Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 60
Текст из файла (страница 60)
— у'. Тогда в силу формулы (11.44) найденные значения У" ЬЬу' содержат неустранимые ошибки указывает на то, что в самом неблагоприятном случае рост ошибки произойдет с коэффициентом, равным 2". Проведем статистический анализ погрешности. Будем предполагать, что ошибки е 0 = О, 1, ..., и) являются независимыми случайными величинами с матса<атическим ожиданием М Д = О (это эквивалентно отсутствию систематической составляющей погрешности) и дисперсией М [е~~ = <т2. В силу формулы (11.47) М [е < "' ] = О и тогда для дисперсии (<т< "')2 = М [(е<."~ )2] погрешности 1<-й разности имеем: й в (<т ) М [( Е ( 1) С<< еи)( Е (-1) ~~~ евт)]— <=о г=о — М [Е (С~~)2Ц + Е ( 1)<+т С~~ й Заметим„что Е (< '1)2 = С~~~ и М [а„< е;,„] = О при < Ф г, так как <=о величины а<,< и евг независимы.
Следовательно, (<г< "')2 = < ~2~<т2. Принимая за уровень "шума" таблицы величину <т квадратного корня из дисперсии (среднеквадратичную ошибку), получим равенство (11.49) которое дает более оптимистичное по сравнению с оценкой (11.47) значение коэффициента роста ошибки, так как 4 ~4~ < 2 . й Если конечные разности Ь"1<,' строятся для гладкой функции, то они часто имеют тенденцию с ростом Й уменьшаться по абсолютной величине, а затем, начиная с некоторого Й = р, возрастать, испытывая сильные колебания в пределах одного столбца. При этом для Й 1 р основной вклад в значение Ь"у,*. вносит величина е<<">.
Это обстоят тельство позволяет считать, что в оценке дисперсии (<т Р ) < ))г м «-р Ф Е (е<Р~)2 величины а<Р' можно приближенно заменить а — Р + 1 <=о на ЬРу*, Вычислив я<Р~, затем достаточно воспользоваться формулой (11.49) для оценки уровня "шума" таблицы. Пример 11.5 Оценим уровень "шума" в таблице значений функции Р ~ = 1п ц заданной с шагом Ь = 0.1 (первый и второй столбцы табл. 11,3). Сос- 314 тавив таблицу конечных разностей', замечаем, что, начиная с в = 5, абсолютные значения разностей Ь"у1 начинают возрастать. Оценим Фв> следующим ~ /г к<~) и ~ — Е (Ь~у,)т~ и 3,5 10 '~.
~6 в*о Учитывая, что С~~ = 252, имеем о' = а'~~/Д52 в 2.10 ~. Таким образом, погрешность таблицы составляет примерно две единицы 5-го разряда, а б-й и 7-М разряды уже не содержат полезной информации. Если бы таблицу предпо- лагалось использовать на практике, то, по-видимому, имело бы смысл округ- лить значения у; до 5 значащих цифр после десятичной то пси. Таблица 11,3 лт, ~1з, 1.0 0.0000000 1.1 0.0953274 953274 13874 869958 -69442 1.2 0.1823232 800516 1.3 0.2623748 -4062 3216 9812 '59630 -846 -2525 8966 740886 -3371 1.4 0.3364634 -50664 4161 690222 -45069 1.5 0.4054856 645153 1.6 0.4700009 790 6385 3992 606469 1146 -3473 571324 †23 2358 512752 ~ Следуя общепринятым обозначениям, мы записываем конечные разности так, как если бы десятичная точка следовала за последними разрядами, отведенными для значения функции. 315 1.7 0.5306478 1.8 0.5877802 1.9 0.6418666 2.0 0.6931428 -38684 -35145 †304 -28102 4.
Обиаруммиие единичных ошибок. Анализ таблиц конечных разностей позволяет в некоторых случаях обнаруживать грубые единичные ошибки в таблицах гладких функций и даже частично их устранять. Прежде чем продемонстрировать сказанное на примере, рассмотрим, квк распространяется в таблице конечных разностей ошибка а, допущенная только в одном значении уь Пользуясь формулой (11.47) или равенством е'))) = а <));)) — 6)." )) (где е'о) = е при 1' = ,)+) = ) и е) о) = 0 при 1 Ф )), получим следующую таблицу рвспрострвне- 1 ния единичной ошибки, т.
е. ошибки, допущенной в одной точке. Т а б л и ц а 11.4 х ь(0) ь) 1) ь) 2) е) 3) е) 4) О Ф26 О 6е ( 1)))-г~ф е в)+) О ( ])А-)С1, е ъг О ( ])Й е Пример 11.6. Пусть на отрезке [1.5, 2.8] задана таблица значений функции у = 1п т (первый и второй столбцы табл. 11.5). Составим для нее таблицу конечных разностей. Аномальное поведение разностей третьего и четвертого горядкв указывает на наличие в таблице значений функции ошибки. Сравнение с табл. 11.4 распространения единичной ошибки приводит к заключению о том, что погрешность допущена в значении у, отвечающем з = 2.2. Тогда погрешностям в, -4е,, 6е, -4е, е табл.
11.4 приближенно отвечают значения 316 Т а б л и ц а 11 5 д д2у дзу д4у 1.5 0.405465 1,6 0.470004 1.7 0.530628 1,8 0.587787 1.9 0.641854 2.0 0.693147 2.1 0.741937 2.2 0.788757 2.3 0.832909 2.4 0.875469 2.5 0.916291 2.6 0.955511 2.7 0.993252 2.8 1.029619 64539 -3915 57159 373 -3092 54067 318 -2774 51293 271 -2503 262 48790 533 -1231 -1970 46820 -698 1774 -2668 44152 1076 -1592 -146 42560 -1738 282 40822 136 -13 -1602 123 39220 — 18 -1479 105 37741 -1374 36367 3 а м е ч а н и е. Часто вместо конечных разностей вперед д "у, используют раэкостли каэад, определяемые рекуррентной фор- мулой 317 262 ° 10 е -1231 ° 10 е 1774' 10 е -1222 10 е, 282 10 а табл.
11.5. Это соответст вие имеет место при е и 298.10 е. Следовательно, табличное значение 0.788757 нужно заменить на 0.788459. 3 11.8. Разделенные разности 1- Таблица разделенных разностей. Пусть функция У задана на таблице хо, х1, ..., х„значений аргумента с произвольным (не обязательно постоянным) шагом, причем точки таблицы занумерованы в произвольном (не обязательно возрастающем) порядке. Величины у(,, ) У(хв1) — У(хс) хс+1 Хс принято называть раздеяеннмяси разностяяси первосо порядка функции У Разделенные разности второсо порядка определяются формулой У (хс+1 хс 2) У(хс хс+1) У (хсзр хвч хс+2)— хФ+2 — хс Аналогично определяются разделенные разности третьего и более высоких порядков. Общее определение раздеяенной разности порядка к 1 2 таково: у с ~ У(хс+11 " 1 хс+ь) — У(хсг ".1 хай-1) У(х6 хс+1~ " ~ хт+Ы Таб*иссу разделенных разностей обычно располагают следующим образом: Таблица 116 п1 У(о) У( о' хс) У( 1) У(~а; ~' ~2) У(~; хг) У( 2) У(211 хсс1 " ' хн) У(хп-г' -11 и) У(хп-1' хп) хп У(хп) 2.
Свойства разделенных разностей Разделенные разности обладают рядом замечательных свойств. Перечислим без доказательства некоторые из них. 318 Здесь 1с 1 1, 7оу; = у;. Заметим, что разности вперед и назад связаны равенством 1о. Разделенная разность ~(хб хи1, '..., 'х~ь) является симметричной функцией своих ареументов х;, х;,1, ..., х; ь (т. е.
ее значение не меняется при любой их перестановке). 2о. Пуста функция ~ имеет на отрезке 1а, 6], содержащем точки х,, х;,и ..., хвать производную порядка Й. Тоюда справедливо равенство (11.50) еде ~ — некоторая точка, расположенная на интервале (а, о). Зо. В случае, коеда таблица значений аргумента имеет постоянный ма~ Ь, разделенная и конечная разности связаны равенством (11.51) Пример 11.7. Приведем таблицу (табл. 11.7) разделенных разностей для функции, заданной табл. 11.1.
Вычисления произведены на 6-разрядной десятичной ЭВМ. Таблица 117 1.0 0.000000 0.953100 1.1 0.095310 0.870120 1.2 0.182322 0.800420 1:3 0.262364 0.741080 1.4 0.336472 -0.414900 0.221333 0.172667 -0.348500 -0. 121665 -0.296700 Перенумеруем теперь узлы, положив зв = 1.2, з1 = 1.3, х2 — 1.1, хз = 1.4, х~ — — 1.0. Тогда таблица разделенных разностей примет следующий вид: Таблица 118 0.800420 0.172650 0.197000 ~,~217ДО -0.313970 -0.373070 1;4 0.336472 1.0 0.000000 319 1.2 0.182322 1.3 0,262364 1.1 0.095310 0.835270 0.803873 0.841180 В табл.
11.8 подчеркнуты разделенные разности, которые совпадают (как и должно быть в силу свойства 1о) с точностью до вычислительной погрешности с соответствующими разделенными разностями из табл. 11.7 (они также подчеркнуты). з 11.9. Интерполяционный многочлеп Ньютона Схема Эйтнена 1. Интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностязж.
Используя разделенные разности, интерполяционный многочлен можно записать в следующем виде: Р.(х) =П")+И";х1Их- )+Х(,х2)( -*о)( — )+- ... + ~(хо~ хт, '." хи)(х-хо)(х х1)" (х хп-1) = ~~(хо~ х1~ " хь)сы~(х). (П.52), 1=о Здесь о~о(х) н 1, ыь(х) = (х — хо)(х — х1)...(х — хь.1). Записанный в таком виде интерполяционный многочлен называют интперполякионнил яно~очленом Ньютона с раздеяеннылш разностпями. 3 а м е ч а н и е 1. Отметим очевидную (с учетом равенства (11.50)) аналогию между формулой Ньютона (11.52) и формулой Тейлора (11.32). 3 а м е ч а н и е 2. Формулу (11.25) для погрешности интерполя— ции в точке х, не являкнцейся узловой, можно уточнить следующим образом: (11.53) Мы не приводим доказательства этой замечательной формулы. Отметим лишь, что если воспользоваться свойством 2о разделенных разностей, то из нее немедленно получается формула (11.25).
В практическом плане формула (11.52) обладает рядом преимуществ перед формулой Лагранжа. Пусть, например, по каким-либо причинам необходимо увеличить степень интерполяционного много- члена на единицу, добавив в таблицу еще один узел х„+ь При использовании формулы Лагранжа (11.22) это приводит не только к увеличению числа слагаемых, но и к необходимости вычислять каждое из них заново. В то же время для вычисления Р„+1(х) по формуле Ньютона 320 (11.52) достаточно добавить к Р„(х) лишь одно очередное слагаемое, так как Р„Дх) — Р„(х) = ~(хо, ..., хо; х„.~) м„+~(х).
(11.54) У(хо, ..., хп, ) = У(хо, ", хи, хи+~), из которого с учетом равенств (11.53) и (11.54) следует, что 1( ) — Р„( ) Р„,~( ) — Р„( ). Таким образом, величину е„= /Р„,~(х) — Р„(х) / (11.55) можно использовать для практической оценки погрешности интерпо- ляции. Пример 11.8. По табл. 11,1 значений функции у = 1п х из примера 11.3 найдем приближенное значение 1п х при х = 1.23, используя интерполяционные многочлены Ньютона с разделенными разностями Р~х) для й = О, 1, ..., 4. Оценим при 1 = О, 1, 2, 3 погрешность интерполяции по формуле (11.55).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
