Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 59
Текст из файла (страница 59)
2о. При и 1 1 старгиий коэффициент мкогочлена Т„(х) равен 2п г, т. е. Тп(х) = 2п1хп+ .... Справедливость свойств 1о и 2о следует непосредственно из определения (11.35), (11.36), Зо. Для х Е [-1, Ц справедлива формула (11.37) Тп(х) = сов (и агссов х). Сп(х) = 2х Сп г(х) Сп з(х) (11.38) (ср. с (11.36)). Соотношение (11.38) получится, если в легко проверяемом тригонометрическом тождестве 307 ~ При п = 0 и и = 1 формула (11.37) верна, так как сов (О. агссов х) = 1, сов (1 ° агссов х) = х, Для того чтобы доказать справедливость формулы для всех и 1 О, достаточно показать, что функции Сп(х) = сов (и агссов х) удовлетворяют такому же, как и многочлены Чебышева, рекуррентному соотношению хъ=сов, 1=0,1,...,п-1. (2й + 1)к 2п (П.зя) 5о.
При и > 0 справедливо равенство шах ] Тп(х)1 = 1. Если и 1 1, [-1, Ц то этот максимум достигается ровно в и + 1 точках, которые находятся по формуле 1 кт( х»2 соя т — 0> 1 ... и. (11.40) При этом Т„(х„) = ( — 1)п, т. е. максил(умы и минимумы многочлена Чебышева чередуются. Доказательство свойств 4о и 5о основано на применении формулы (11.37).
Например, в силу этой формулы корни многочлена Тп(х), расположенные на отрезке [-1, Ц, совпадают с корнями уравнения сов (и агссоа х) = О. Эквивалентное преобразование зтого уравнения дает и агссов х = г/2 + хй, 1 = О, х1, х2, .... Так как О < агссоз х < к, то заключаем, что имеется ровно и корней хъ, отвечающих значениям й = 0 1 ... и — 1 и удовлетворяющих равенствам агссов хъ > внвы>ененым фрр уле (11.29(. (21 Е !(е 2 Назовем величину гпах ~ Рп(х) ~ уклонением мно1очлена Р„(х) от [-»Ц нуля. Эта величина характеризует максимальное отклонение (уклонение) графика многочлена Р„от графика функции у = 0 на отрезке [-1, Ц.
бо. Среди всех многочленов фиксированной степени и Э 1 со старшим коэффиииентом а„„равным 1, наименьшее уклонение от нуля (равное 2~ ") имеет многочлен Т„(х) = 21 " Т„(х). Благодаря зтому свойству, имеющему особую ценность для приложений, многочлеиы Чебышева иногда называют наименее уклоняюшимися от нуля. Свойство бо иначе можно сформулировать так: для любого многочлена вида Р„(х) = х" + а„1х" ' + ... + ао, отличного от Т„(х), справедливо неравенство 21" = гпах ~ Тп(х)~ < гпах ~Рп(х)). [1,Ц " [1,Ц 308 сов [(т + 1) ] + сов [(т — 1) (о] = 2соа 1о соа т1э ( положить т = и — 1 и (>э = агссов х.
° 4О. При п у 1 многочлен Т„,(х) имеет ровно и дейсупвителъных корней, расположенных на отрезке [ — 1, Ц и вычисляеиых по формуле Приведем графики многочленов Т„(х) для и = 1, 2, 3, 4, Ь (рис. 11.3). Рис. 11.8 3 а м е ч а н и е. Из свойства би следует, что среди всех многочленов Р„(х) фиксированной степени а 1 1 со старшим коэффициентом а„~ 0 наименьшее уклонение от нуля (равное ~ «„~2~ ") имеет многочлен а„Т„(х). Формулы (11.39) и (11.40) позволяют дать следующую геометрическую интерпретацию построения корней и 1 ! точек экстремума многочлена Ти(х). ! Разделим полуокружность, опирающуюся на отрезок [ — 1, 1] как на диаметр, на 2п равных частей и 0 х спроецируем полученные точки на отрезок [ — 1, 1].
На рис. 11.4 изображен Рис 11.~ случай в = б. Нумеруя проекции справа налево, получим, что все проекции с нечетными номерами являются корнями многочлена Т„(на рис. 11.4 309 они помечены кружочками), а все проекции с четными номерами— точками экстремума (они помечены крестиками). Заметим, что корни и точки экстремума сгущаются к концам отрезка [-1; 1].
3. Решение задачи минимизации оценки погрешности. Найдем сначала решение задачи в предположении, что отрезок интерполяции [а, Ь] совпадает с отрезком [ — 1, 1]. В этом случае величина (11.34) будет минимальной при таком выборе узлов хс, х1, ..., х„, при котором минимальна величина шах ~ ш„,1(х) [, т. е.
минимально укло- [-1; 1] пение многочлена ы„1(х) = (х — ха)(х — х1)...(х — х„) от нуля. В силу свойств 4с и 6е многочленов Чебышева решение задачи дает набор узлов (2Ь + 1 хЬ= сов ~ (2и + 2 х, 1=0,1,...,п, являющихся нулями многочлена Т„1, так как в этом случае ыи1 —— = т Заметим, что при таком выборе К~Р 1 мп'1 (и+ 1)~ 2и ' (11.41) ~(Рп) — ( + 1)1 ° Следовательно, она в 2" раз хуже, чем при интерполяции с оптималь 1 ным выбором узлов. .А Пусть теперь отрезок интерполяции [а, Ь] произволен. Приведем егеэ к стандартному отрезку [-1, 1] заменой а+Ь Ь вЂ” а х= — +: 2 2 (11.42) где 1 Е [ — 1, 1]. Как нетрудно видеть, в этом случае ахи 1(х) причем в силу свойства 6О любой другой выбор узлов дает большее значение верхней границы погрешности.
Для сравнения укажем, что при использовании для приближения функции ~ отрезка ряда У Ь1 (0) Тейлора Р„(х) = Š—, х" верхняя граница оценки погрешности~ Ь=о такова: а) и+1 УМ вЂ” — а,~(г), где ы„.,(~) = (М вЂ” ~,)(1 1,) ..(1 ~„) и хь а+ЬЬ-а = — + — 1ь для Ь = О, 1, ..., и Следовательно, и минимум этой величины достигается при значениях Ц, 1~, ..., 1п,сов- падающих с нулями многочлена Тп+~. Значит, решение поставленной задачи дает выбор узлов а+ Ь Ь-а 12Ь+ 1 хь= — + — сов~ — хт Ь=О 1 ... и 2 2 (2п+ 2 (11.43) Ь(Р„)— (и+1)!2 ( г $11.7.
Конечные разности 1. Таблица конечных разностей. Пусть функция у = ~(х) задана таблицей (11.1) своих значений, причем хо < х~ ( ... с х„и расстояние Ь = х; — х, ~ между соседними узлами таблицы значений аргумента постоянно. В этом случае величину Ь называют ыасом таблицы, а узлы — р а оно от стп ояко ими. Величину Ьу, = у„~ — у, принято называть конечной равностью первоео порядка функции у = ~(х) в точке х; (с шагом Ь). Конечная раэность второго порядка определяется формулой Л2у; = Ьу„~ — Ьу;. Аналогично определяются конечные разности третьего и более высоких порядков.
Общее определение конечной раэности порядка Ь таково: ~ Ьу . — ~ Й 1 у ° ~~~ Й 1 у ° Здесь Й ~ 1 и Ьоу; = у,. Таблицу конечных ровностей (которые называют еще конечными раэностя.ии вперед) обычно располагают следующим обоазом.' которому отвечает минимальное значение верхней границы погрешнос- ти интерполяции, равное Таблица 112 дг дзу, дгу Д Уп-э Д Уп-г Дгу„г хп-1 Уп-1 2. Свойства конечных разностей. Можно показать, что конечные разности порядка Й выражаются через значения функции в Й + 1 точке по формуле Дйу, — ~ ( 111-1 С к !=о (11.44) й! где С~ = ' — биномиальные коэффициенты. В частности, й 1' Д у< = 36+г — 2ув 1 + У1 ДЗу' = уез — Зу1+г + Зу1+1 — У1 Дву! = уе,~ — 4щ+З + бу1+г — 4у1+1 + уо (11.45) ДЙУ вЂ” 11/~~~ Й1 (~) в которол1 ( — некоторая точка из интервала (х;, хн!).
312 Приведем без доказательства важное утверждение, указывающее на тесную связь между производными гладких функций и их конечными разностями. Т е о р е и а 11.6. Пусть функция 1 дифференцируема 1 раз на,, отрезке [х1, х1 ~~). Тогда справедливо равенство 3 а м е ч а н и е. При 1 = 1 формула (11.45) совпадает с формулой конечных приращений Лагранжа. С л е д с т в и е. Для мноеочлена у = Рп(х) = Е а кн конечная а=О равность порядка и является постоянной вел;.ниной, равной Ьп:4ап. Равности порядка й > п тождественно равны нулю.
Конечные разности имеют разнообразные практические применения. Например, если производная'Й-го порядка ~ е' слабо меняется на отрезке [хь х~Ц, то в силу равенства (11.45) для к Е [хь х;,ь~ справедлива следующая формула численного дифференцирования: (11.46) (11.47) Как нетрудно видеть, имеется тенденция к росту погрешностей я~."~ с ростом 1. Если известно, что [я,~ ~ я для всех ь', то можно гарантиро- вать справедливость лишь следующей оценки: ~я'"' ~ ~ Е С е = 2~6. ь ь (11.48) 3, Оценка уровня "шума" в таблице.
На практике часто возникает следующая задача. Для набора кв, к1, ..., хп равноотстоящих узлов каким-либо образом построена таблица приближенных значений гладкой функции у = ~(к). Требуется оценить уровень погрешности (уровень "шума") таблицы. Полученная выше гарантированная оценка погрешности (11.48) не дает удовлетворительного ответа на поставленный вопрос. Она лишь 313 В 3 11.9 конечные разности будут использованы для построения интерполяционного многочлена Ньютона.
Рассмотрим еще два приложения конечных разностей, связанных с анализом погрешностей таблиц, а именно задачу об оценке уровня "шума" таблицы и задачу обнаружения единичных ошибок. Заметим, что в реальных вычислениях таблица конечных разностей Ь"у, строится по значениям у'., каждое из которых содержит погрешность с = у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
