключает» выходной сигнал при одной вполне определенной комбинации входных сигналов. Любую логическую функцию можно записать в виде канонического произведения. 254 Глава 4. Принципы проектирования комбинационных логических охеы Список минтермов легко преобразовать в список макстермов, и наоборот.
Для функции и переменных возможные номера минтермов и макстермов приналле жат множеству (О, 1,..., 2" — 1); список минтермов и список макстермов содержат подмножества этих номеров. Чтобы перейти от одного списка к другому, нужно взятьдополнение множества; например, ~к в с(О 1 2, 3) = П а,в с(4 5 б 7) *' ' Х„„(1) = П„,(О, 2, 3), Х „г,х(О, 1, 2, 3 5, 7, 11, 13)= П,х„(4, б, 8, 9, 1О, 12, 14, 15) . Теперь вам известны пять возможных представлений комбинационной логической функции: 1. Таблица истинности. 2. Алгебраическая сумма минтермов, то есть каноническая сумма. 3. Список минтермов, обозначаемый символом Х.
4. Алгебраическое произведение макстермов, то есть каноническое произведение. 5. Список макстермов, обозначаемый символом П. Каждое из этих представлений несет в себе одну и ту же информацию; когда любое одно из них задано, четыре других можно получить путем простого механического вывода. 4.2. Анализ комбинационных схем Мы осуществляем анализ комбинационной логической схемы, описывая формально логическую функцию, которую реализует эта схема. Получив описание логической функции, мы можем предпринять ряд других действий: ° Определить реакцию схемы на различные комбинации входных воздействий.
° Преобразовать алгебраическую запись и предложить другую структуру схемы, реализующей эту логическую функцию. Преобразовать алгебраическую запись так, чтобы подогнать ее под имеюшуюся структуру схемы. Например, сумма произведений непосредственно соответствует структуре схемы, создаваемой в программируемой логической ИС. ° Использовать алгебраическое описание работы схемы при анализе системы большего размера, включающей в себя эту схему. Если имеется графическое изображение комбинационной схемы, такое, например, как на рис. 4.9, то существует несколько способов получить формальное описание функции, которую реализует эта схема. Самым простым функциональным описанием является таблица истинности.
Используя толью основные аксиомы алгебры переключений, мы можем составить таблицу истинности для схемы с л входами, прослеживая путь от входов к выходам для всех 2" комбинаций входных сигналов. Для каждой такой комбинации определяются сигналы, вози икаю шие на выходах всех вентилей под действием данных входных сигналов, перенося информацию от входов схемы к ее выходам. На рис. 4.10 демонстрируется применение этого «исчерпываюшего» метода к схеме„рассматриваемой в нашем примере. У каждой сигнальной линии в схеме выписана последовательность из восьми логических значений, которые возникают на этой линии, когда на входы схемы Х'Я поочередно подаются сигналы 000, 001, ..., 111, Чтобы записатьтаблипу истинности, достаточно воспроизвести последовательность на выходе последнего вентиля ИЛИ, как это сделано в табл.4.7.
Составив таблицу истинности для рассматриваемой схемы, мы можем прямо написать логическое выражение в виде канонической суммы или канонического произведения по нашему желанию. Рис. 4.9. Логическая схема с тремя входами и одним выходом х оооо и 1 ! ооооы м Рис. 4.10. Сигналы, возникаюшне на выходах вентилей под воздействием всех комбинаций входных сигналов Строка Х У 2 Р 0 0 О 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 О 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 4.2. Анализ комбинационных схем 256 Табл.
4.7. Таблица истинности для логичес- кой схемы, приведенной на рис. 4.9 256 Глава 4. Принципы проектирования комбинационных логических схем МЕНЕЕУТОМИТЕЛЬНЫИ СПОСОБ ПРОДВИЖЕНИЯ Результаты, представленные ларис.4. ! О, легко получить с помощью типичных средств логического проектирования, содержащих программу логического моделирования. Сначала вы рисуете схему. Затем на входы Х, У и 2 подаете сигналы с выходов 3-разрядного счетчика.
(У большинства моделирующих программ имеются такие встроенные счетчики, предназначенные как раз для упражнений подобного толка.) Счетчик многократно перебирает все восемь возможных комбинаций входных сигналов в том порядке, как это показано на рисунке. Моделирующая программа позволяет наблюдать временную диаграмму результирующих сигналов в любой промежуточной точке схемы, а также на ее выходе. Число комбинаций входных сигналов растет экспоненциально с увеличением числа входов, так что полный перебор может быстро стать утомительным.
Вместо этого обычно применяется алгебраический подход, при котором сложность описания всего лишь более или менее пропорциональна размерам схемы. Этот метод прост: составляется логическое выражение, снабженное необходимыми скобками, соответствующее логическим операторам и структуре схемы. Процедура составления логического выражения начинается со входов схемы, и затем поочередно совершается переход к выходам вентилей, встречающихся на пути между входами и выходом. По мере этого движения можно упрощать получающиеся выражения согласно теоремам алгебры переключений, но можно также отложить все алгебраические преобразования до того момента, когда будет получено выражение для сигнала на выходе схемы. Рис. 4.
! ! демонстрирует применение алгебраического метода в нашем примере. Функция, выполняемая схемой в целом, определяется логическим выражением, относящимся к выходу последнего вентиля ИЛИ: г =((Х-~-'т") 2)+ (Х' 1'. 2'). Рис. 4.11. Логические выражения для различных сигнальных линий При получении этого выражения никакие теоремы алгебры переключений не применялись. Однако ими можно воспользоваться, чтобы преобразовать данное выражение к другому виду. Например, можно получить сумму произведений, «рвз нося множитель по слагаемым»: 4.2. Анализ комбинационных схем 25г Это выражение соответствует другой схеме, реализующей ту же самую л огическую функцию; новая схема приведена парис.4.12. Рис.4.12.
Двухуровневая схема И-ИЛИ Но с другой стороны, «разнося слагаемые по сомножителямэ, можно исходное выражение представить в виде произведения сумм: Е=((Х+У') 2)+(Х'.У 2') = (Х+У + Х') (Х+У'+У) (Х+У'+ Е') (2+Х') (2 +У) (2+ 2') = 1 1 (Х+У'+2') (Х'+ 2) (7+2) . 1 = (Х+ У'+ 2') (Х'+ 2) (У+ 2). Соответствующая логическая схема показана на рис. 4.13. Рис.
4. 13. Двухуровневая схема ИЛИ-И В нашем следующем примере алгебраического анализа рассматривается схема с вентилями И-НЕ и ИЛИ-НЕ, приведенная на рис.4.14. Этот анализ чуть неприятнее, чем в предыдущем примере, так как каждый из вентилей описывается дополнением подвыражения, а не простой суммой или произведением. Однако Результирующее выражение для выходного сигнала можно упростить, многократно применяя обобщенную теорему Де Моргана: Е = [((ЧЧ . Х')' У)' е (ЧЧ'+ Х+ У')' + (ЧЧ+ 2)')' = ((ЧЧ'+ Х)' + У')' (ЧЧ ' Х'' У)' (ЧЧ' ' 2') = ((ЧЧ.
Х')' У) (ЧЧ'+ Х+ У') (ЧЧ+ 2) = ((ЧЧ'+ Х) У) (ЧЧ'+ Х+ У') . (ЪЧ+ 2). 17 Звк 2137. 258 Глава 4. Принципы проектирования комбинационнык логических схем Рис. 4.14. Алгебраический анализ логической схемы с вентилями И-НЕ и ИЛИ-НЕ Довольно часто теорема Де Моргана применяется для упрощения алгебраического анализа графически, Вспомните: у каждого из вентилей И-НЕ и ИЛИ-НЕ имеется по два эквивалентных графических изображения, как зто было показано парис.
4 3 и 4 4. В результате аккуратного перерисовывания схемы, приведенной парис. 4.14, оказывается возможным взаимно уничтожить часть инверсий согласно теореме Т4 !(Х )' = Х), как это показано на рис. 4.15. Это преобразование непосредственно приводит нас к более простому выражению для выходного сигнала; Е=((УУ'+Х) У) (Ф'+Хьу') (чУ+2). На рис. 4. ! 4 и 4.15 представлены два различных способа изображения физически одной и той же логической схемы. Однако, упрощая логическое выражение по правилам алгебры переключений, мы получаем выражение, соответствующее схеме, физически отличающейся от исходной. Например, последнее упрощенное выражение соответствует схеме, приведенной на рис.
4. ! б, которая физически отличается от каждой из схем на предыдущих двух рисунках. Более того, разнося множители по слагаемым или слагаемые по сомножителям, мы могли бы получить выражения в виде суммы произведений и произведения сумм, соответствующие еще двум схемам, физически отличающимся от уже упомянутых, но реализующим ту же самую логическую функцию, Рис. 4.1б. Алгебраический анализ схемы, которая получается из предыдущей схемы заменой условных обозначений некоторых вентилей И-НЕ и ИЛИ-НЕ 4.2. Анализ комбинационных схем 259 рис. 4. 16. Другая схема, реализующая ту же самую логическую функцию Хотя выше мы использовали логические выражения лля отображения информации о физической структуре схемы, так происходит не всегда. Например, выражением 0(ууХ,У,с) = уу .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
