Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Кроме тово, существуют различные удобные явные формы записи интерполяционного многочлена, которые и применяются при интерполяции. Наконец, в большинстве приложений интерполяционного многочлена явное вычисление коэффициентов а~ не нужно. 2. Миогочлеи Лагранжа. Приведем одну из форм записи интерполяционного многочлена — имоюочяе» Лагранжа Щх) = Е у11тц(х) ,1= о (11.22) Здесь ( ) и» х — % ( - ь)( 1)- ( '-1)( Ъ1)"-(») й:=1 — х~ (ху-~~)(х ' — х~)... (х1-х1-~ )(хр'-х 'ъ~)... (х1-х ) М~' Как нетрудно видеть, 1„(х) представляет собой многочлен степени», удовлетворяющий условию 3 а м е ч а н и е 1. Запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа (11,22) можно рассматривать как его запись в виде обобщенного многочлена (11.2) по системе функций у~(х) = 1,~(х), к=0,1,...,».
3 а м е ч а н и е 2. Как правило, интерполяционный многочлен Лагранжа используется так, что нет необходимости его преобразования к каноническому виду Х„(х) = Е а1,х~. Более того, часто к=о такое преобразование нежелательно. В инженерной практике наиболее часто используется интерполяция многочленами первой, второй и третьей степени (яиксйиая, квадратпичиая и кубическая интер»оляиии).
Приведем соответствующие формулы для записи многочленов Лагранжа первой и второй степени: 'Йаким образом, степень многочлена Ь„ равна » и при х = х; в сумме (11.22) обращаются в ноль все слагаемые, кроме слагаемого с номером 1 = 1, равного у,. Поэтому многочлен Лагранжа (11.22) действительно является интерполяционным.
(11.23) х- з1 х- х() й)(х) = уо — + у1— л)-х) т-зв' Пример 11.3. Пусть задана таблица значений функции у = 1п х: Таблица 11.1 1.2 1.3 1.4 х 10 0.000000 0.095310 0.182322 0.262364 0.336472 3 11.4. Погрешность интерно~дщии Приведем без доказательства наиболее известную теорему о погрешности интерполяции. Т во рви а 11.4. Лусть функция ~ дифференцируема и + 1 раз на отрезке ~а, б], содержащем узлы интерполяции хь г = О, 1, ..., и. То1да для потрешности ингперполяции в точке х Е [а, б] справедливо равенс- тво ~( и+1 ) (~) У(х) — Рп(х) = ( 1), „,)(х), (11.25) в котором ь)„,)(х) = (х — хо)(х — х))...(х — х„), а ~ — некоторая точка, принадлежащая ин1первалу (а, б).
Основное неудобство в использовании этой теоремы состоит в том, что входящая в формулу (11.25) для погрешности точка ~ неизвестна. Поэтому чаще используется не сама теорема, а ее следствие. 302 Для приближенного вычисления значения 1п (1.23) воспользуемся линейной и квадратичной интерполяцией. Возьмем зц = 1.2, з1 = 1.3. Вьгчисление по формуле (11.23) дает значение 3п (1.23) н Е)(1.23) н 0.206335. Для применения квадратичной интерполяции возьмем хо — — 1.1, х) — — 1.2, х2 = 1.3 — три ближайших к точке х = 1.23 узла. Вычисляя по формуле (11.24), имеем Ь (1.23) и Хг(1 23) и 0.207066, Заметим, что пока нам не известна погрешность полученных приближенных значений. е д с т в и е. В условиях 'теоремьь 11.4 справедлива оценка ности интерполяции в точке х б [а, 6], имеющая вид позре *) - Р.(х)1 ~ („+'„, 1 .,ч(х)1, (11.26) а тай~хе оценка иаксимупа модуля позрешностпи интерполяции на отрезйе [а, 6], имеюизая вид те) )~(в)-Р„~х)) < "'~, тах)~~~(х)). (11.27) Здесь М„,з = шах 1~) и+))(х)1.
[а, Ь] Пример 11.4. Оценим погрешность приближений к 1п (1.23), полученных в примере 11.3 с помощью интерполяции многочленами первой и второй степени. В этих случаях неравенство (11.26) примет вид 1дх) Х~(х)1 ~ 1(х хо)(х х))1 1х()-М)1 ~ — 1(.— )(.— Н - )1 Мз 6 (11.28) (11.29) 1 2 Заметим, что для ~(х) = 1п (з) имеем ~ г) (х) = — — и )ч з) (х) = —.
Поэто- 1 му здесь Мг = тпах 1Уг)(х)1 = г и 069 и Мз = п)ах 1Уз)(х)1 [1. 2,1.3] [1. 1, 1.3] 2 = — и 1.5. Тогда в силу неравенств (11.28) и (11.29) получаем следующие 1 1з оценки погрешности: ц=11п(1.23) — Ь|(1.23)1 < — '1(1.23 — 1.2)(1.23 — 1.3)1 )з 7.3 10 4, О. 69 ег=[1п(1.23) — Хг(1.23)1 ( — '1(1.23 — 1.1)(1.23 — 1.2)(1.23 — 1.3)1 з) 6.9 10 з.
Если на отрезке [а, 6] производная ~"')) меняется слабо, то величина абсолютной погрешности 1~(х) — Р„(х)1 почти полностью определяется значением функции а)„,)(х). Представление о типичном характере поведения этой функции можно получить из рис. 11.2. Обратим внимание на то, чт~ при выходе аргумента х за пределы отрезка наблюдения [хм„, х~„~ значение ~ ы„+~(х) ~ быстро становится у=и,~х~ очень большим, Это объясняет ненадежность экстраполяции функции для значений аргумента, удаленных от отрезка наблюдения. Пусть теперь хс < х~ < ... < х„и Рис 11.2 пусть Ь, = х, — х, ~ — 1-й шаг таблицы, а Ь,„~ = шах Ьь Несколько 1ь и<а огрубляя оценку (11.27), можно получить следующее неравенство: шах ! У(х) Ра(*) 3 < Ьпах ° [хо,х) (11.30) З 11.5.
Интерполяция с кратными узлами 1. Интерполяционный миогочлен с кратными узлами. Иногда в узлах х; (1 = О, 1, ..., т) бывают заданы не только значения у; = ~'(х;) функции 1, но и значения ее производных у,. = ~ (х,), у,. = 1 (х;), ..., у',. ' ~> = Р ' ~ ~ (х;) до некоторого порядка Ц вЂ” 1. В этом случае узел х; называют крашнм и, а число Й„равное количеству заданных значений, — кратностпью узла. Пусты = Ье + Й~ + ...
+ Ь,„— 1. Можно доказать, что существует единственный многочлен Р„(х) степени и, удовлетворя- ющий условиям 304 Оно позволяет утверждать, что для достаточно гладкой функции ~ при фиксированной степени интерполяционного многочлена погрешность интерполяции на отрезке [хс, х~ при Ь „~ 0 стремится к нулю не медленнее, чем некоторая величина, пропорциональная Ь~,~,. Этот факт принято формулировать так: интерполяция многочленом степени п имеет (а + 1) — й порядок точности относительно Ь„„.
В частности, линейная и квадратичная интерполяции имеют второй и третий порядки точности соответственно. для вс~х 1 = О, 1, ..., т. Этот многочлен называют интерполяционным мноьоч,'~еном с «ратными узлами. Можно указать и явную формулу его записи, аналогичную форме Лагранжа (11.22). Мы этого делать не будем отметим лишь два важных частных случая. 1е. усть на концах отрезка [хо, х1[ заданы значения уо, у1, у', у,'.
Тогда 111 = 1, ко = 2, 11 — 2, и = 3 и интерполяционный многочлен Рз(х), удовлетворяющий условиям Рз(хо) = уе, Р;(хо) = у",„Рз(х1) = у1, Р'(х1) = у,', может быть представлен (что проверяется непосредствен- но) в следующем виде: (х1 - х)2(2(х- а,) + Ь), (х1 — х)2(х- ЛЬ) з(х) = уо у +уо з + (11.31) Р„'и'(хо) = у1 "1 представляется в виде Р(х) Е у 1с= о (11.32) Как нетрудно видеть, многочлен Рп(х) представляет собой отрезок ряда Тейлора. Таким образом, формула Тейлора дает решение задачи интерполяции2 с одним узлом кратности и + 1. 2.
Погрешность интерполяции с кратными узлами. Т е о р е м а 11.5. Пусть функция 1' дифференцируема и + 1 раз на отрезке [а, б], содержаи1ем узлы интерполяции х, (1 = О, 1, ..., т). Тоьда для поьрешности интерполяции с кратными узла ии в тпочке х Е [а, б1 спраоедлиоы равенство (11.25) и неравенства (11.26), (11.27), в которых ы„+1(х) = (х — хо) (х — х1) ... (х — хп), а ~ — некоторая 4) точка, принадлемаи1ая интервалу (а, б).
Для формулы Тейлора (тп = О, йо — — и + 1) теорема 11.5 дает известную формулу остаточного члена в форме Лагранжа. Для кубического 1 Шарль Эрмит (1822 — 1901) — французский математик. 2 Заметим, что в действительности с ее помощью осуществляется экстра— поляция. ( — хо)2(2(х1 — х) + Л), (х- )2(х- 1) + У1 ьЗ + У1 Ь2 где Ь = х1 — хо. Многочлен (11.31) принято называть куоическим интерполяционным мноьочленом Эрмита1. 2о.
Пусть в точке хо заданы значения уо, у', ..., у'"1. Тогда много- член Рп(х), удовлетворяющий условиям Р„(хо) = уо, Р„'(хо) = у,'„..., многочлена Эрмита (тп = 1, Йо — 2, Ь~ — 2) неравенство (11,27) 'приво- дит к следующей оценке погрешности: гпах ]Дх) — Рз(х) ~ 1 — У. 384 [хе х~] (11.33)' Здесь учтено то, что максимум функции си~(х) = (х — хо)~(х — х~)т на отрезке [хо, х~] достигается в точке х = (хо + х~)/2 и равен Л~/16.
$11.6. Минимизация оцеики погреишости интерполяции. Многочлены Чебышева Ь(Р ) = "', гпах ~ы„~(х)[. [а, Ь] (11.34) Поставим теперь задачу: определить набор узлов интерполяции хо, хд, ..., х„, при котором величина Ь(Р„) минимальна. Для решения этой задачи нам потребуются некоторые сведения о многочленах Чебыше- ват. ~ Например, вычисление значений ~ (х) — трудоемкая операция. / т Пафнутий Львович Чебышев (1821 — 1894) — русский математик, один из создателей современных теории чисел, теории вероятностей, теории приближений функций.
306 1. Постановка зццачи минимизации оценки погрешности. Предположим, что значение заданной на отрезке [а, Ь] функции 1 можно вычислить в произвольной точке х. Однако по некоторым причинам~ целесообразнее заменить прямое вычисление функции ~ вычислением значений ее интерполяционного многочлена Р„. Для такой замены необходимо один раз получить таблицу значений функции ~ в выбранных на отрезке [а, Ь] точках хш х~, ..., х„. При этом естественно стремиться к такому выбору узлов интерполяции, который позволит сделать ми-. нимальной величинУ Ь(Р„) = шах ~ 1" (х) — Ра(х) ] — погРешность [а, Ь] интерполяции на отрезке [а, Ь].
Пусть о функции 1 известно лишь то, что она непрерывно дифференцируема и + 1 раз на отрезке [а, Ь]. Тогда неравенство (11.27) дает верхнюю границу погрешности интерполяции: 3 а ьг е ч а н и е. Формула (11.34) остается справедливой и в слу- чае, когда некоторые из узлов хо, хг, ..., хп совпадают, т. е. имеет место интерполяция с кратными узлами.
2. Миогочлеиы Чебышева. Введенные П.Л. Чебышевым многочлены Тп(х) широко используются в вычислительной математике. При п = 0 и и = 1 они определяются явными формулами То(х) = 1, Тг(х) = х, (11.35) а при и 1 2 рекуррентной формулой Tп(х) = 2хТп-г(х) — Тп-з(х). (11.36) Запишем явные формулы для многочленов Чебышева Тп(х) при и = 2, 3, 4, 5: Тз(х) = 2хТ1(х) — То(х) = 2хз — 1 Тз(х) = 2хТз(х) — Тг(х) = 4хз — Зх, Тл(х) = 2 Тз(х) — Тз(~) = 8хг — 8хз + 1, Тз(х) = 2хТл(х) — Tз(х) = 16хз — 20хз + 5х.
Аналогично можно записать явные формулы и при и > 6. Приведем некоторые свойства многочленов Чебышева, 1о. При четком и многочлен Тп(х) содержит только четные сгпепени х и является четкой функцией, а при нечетном и мкогочлек Т„(х) содержит только нечетные степени х и является нечетной функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
