Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 57
Текст из файла (страница 57)
2. Экстраполяция Пусть х,,п и х„а — минимальный и максимальный из узлов интерполяции. В случае, когда интерполяция используется для вычисления приближенного значения функции ~в точке х, не принадлежащей отрезку ~х,о„, х„„1 (отрезку наблюдения), принято говорить о том, что осуществляется экстралоляция. Этот метод приближения часто используют с целью прогнозирования характера протекания тех или иных процессов при значениях параметров х, выходящих зв пределы отрезка наблюдения. Заметим, что надежность такого прогноза при значениях х, удаленных нв значительное расстояние от отрезка [хоо„, х„ах~, как правило, невелика.
3. Задача интерполяции обобщенными многочленами. Рассмотрим более подробно задачу интерполяции обобщенными многочленвми Ф,„(х) вида (11.2). Назовем обобщенный многочлен Фл(х) интерлояяционнм и, если он удовлетворяет условию Фи(х) = у; (з=0,1,..., л), (11.6) или, что то же самое, системе линейных алгебраических уравнений Уе(хо)ао+ й(хо)а~ + - + йв(хо)ав = Уо, УВ(х1)ао + ср~(х1)а1 + ... + ~д„(х1)аи = У1, (1 1.7) М ) о + Жхл)а1 + - + Р (хл) = Уп, относительно коэффициентов ао, аь ..., а,„. Заметим, что систему уравнений (11.7) можно записать в следующем виде: Ра=у, (11.8) где яз( о) я(хо) " я ( о) Яэ( ъ) Я(1) - УЬ( ~) ао а1 Уо У! (11.9) ЮЬ(хл) я(хл) " ~М ) Введем векторы 1ау — (<рз(хо), уз(х1), ..., уз(х„))т, 7' = О, 1, ..., т.
Будем говорить, что систежа функций уо, ~р~, ..., у„линейно зависима а точках хо, х1, ..., х„, если один из векторов ~ру системы 1аз, ~р~, ..., чаи 296 (11.10) В противном случае систему функций 1оо> р» ..., >о,„будем называть линейно незавиеи.иой в тпочках хо, х1, ..., х„. Пример 11.1. Покажем, что при т ч н система функций 1, х, хт, ..., х»> линейно независима в точках л», х1, ..., х„, если онн попарно различны.
Допустим противное. Тогда справедливо равенство (11.10), которое в данном случае (при у~ = (х~~> х» > ...> х„)т) принимает вид "т х',= Е аьх~ (1=0,1,..., н). В=О М.1' (11.11) Полагая о. = -1, получаем, что многочлен Рн(х) = Е о~а~ степени1 тп обр,"; Я \ в=о щается в ноль в точках л», х», ..., х>ь число которых равно п + 1 и, следовательно, больше т. Однако в силу основной теоремы алгебры многочлен степени >н, тождественно не равный нулю, не может иметь более т корней. Полученное противоречие доказывает линейную независимость рассматриваемой системы функций. Рассмотрим матрицу Грамат системы функций 1оо> о»> ..., ~Ъ» имеющую вид (Фро Уо) (уь уо) " (9Ъ уо) (ж м1) (и ю») -" (ю ю1) (11.12) Г = Р'Р= (юв,я ) (я ю) - (ю ж) Здесь в случае, когда функции а> могут принимать комплексные зна- чения, под Р' понимается сопряженная к Р матрица, а элементы у>ь матрицы Грама вычисляются по формуле » В данной главе для упрощения формулировок будем говорить, что многочлен Р„имеет степень т даже в случае, когда а»> = О, т.
е. фактическая его степень меньше т т Иорген Педерсен Грам (1850 — 1916) — датский математик. может быть представлен в виде линейной комбинации остальных век- торов этой системы: (11ЛЗ) Если же функции гру принимают только вещественные значения, то Р' = Р' и элементы матрицы Грама вычисляются по формуле (11.14) Определитель матрицы Грама ЙеС Г принято называть определителем Грама. Как следует из курса линейной алгебры, справедлив следующий результат. Т е о р е и а 11.1. Систпема функций ро, грг, ..., щ являетпся линейно независимой в точках хо, хг, ..., х„тогда и только то~да, когда т < и и определитель Грама ЙеС Г отпличен от нуля. Известно, что при тп > п система функций уо, Сзг, ..., ~р„линейно зависима в точках хо, хг, ..., х„.
Отсюда вытекает неединственность решения а системы (11.8) (если оно существует). Действительно, в этом случае справедливо представление (11.10) и вместе с вектором а решением системы (11.8) является вектор а' = а + 6~а, где Ла = (гто, ап ..., ау г, -1, гт,+г, ..., гг,„)т, а С вЂ” любое число. Если же т < и, то решение системы (11.8) существует не для всякой правой части у. В силу указанных причин при интерполяции обобщенными много- членами число .параметров т + 1 обычно берут равным числу п + 1 заданных точек.
В этом случае Р— квадратная матрица и для того, чтобы система (11.8) была однозначно разрешима при любой правой части у, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Р был отличен от нуля. В свою очередь при т = и это условие в силу равенства г1еС Г = г1еС Р* г$еС Р = ~ г1еС Р~2 и теоремы 11.1 дает следующий результат, Теор ем а 112. Если тп = и, то решение задачи интерполяции обобщенны и многочленом (11.2) существует и единственно при любом наборе данных уо, уг, ..., у„тогда и только тогда, когда систпела функций ~ро, Сзг, ..., р„линейно независима в тпочках хог хг, ..., х„.
Назовем системУ фУнкций гоо, Сог, ..., У,„оРтогональной на мнолтесигве тпочек хо, хп ..., х„, если (Соь, Сод) = О при 1 ~г г и (Сог, Со ) ~ О при й = = г' для всех к = О, 1, ..., т; т = О, 1, ..., т. Очевидно, что для ортогональной на множестве хо, хь ..., х„системы функций матрица Грама диагональна, а определитель Грама отличен от нуля. Поэтому всякая ортогональная на множестве точек хо, хг„..., х„система функций заведомо является линейно независимой в этих точках. 298 Пример 11.2. Покажем, что система функций уо, ~р~, ..., уу.ь где ~р1(х) = = ехр (2тйх), ортогональна на множестве точек х1 = ~/щ 1 = 0, 1, ..., Н вЂ” 1. Здесь 1 — мнимая единица. Для доказательства ортогональности рассматриваемой системы функций достаточно установить, что справедливо равенство (11.16) где 6Ь~ —— 0 при Ф Ф,1' и Бы — — 1 при й = у. Введем обозначение ы = = ехр (2х1/Л$.
Тогда ~р1(х1) = ехр (2тй!/Л$ = ыЫ и согласно формуле (11.13) имеем (11.16) При 1 = г' правая часть равенства (11.16), очевидно, равна Ф. При 1 Ф у', используя формулу суммы членов геометрической прогрессии и равенство ы<'И~'т = ехр (2х(Й вЂ” Я) = 1, имеем Таким образом, равенство (11.15), а вместе с ним и ортогональность системы функций р1(х) = ехр (2тгЬ) доказаны. (11.17) Га = В, а = Р'у.
Заметим, что элементы вектора Ф = (Ьо, бг, ..., 6„)т вычисляются по формуле (11.18) Ь. = (у, у.) = Е у у (х ), у = О, 1, ..., гп. !=о Так как матрица Г диагональна, то решение системы (11.17) находит- ся в явном виде: (11,19) 299 В случае, когда система функций уо, у~, ..., у„ортогональна на множестве точек хо, х~, ..., х„, решение задачи интерполяции не представляет затруднений. Действительно, система уравнений (11.8) после умножения на матрицу Р' преобразуется к виду $11.3. Полиномиальная интерпояяция.
Многочлеп Лагранжа Р„(х;) = у; (1 = О, 1, ..., п). (11.20) Равенство (11.20) можно записать аналогично (11.7) в виде системы уравнений ао + жхс + а2хо + " + а хо = ус 2 и ас + аМ1 + а2х1 + " + а х1 = у1 г и ас + а|хп+ а2хп+ ... + апхп = уп (11.21) относительно коэффициентов многочлена. Эта система однозначно разрешима, так как система функций 1, х, х2, ..., х" линейно независима в точках хо, х1, ..., х„(см. пример 11.1 и теорему 11.2). Однозначная разрешимость системы (11.21) следует и из того хорошо известного факта, что определитель этой системы (определитель Вандермонда1) 1 хо хо -. 4 2 1 х1 х1 ...
хп1 П (х~ — х2) О~у< ~а 1 х.хй...4 отличен от нуля, если узлы интерполяции попарно различны. Таким образом, верна следующая теорема. Т е о р е и а 11.3. Существует единственный интерполяционный мно1оч*ен степени и, удовлетворяющий условиям (11.20). 3 в м е ч а н и е. На практике система (11.21) никогда не используется для вычисления коэффициентов интерполяционного многочле- 1 Александр Теофил Вандермонд (1735 — 1796) — французский математик. 300 1 Интерноляционный многочлен.
Начнем с рассмотрения задачи интерполяции в наиболее. простом и полно исследованном случае интерполирования алгебраическими многочленами. Для заданной таблицы (11.1) многочлен Р„(х) = Е а~х~ степени и называется интерполяй*о иионным мно1очленом, если он удовлетворяет условиям на~ Дело в том, что часто она является плохо обусловленной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
