Джон Ф.Уэйкерли Проектирование цифровых устройств. Том I (2002) (1095889), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Давайте проверим справедливость этого утверждения на примере физической цепи. На рис.4.5(а) приведена таблица, описывающая функцию, реализуемую логическим элементом, с точки зрения электрических потенциалов на его входах и выходе; этот логический элемент назовем просто «вентнлем 1-го типа». (а) „ "-4Л пип — 2 т (Ь) х "-4З °,> — 2=Х т т (с) х -4Э пип> — 2 =х т т рис. 4.6. Логический «вентиль 1-го типаич (а) таблица, описывающая рабе~у схемы с точки зрения уровней напряжения на входах и выходе;(о) таблица с логическими значениями на входах и выходе и условное обозначение в поло. жительной логике; (с) таблица с логическими значениями на входах и выходе и условное обозначение в отрицательной логике 4.1.
Алгебра переключений 249 В положительной логике (низкий уровень ((ОФ) соответствует О, высокий уровень (Н!ОН) — 1) — это вентиль И, но в отрицательной логике ((.О% = 1, Н1 ОН = О) — это вентиль ИЛИ, как это видно из рис. (Ь) и (с) Можно представить себе также некий «вентиль 2-го типа» (рис. 4.б), который в положительной логике является схемой ИЛИ, а в отрицательной логике — схемой И.
Подобные таблицы можно составить для вентилей с числом входов больше двух. (а) (Ь) (с) х х — 7 х~ У :4-. авив 2 типа -7-х~т и — г=х т т— т — ' рис. 4.6. Логический вентиль 2-го типаж (а) таблица, описывающая работу схемы с точки зрения уровней напряжения на входах и выходе;(Ь) таблица с логическими значениями на входах и выходе и условное обозначение в положительной логике; (с) таблица с логическими значениями на входах и выходе и условное обозначение а отрицательной логике Предположим, что вам задано произвольное логическое выражение Р(Хь Хь ..., Х„).
Действуя по правилам положительной логики, вы можете построить схему, соответствующую этому выражению, используя инверторы для операций НЕ, вентили 1-го типа для операций И и вентили 2-го типа для операций ИЛИ, как показано на рис. 4,7. Пусть теперь, не изменяя схемы, мы совершаем переход от положительной логики к отрицательной. Тогда мы должны будем заново нарисовать нашу схему так, как это сделано парис.
4 8. х, хт хЗ Х4 цх»,хв ...,х„) рис. 4.7. Схема, реализующая некоторую логическую функцию с помощью инверторов и вентилей 1-го и 2-го типа по правилам положительной логики Ясно, что при любой возможной комбинации входных напряжений (высоких и низких уровней) напряжение на выходе схемы останется тем же самым. Однако, с точки зрения алгебры переключений, значение выходного сигнала — 0 или !— во второй схеме противоположно тому, что имело место при положительной логике. Но точно так же противоположным становится и значение каждого вход- 250 Глава 4.
Принципы проектирования коя5биивциоиных логических схем ного сигнала. Поэтому для каждой возможной комбинации сигналов на входах схемы, приведенной иа рис 4 7, сигнал на ее выходе противоположен тому, что получится на выходе схемы, приведенной на рис. 4.8, когда сигналы на ее входах будут представлять собой комбинацию значений, противоположных входным сиг налам схемы на рис. 4.7: Г(Х5, Хь..., Х5 ) = (р55(Х5 ', Хз', ..., Х55')1.
х, Х5' ХЗ' Х5 ЕО(Х,', Х5',, Х З х„ Рис. 4.8. Интерпретация предыдущей схемы в терминах отрицательной логики Беря дополнения выражений по обе стороны равенства, мы получаем обобщенную теорему Де Моргана: [Г(Хнхз,...,Х„))'=по(Х5',Хз', ...,Х„'). Потрясающе! ДВОЙСТВЕННОСТЬ вЂ” ЭТО ЗДОРОВО НЕ ТОЛЬКО ДЛЯ СТУДЕНТОВ, НО И ДЛЯ АВТОРОВ Теперь вы видите„что двойственность является основой для обобщенной теоремы Де Моргана. Забегая вперед, скажем, что вы должны будете выучить половину всех методов преобразования и упрощения логических функций. Но это позволяет и мне сократить вдвое тот материал, который я должен здесь изложить. 4.1.6.
Стандартные представления логических функций Прежде чем перейти к анализу и синтезу комбинационных логических схем, мы введем необходимую терминологию и обозначения, Основной формой представления логической функции является таблица яа тяваасти (ггиг)5 |аЫе). Этот совсем уж прямолинейный способ представления по своей идеологии подобен доказательству методом полной индукции и состоит в простом перечислении значений сигнала на выходе схемы для всех возможных комбинаций входных сигналов. По сложившейся традиции комбинации вхолных сигналов располагаются в виде строк в порядке возрастания эквивалентных им 4.1.
Алгебра переключений 251 двоичных чисел, а соответствующие значения выходного сигнала записываются столбиком справа от этих строк. В общем случае таблица истинности для функции " х переменных выглядит так, как это указано в табл.4.4. Табл. 4.4. Структура таблицы истинно- сти дпя произвольной логической фун- кции 3-х переменных Е(х,у2) х 5 1 0 1 Е(1,0, 1) б 1 ! 0 Е(1,1,0) 7 ! 1 ! Е(1.1,1) Строки пронумерованы числами от 0 до 7, соответствующими двоичной записи комбинаций входных сигналов, но эта нумерация не является существенной частью таблицы истинности. Примером таблицы истинности для конкретной логической функции 3-х переменных служит табл.4.5. Разные комбинации нулей и единиц в правом столбце таблицы задают различные логические функции; всего имеется2зтаких комбинаций.
Такимобразом,логическая функция„ приведенная в табл. 4.5, — это одна из 2з различных логических функций трех переменных Табл. 4.б. Таблица истинности для конкрету ной логической функции 3-х переменных 0 0 О 0 1 Е()(Х4) 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 ! 1 ! 4 ! 0 0 1 5 1 0 ! 0 6 ! ! 0 ! 7 ! 1 1 1 В таблице истинности для логической функции л переменных имеется 2" строк. Очевидно, что на практике таблицу истинности можно выписать только для логических функций с небольшим числом переменных: студент, скажем, мог бы составить таблицу для функции с числом переменных, равным 10, но для кого-то другого вполне хватило бы 4 — 5 переменных.
Содержащуюся в таблице истинности информацию можно выразить также алгебраическими средствами. Чтобы сделать это, нам, прежде всего, нужны не"оторые определения: О 0 0 О О О ! 0 0 1 ! 1 0 0 Е(0,0.0) Е(0,0,1) Е(0. 1. 0) Е(0,1,!) Е(1,0.01 252 Глава 4. Принципы проектирования комбинационных логических схем Таблица истинности тесно связана с минтермами и макстермами. Минтерм можно определить как терм-произведение, равный 1 точно в одной строке таблицы истинности. Табл.4.6 демонстрирует это соответствие на примере таблицы истинности для случая 3-х переменных. Табл. 4.6.
Чиитермы и макстермы для логической функции 3-х переменных Е(ХУ2) СтРояа Х У я Е Минтерм Маясгврм Х' У' 2' Х' У' 2 Х' У ° 2 Х У'2' Х.У' 2 Х.У 2' Х ° У 2 Х+У+2 Х+У в2' Х+ У'+ 2 Х+ У'+ 2 Х'+ У+2 Х'+ У+ 2' Х'+ У'+ 2 Х'+ У'.ь 2' 0 0 0 Е(0,0,0) 0 0 1 Е(0.0,!) О ! 0 Е(0,1.0) 0 1 1 Е(0,1.1) 1 0 0 Е(1,0,0) 1 0 1 Е(1,0,1) 1 1 0 Е(1,1,0) 1 1 1 Е(1,1,1) ° Литерал (Инга() — зто переменнал или дополнение переменной. Примеры. Х У,Х',У.
° Терм-произведение (ргойит гегт) — одиночный литерал или логическое про нзведениедвухилиболеелитералов.Примеры:2', ЧЧ Х У, Х У.2,Ч!г У 2 ° Сумма произведений (хит-о(-ргоггисГз вхргеав1 оп) - выражение, представляющеее собой логическую сумму термов-произведений. Пример; 2'+ ЧЧ Х Уч. +Х У 2+ЧУ' У' 2. ° Терм-сумма (хит гвгт)-одиночный литерал или логическая сумма двух или болеелитералов. Примеры:2', ЧУ+Хну, Х+у'+2, ЧЧ+!г+2, ° Произведение сумм ((ног!исг-о(ыитз вхргввв!оп) — выражение, представляю щее собой логическое произведение термовсумм.
Пример: 2' (ЧЧ+ Х+ У) (Х+ ч-У'+2) Ол(+'1г+2). ° Норм винный терм (ногти! Гвгт) - это терм-произведение или терм-сумма, в которых нет переменных, встречающихся более одного раза. Терм, не являющийся нормальным, всегда можно упростить, сведя его к нормальному терму, воспользовавшись для этого одной из теорем ТЗ, ТЗ'„Т5 или Т5'. Примеры термов, неявляющихся нормальными: ЧЧ Х Х У', ЧУ+ЧУ+Х'+У, Х Х' У. Примеры нормальныхтермов: ЧЧ Х.У', ЧЧ+Х'+У.
° Минтврм (т!пгвгт) с п переменными — нормальный терм-произведение с п литералами. Существует 2" таких термов-произведений. Примеры минтермов с4мя переменными;ЧЧ' Х' У'.2', ЧЧ Х' У' 2, Ф' Х'.У.2'. ° Макстври (тпхгвгт) с и переменными — нормальный терм-сумма с п литералами. Существует 2в таких термов-сумм. Примеры макстермов с 4-мя переменными:ЧЧ'+Х'+)г+2', ЧЧ+Х'+У+2, Ф+Х'+У+2'. 4.
1. Алгебра переключений 263 Минтерм с п переменными можно представить в виде п-разрядного двоичного целого числа, и граю щего роль нам«ра м интер« а (тгпгегт питЬ«г). Мы будем называть минтерм, соответствующий 1-й строке таблицы истинности, минтермам ! (т!пге«т О. Та или иная переменная входит в мнитерм ! в виде ее дополнения, если соответствующий бит в двоичном представлении числа 1, равен 0; в противном случае эта переменная фигурирует в минтерме не в форме дополнения. Например, двоичное представление номера 5-й строки имеет вид 101, и поэтому минтерм записывается как Х У'.
2. Как вы, наверное, уже догадались, в случае макстермов имеет место прямо противоположное соответствие: переменная входит в макстерч ! (тахгегт !) в форме ее дополнения, если соответствующий бит в двоичном представлении числа ! равен 1. Таким образом, макстерм 5 (101) выглядит так: Х' + У+ Е'. Заметьте, что все это имеет смысл толью в том случае, когда нам известно число переменных в таблице истинности; в нашем примере оно равнялось трем. Опираясь на соответствие между таблицей истинности и минтермами, легко по таблице истинности представить логическую функцию в алгебраической записи. Олна из форм такой записи — каноническая сумма (санат«а! кит) логической функции, то есть сумма минтермов, соответствующих тем строкам таблицы истинности (комбинациям входных сигналов), для которых значение функции (выходного сигнала) равно 1.
Например, каноническая сумма для логической функции из табл.4.5 имеет внд: Е = 2 „, л(0, 3, 4, б, 7! = Х' У' г' + Х' У г + Х У' 2'+ Х . У 2'+ Х У 2. Злесь 2; „(О, 3, 4, б, 7) — список минт«рва«(ттгегт !!з!), означающий «сумму ми нтермов О, 3, 4, б и 7 с переменными Х, У и Ъ>. Список мнвтермов называют также множеством включений (оп-з«!) логической функции. Можно мысленно представить себе, что каждый из минтермов, входящих в это множество, «включает» выходной сигнал при одной вполне определенной комбинации входных сигналов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
