Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Таким образом, Ьп = ~ 1„— 1„'~ = Ы Ьо. Уже при н = 9 имеем 9! = 36880 и поэтому Ьд = 9! Ьо и 0.73. Если вычисления производятся без ограничений на число и, то рассматриваемый алгоритм следует признать вычислительно неустойчивым. Ошибки растут пропорционально Ы настолько быстро, что уже при довольно скромных значениях и попытки добиться приемлемого результата даже за счет увеличения разрядности мантиссы заранее обречены на неудачу. Как изменить алгоритм, чтобы сделать его устойчивым? Перепишем формулу (3.17) в виде 1п + п (3.18) и будем вести вычисления значений 1„в обратном порядке, начиная, напри- 1 мер, с и = 54.
Положим 4~ = 1*~ = 0. Так как 4~ ~ е~х~Чх = е~55, то Ьд~ ( ~ е/55 ~ 5 10 2. Однако при вычислении 4з эта ошибка уменьшится в 54 раза, при вычислении 152 — еще в 53 раза и т.д. В результате значения 1„при и = 50, ..., 1 будут вычислены с шестью верными значащими цифрами. Здесь погрешности не растут, а затухают. Ясно, что модифицированный алгоритм вычислительно устойчив. Пример 3.27. Предположим, что величины уп для и = 1, 2, ... вычисляются по рекуррентной формуле уп = опуп-1 + Аь (3.19) а величина ро задана. Пусть у* — заданное приближенное значение величины о уо. Тогда (если вычисления ведутся абсолютно точно) определяемые по формуле (3.19) приближенные значения содержат ошибки, связанные равенством рп — у„= п(уп-~ — у„* ).
Следовательно, Ь(у„) = ~ ап~ Ь(у„1) и при выпол- ненни условия ~ап~ ~ 1 алгоритм устойчив по входным данным, поскольку Ь(У„*) ~~ Л(У,*,) длЯ всех и. Если же ~ ап~ ~ д > 1, то Ь(У„') ~ дпЬ(У*) и абсолютная погрешность неограниченно возрастает при и м. В этом случае алгоритм неустойчив по входным данным, а потому и вычислительно неустойчив. 66 Вычислительная неустойчивость алгоритма часто может быть выявлена благодаря анализу устойчивости по входным данным, так как неустойчивость к малым ошибкам округления входных данных автоматически свидетельствует о вычислительной неустойчивости алгоритма. Справедливости ради следует заметить, что алгоритм (3.19) был признан нами неустойчивым в случае ! а„! Э д > 1 при выполнении двух условий, на которых не было достаточно акцентировано внима— ние. Первое из них состоит в предположении о неограниченной продолжительности вычислительного процесса (п ~ со), что невозможно на практике. В действительности такой характер неустойчивости говорит о тенденции к неограниченному росту погрешности при неограниченном продолжении вычислений.
Правда, если ошибки растут очень быстро, то вычисления могут довольно скоро завершиться аварийным остановом по переполнению. Второе условие касается выбранной меры погрешности. Совсем не обязательно, чтобы рост абсолютной погреш— ности всегда был неприемлем в конкретных вычислениях. Если он сопровождается сильным ростом точного решения и при этом относительная погрешность остается малой, то алгоритм можно признать относительно устойчивым. По-видимому, при анализе вычислительной устойчивости более естественным является рассмотрение относительных погрешностей. Пример З.Ж Пусть в формуле (3.19) все,д„= О и а„Ф О. Тогда 6(у~) = = ~Ь„*Иуа! = ! ! ~Ь„*,)/! ау -~! = Жу„*,). Стел, ~(у„') = = 6(у*) и при любых значениях а„1 О алгоритм относительно устойчив по входным данным.
з 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления Выполнение вычислений на ЭВМ сопровождается появлением вычислительной погрешности, связанной в первую очередь с необходимостью округления результата каждой арифметической операции. Даже если разрядность ЭВМ велика, существует реальная опасность, что выполнение большого числа операций приведет к накоплению погрешности, способной значительно или даже полностью исказить вычисляемый результат.
Однако и при небольшом числе действий результат вычислений может оказаться совершенно неправильным, если алгоритм слишком чувствителен к ошибкам округления. Начинающий вычислитель часто склонен игнорировать ошибки округления.
На первых порах при решении простых задач, в особенности если новичок не задумывается о точности найденных решений, его позицию нетрудно понять. Однако решение серьезных задач (ког— да число арифметических операций превышает миллиарды, в вычис- 67 ления вкладываются значительные средства, а результат следует получить с гарантированной точностью и за принятые на основании расчетов решения приходится нести ответственность) предполагает совсем иное отношение к вычислительной погрешности.
1. Порядок выполнения операций. Решение математической задачи на ЭВМ сводится в конечном итоге к выполнению последовательности простейших арифметических и логических операций. Однако часто одно и то же математическое выражение допускает различные способы вычисления, отличающиеся только порядком выполнения операций. Если вычисления производить точно, то они (при любом способе вычисления) будут приводить к одному результату.
Однако результаты вычислений на ЭВМ уже зависят от порядка выполнения операций и различие в вычислительной погрешности может быть весьма значительным. Рассмотрим простой, но полезный пример вычисления на ЭВМ М суммы 5у = Х а;. Пусть а; — положительные представимые на вычис— 1=1 лительной машине числа. В каком порядке следует их суммировать для того, чтобы сделать вычислительную погрешность по возможности минимальной2 й Пусть 5ь = Е а, — частичная сумма, а 5„* — ее приближенное зна— а=1 чение, вычисляемое по формуле 5~ — 5~ Ю аь.
Погрешность значения 5„* складывается из погрешности значения 5„*, и погрешности выполнения операции 5~,, 9 а~. Следовательно, Ь(5~) = Ь(5~,) + (5~ 1+ + а~)е„в Ь(Я,) + 5~ем. Поэтому Ь(Я) в 5дем + 5д 1е„+ ... + + 52ям = ((У вЂ” 1)а1 + (У 1)а2 + (У вЂ” 2)аз + ... + 2ауч + ау)с,, Так как множитель, с которым входит а, в формулу для оценки погрешности, убывает с ростом ~, в общем случае ошибка окажется наименьшей, если суммировать числа в порядке возрастания их значений, начиная с наименьшего.
Иногда неудачно выбранный порядок операций либо приводит к полной потере точности, либо вообще не дает возможности получить результат из-за переполнения. Пример 3.29. Пусть на ЭВМ типа 1ВМ РС требуется вычислить произведение о = ао х а1 х а2 ... х а~о х а5о, где а, ~ 1025 '. Если производить вычисления в естественном порядке, то уже ао х а1 в 1044 дает аварийный останов по переполнению. Вычисление произведения в обратном ЯЯ порядке сразу же приводит к исчезновению порядка, так как а59 х а19 м 10 49 < Хо. В результате а~о Э а~9 = 0 и после выполнения всех умножений будет получено нулевое значение а В данном случае вполне приемлем СЛЕДУЮЩИЙ ПОРЯДОК ОПЕРаЦИй: В = аО к а59 к а1 х а49 х ... х а24 к а29 х а9~, исключающий возможность переполнения или антипереполнения.
Пример 3.301. Известно, что функция ес может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда: оэ /д ~п е"= Š— =1+г+ — + — +...+ — + й=о 1' 2! 3! '" и! (3.20) Возможность вычисления значения экспоненты прямым суммированием ряда (3.20) кажется привлекательной. Пусть для вычислений используется 6 — раз— рядная десятичная ЗВМ. Возьмем х = — 8.1 и будем вычислять значения частичных сумм до тех пор, пока добавление очередного слагаемого еще меня— ет значение суммы: е-в 1 ~ 1.00000 Е 8.10000 Е 32.8050 Е 88.5737 Е 179.362 Е 290.566 Е 8 ... 6 16.4111 О 7.81941 6 ...
= 0.000649915. В сумму вошло 36 слагаемых и значение очередного (37-го) слагаемого оказалось уже не в состоянии изменить результат. Можно ли считать результат удовлетворительным? Сравнение с истинным значением е 9. 1 в 0.000303539 показывает, что найденное значение не содержит ни одной верной цифры. В чем причина катастрофической потери точности? Дело в том, что вычисленные слагаемые ряда неизбежно содержат погрешности, причем для некоторых (для слагаемых с 5-го по '13-е) величина погрешности превосходит значение самого искомого результата.
Налицо явный дефект алгоритма, к обсуждению которого мы еще вернемся в конце этого параграфа. В данном случае переход к вычислениям с удвоенной длиной мантиссы позволит получить значение е 9- ' с шестью верными значащими цифрами. 1 Идея примера заимствована из [86~. 69 2.
Катастрофическая потеря точности. Иногда короткая последовательность вычислений приводит от исходных данных, известных с высокой точностью, к результату, содержащему ' недопустимо мало верных цифр или вообще не имеющему ни одной верной цифры. В этом случае, как было отмечено в 3 3.2, принято говорить о катастрофической потере точности. В примере 3.29 мы сталкивались с ситуацией, когда неудачный порядок вычисления произведения привел к неверному нулевому значению результата. Рассмотрим другие примеры. Однако всего лишь удвоенное значение аргумента х = — 16.2 снова возвращает нас к той же проблеме.
Поступим иначе. Используя разложение (3.20), вычислим ез*1 ~ 1.00000 Ю 8.1000 ® 32.8050 9 ... = 3294.47 и тогда е з 1 = 1/ез.1 м ~ 0.000303539. Предложенное изменение алгоритма позволило получить искомое значение на той же 6-разрядной десятичной ЭВМ, но уже с шестью верными значащими цифрами.
Заметим тем не менее, что реальные машинные алгоритмы вычисления ех устроены совсем иначе. Приведем теперь пример, когда к катастрофической потере точности приводит еще более короткая последовательность вычислений. Пример 3.31. Пусть при х = 1/490 на 6-разрядной десятичной ЭВМ вычисляется значение функции (3,21) у = созх — соз2х. Заметим, что при х з 0 величины с1 = созх й 1 — — и ст = соз2х й 1 — 2х2 2 близки. Так как вычисленные их приближенные значения с,* и с* будут содержать ошибку, то возможна серьезная потеря точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
