Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3. Обусловленность задачи вычисления значения функции одной переменной. Пусть задача состоит в вычислении по заданному х значения у = 1" (х) дифференцируемой функции 7'. В силу формул (2.21), (2.22) для этой задачи имеем (3.7) (3.8) Воспользуемся этими формулами для оценки обусловленности задачи вычисления значений некоторых простейших функций. Пример 3.10. Для задачи вычисления значения функции у = ет в силу формулы (3.8) относитечьное число обусловленности иВ приближенно равно !.т! и при реальных вычислениях эта величина не может быть очень большой.
Например, при вычислении экспоненты на компьютере типа 1ВМ РС всегда ! «! < 88, так как в противном случае возможно переполнение или антипереполнение. Следовательно, задача вычисления этой функции хорошо обусловлена, однако в случае 10 < ! т! < 102 следует ожидать потери 1 — 2 верных значащих цифр по сравнени.о с числом верных цифр аргумента х. Подчеркнем, что эта потеря точности объективно обусловлена погрешностью задания аргумента и не связана с используемым алгоритмом.
Пример 3.11. Для задачи вычисления значения функции у — а1пх в силу формулы (3. 7) имеем и = ~соах~ ~~ 1, что гово- рит о хорошей абсолютной обус— ловленности этой задачи при всех х, Однако если важен результат с определенным числом верных знаков, то нужно исследовать относительную обусловленность. Согласно формуле (3.8) имеем иб = !х сЬ8 х~. На рис. 3.3 приве- ден график этой функции при х )~ ~ )0 (она четная), '1'ак как ~Ь -' ~а при х -' хХ Рис. ХЯ (для 7с = х 1, + 2, ...), то при х и ~й задача обладает плохой относительной обусловленностью, и можно лишь утешаться тем, что мала абсолютная погрешность значения у = а1пх*.
Если же значение ~х~ очень велико, то и > Ь 4. Обусловленность задачи вычисления интеграла 1 = /1 (х)с1х. Как а следует из оценки (3.3), в этом случае абсолютное число обусловленности имеет вид и = (5 — а). Если же перейти к рассмотрению относительных погрешностей и положить б(1*) = впр ~~*(х) — 1 (х) ~/~~ (х) ~ (а, 6] для тех, х, где 1(х) Ф О, то используя неравенство Ь Ь Ь(1*) < /!1'*(х) — 1'(х) !с1х ~ ~(~,1 (х) ~с(х б(~*), а а 53 Ъ 1 и вычислять значение синуса просто бессмысленно, Например, если вычисления ведутся на компьютере типа 1ВМ РС, где см - 10 т, то уже для ~ х~ - 107 одна только абсолютная ошибка представления числа х есть величина порядка единицы, так как Ь(х*) в ~х~ ° я,.
Нетрудно понять, что при Ь(х*) — 1 вычисленное любьгм способом значение ашх* не представляет никакой ценности. Вывод, который можно сделать, довольно прост: при использовании функции у = ашх желательно проводить вычисления так, чтобы аргумент находился в диапазоне ~ х~ < 2, поскольку здесь иЬ ~ 1. получим оценку 6(1*) ~ ~иф~*), Если подынтегральная функция знакопостоянна, то и~ — 1 и задача хорошо обусловлена. Если же функция ~ на [а, 6] принимает значения разных знаков, то и~ ) 1, Для некоторых сильно колеблющихся (ос- циллирующих) около нуля функций может оказаться, что и~ Ъ 1 и тогда задача вычисления интеграла является плохо обусловленной. Иногда причиной появления плохо обусловленных задач становится отсутствие у пользователя ЭВМ элементарного представления об их существовании. В связи с этим заметим, что в последнее время получает развитие опасная тенденция пренебрежительного отношения к математическим знаниям вообще и к знанию вычислительной математики, в частности.
Вера в могущество ЭВМ и надежность стандартных программ бывает так велика, что считается совсем ненужным знать о вычисляемой математической величине что-либо кроме ее определения и, возможно, геометрического или физического смысла. Приведем простой пример, иллюстрирующий оценку (3.9) и заодно показывающий, что иногда аналитическая выкладка бывает эффективнее, чем применение самого современного компьютера. Пример 3.12.
Пусть в распоряжении пользователя имеется высокопроизводительная ЭВМ и стандартная программа для вычисления интегралов вида 6 1 = ( 1" (х) йх. Предположим, что нужно вычислить коэффициенты Фурье 1 г д„= ~ д (х) в1пхнх с1х для функции д (х) = х + Аесо' х при п Ъ 1 и А Ъ 1. -1 Использование для вычисления д„указанной стандартной программы при 1 (х) = д (х) в1пггнх автоматически означает, что ставится вычислительная задача, рассмотренная выше. При этом величина относительной погрешности 5 (Х*) вычисляемой на ЭВМ функции ~* м ~ заведомо не может быть меньше1 ем. г Оценим величину и~. Заметим, что функция Аесо' * з1пхпх нечетная и, Если учитывать погрешность вычисления функции з1пхпх, то следует ожидать, что эта величина будет значительно больше ем. 54 следовательно, интеграл от нее равен нулю. Поэтому возможно аналитическое вычисление интеграла: 1 ~1 1 1 2 д„= ~ х япхпх Йх = — — соахпх~ + — /соахпх с1х = — (-1)"'1.
-1 хп хп л'и г Кроме того, ~ д (х) ~ > ~ Аесо' х~ — ~ х) > А — 1 и поэтому 1 1 1 1 ! Х (х) ! 11х = Г! д (х)! ° ~ яптих~ с4х > (А — 1) Г! ямгпх! с1х = А — 1. -1 -1 -1 Таким образом, и~ Э (А — 1)хп/2 ~ 1.5 Ап. Если д„вычисляется, например, при А = 10~ и и = 10г, то и~ > 1.5 ° 10е. Следовательно, для этик значений 5. Обусловленность задачи вычисления суммы ряда. Рассмотрим задачу вычисления суммы абсолютно сходящегося ряда с ненулевыми слагаемыми. В силу оценки (3.4) эта задача устойчива, а за относительное число обусловленности следует принять величину ОЭ СО и = Х (ау,~/) 1 а1,!. а=о 1=о (3.10) Заметим, что для ряда с положительными слагаемыми имеем и = 1, т.е.
задача хорошо обусловлена. Если же ряд незцакопостоянный, то и~ > 1 и при 1 > 1 задача оказывается плохо обусловленной. ~ 3.3. Вычислительные методы Обсудив некоторые важные особенности вычислительных задач, обратим внимание на те методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ, и позволяют конструировать вычислительные алгоритмы. Мы будем называть эти методы вычислительныли. С некоторой степенью условности можно разбить вычислительные методы на следующие классы: 1) методы эквивалентных преобразований; 2) мето- 55 параметров принятое решение о вычислении интеграла по простейшей стандартной программе может обойтись в потерю примерно б значащих цифр результата.
Если вычисления ведутся на ЭВМ, имеющей лишь порядка 7 десятичных значащих цифр, то возможна катастрофическая потеря точности. Заметим, что в этих рассуждениях никак не учтены погрешность реализованного в программе метода и вычислительная погрешность, наличие которых усугубляет ситуацию. ды аппроксимации; 3) прямые (точные) методы; 4) итерационные методы; 5) методы статистических испытаний (методы Монте — Карло).
Метод, осуществляющий вычисление решения конкретной задачи, может иметь довольно сложную структуру, но его элементарными шагами, являются, как правило, реализации указанных методов. Дадим о них общее представление. 1. Методы эквивалентных преобразований. Эти методы позволяют заменить исходную задачу другой, имеющей то же решение. Выполнение эквивалентных преобразований оказывается полезным, если новая задача проще исходной или обладает лучшими свойствами, или для нее существует известный метод решения, а, может быть, и готовая программа.
П имер 3.13, Эквивалентное преобразование квадратного уравнения хз + Р 61 2 Ь2 — 4с + Ьх+с = 0 к виду х+ — ~ = (выделение полного квадрата) сводит 2~ ' 4 задачу к проблеме вычисления квадратного корня и приводит к известным для ее корней формулам (3.2). Эквивалентные преобразования иногда позволяют свести решение исходной вычислительной задачи к решению вычислительной задачи совершенно иного типа. Пример 3.14. Задача отыскания корня нелинейного уравнения г(х) = 0 может быть сведена к эквивалентной задаче поиска точки глобального минимума функции Ф (х) = (~(х))~.
В самом деле, функция Ф (х) неотрицательна и достигает минимального значения, равного нулю, при тех и только тех х, для которых ~(х) = О. 2. Методы аппроксимации. Эти методы позволяют приблизить (аппроксимировать) исходную задачу другой, решение которой в определенном смысле близко к решению исходной задачи. Погрешность, возникающая при такой замене, называется пмретккостью аппроксимации. Как правило, аппроксимирующая задача содержит некоторые параметры, позволяющие регулировать величину погрешности аппроксимации или воздействовать на другие свойства задачи. Принято говорить, что метод аппроксимации сходится, если погрешность аппроксимации стремится к нулю при стремлении параметров метода к некоторому предельному значению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
