Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В тех случаях, когда входные данные или решение не являются числами, эти характеристики погрешностей также можно ввести естественным образом; мы будем это делать по мере необходимости. 2. Определение корректности задачи. Анализ важнейших требований, предъявляемых к различным прикладным задачам, приводит к понятию корректности математической задачи, которое было впервые сформулировано Ж.Адамаром' и развито затем И.Г.Петров- ~ Жак Адамар (18бб — 19бЗ) — французский математик. 43 ским1. Вычислительная задача называется корректной (по Адамару— Петровскому), если выполнены следующие три требования: 1) ее решение АУ существует при любых входных данных хЕХ; 2) это решение единственно; 3) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных. В том случае, когда хотя бы одно из этих требований не выполнено, задача называется некорректной.
Существование решения вычислительной задачи — естественное требование к ней. Отсутствие решения может свидетельствовать, например, о непригодности принятой математической модели либо о неправильной постановке задачи. Иногда отсутствие решения является следствием неправильного выбора множества допустимых входных данных Х или множества возможных решений У. Пример 3 1 Рассмотрим задачу о решении квадратного уравнения И+ Ьх+ с=0.
(3.1) (3.2) будет гарантировано только в том случае, если ограничить множество входных данных коэффициентами, удовлетворяющими условию Ь2 — 4с ~ ~0. Если же расширить множество возможных решений и считать, что корни (3.2) могут принимать комплексные значения, то задача будет иметь решение при любых Ь, с.
Так как математическая модель не является абсолютно точным отражением реальной ситуации, то даже в случае, когда исходная проблема заведомо имеет решение, соответствующая вычислительная задача может и не оказаться разрешимой. Конечно, такая ситуация говорит о серьезном дефекте в постановке задачи. В некоторых случаях отсутствие решения математической задачи приводит к пониманию 1 Иван Георгиевич Петровский (!901 — 1973) — российский математик.
Старший коэффициент а считается равным единице; этого всегда можно добиться делением уравнения на а. Если считать входным данным пару коэф- фициентов Ь, с и искать решение в множестве вещественных чисел, то сущест- вование решений того, 4то первоначально сформулированная проблема неразрешима и нуждается в серьезной корректировке.
3. Единственность. Для некоторых вычислительных задач единственность является естественным свойством; для других же,решение может и не быть единственным. Например, квадратное уравнение (3.1) имеет два корня (3.2). Как правило, если задача имеет реальное содержание, то неединственность может быть ликвидирована введением дополнительных ограничений на решение (т.е. сужением множества У).
В некоторых случаях проблема снимается тем, что признается целесообразным найти набор всех решений, отвечающих входным данным ъ, и тогда за решение у принимается этот набор. Например, для уравнения (3.1) решением можно назвать пару (х1, ъ~). Неединственность решения вычислительной задачи — весьма неприятное свойство. Оно может быть проявлением неправильной постановки исходной прикладной проблемы, неоднозначности ее решения или сигналом о неудачном выборе математической модели. 4.
Устойчивость решения. Решение у вычислительной задачи назы— вается устойчивым ~о входнм и даннъгл т, если оно зависит от входных данных непрерывным образом. Это означает, что для любого к > 0 существует 6 = 6(я) > О такое, что всякому исходному данному х*, удовлетворяющему условию Л(ъ *) < 6, отвечает приближенное решение у*, для которого Ь(у*) < е. Таким образом, для устойчивой вычислительной задачи ее решение теоретически можно найти со сколь угодно высокой точностью е, если обеспечена достаточно высокая точность 6 входных данных.
Схематически ситуация изображена на рис. 3.1. Множества тех х* и у*, для которых Ь(х*) < 6 и Ь(у*) < е, изображены как окрестности точек т и у, имеющие радиусы 6 и я. Требование увеличить точность решения приводит автоматически к повышению требований к точности данных; соответствующие окрестности на рис. 3.1 отмечены пунктиром.
Рис. 3.1 45 Неустойчивость решения у означает, что существует такое ао > О, что какое бы малое 6 > 0 ни было задано, найдутся такие исходные данные х*, что Л(х*) < 6, но Ь(у*) ~ 1ео. Приведем простейшие примеры устойчивых и неустойчивыч' задач. Пример 3.2. Задача вычисления корней квадратного уравнения (3.1) устойчива, так как корни (3.2) являются непрерывными функциями коэффициентов Ьи с. Пример 3.3. Задача о вычислении ранга матрицы в общем случае неустой— Г1 031 чина. В самом деле, для матрицы А = ~ ~ ранг равен 1, поскольку де$А = 0 [О 0~ и существует ненулевой элемент аи = 1. Однако сколь угодно малое возмуще— Г1 01 ние коэффициента а~~ на величину к Ф 0 приводит к матрице А к [О я!' для которой с1е$А = я 1 0 и, следовательно, ранг равен 2.
б Пример 3.4. Покажем, что задача вычисления определенного интеграла Х = ь = Ц(х)1х устойчива. а Пусть /*(х) — приближенно заданная интегрируемая функция и 1* 6 = 0'(х)с1х. Определим абсолютную погрешность функции /* с помощью равен— а ства Л(/~) = вор~~(х) — /*(х) ~, в котором знак зцр можно заменить на тпах, хЕ [а,] если /и /* непрерывны. Так как ь Ь(1*) = /Š— 1*] = /](/(х) — /*(х))дх~ < (Ь вЂ” а)Л(Ц'), (З.З) а то для любого е > О неравенство Ь(1*) < ~ будет выполнено, если потребовать выполнение условия ЬД*) < б = к/(6 — а). Пример 3.5. Покажем, что задача вычисления производной и (х) = / (х) приближенно заданной функции является неустойчивой. Пусть /*(х) — приближенно заданная на отрезке [а, 6] непрерывно дифференцируемая функция и и (х) = Д~) (х).
Определим абсолютные погрешности с помощью равенств Л(/ ) = шах )/ (х) — 1'*(х) ], Ь(п*) [а, 6] = тпах ) а (х) — и (х)]. [а, 61 Возьмем, например /*(х) = Х (х) + а з1п(х/ат), где 0 < о 4; 1, Тогда а~(х) = и (х) + о 1сов(х/а~) и Ь(а ) = а 1, в то время как,Ь(/ ) = а. Таким образом, сколь угодно малой погрешности задания функции /может отвечать сколь угодно большая погрешность производной /'. 46 Раз 1чие в ситуациях, возникающих при приближенном задании функц ~в задачах интегрирования и дифференцирования, отражено на рис 3.2. Видно, что уменьшение величины б = Ь(~") влечет за собой уменьшение Ь(1*) (эта величина не превышает заштрихованной площадИ), в то время как производные ~ и (~') могут отличаться сколь угодно сильно. Рис.
Ю.2 Одна и та же задача может оказаться как устойчивой, так и неустойчивой в зависимости от выбора способа 'вычисления абсолютных погрешностей Ь(т*) и Ь(у'). В реальных задачах этот выбор определяется тем, в каком смысле должно быть близко приближенное решение к точному и малость какой из мер погрешности входных данных можно гарантировать. Пример 3.6. Рассмотрим задачу о вычислении суммы сходящегося ряда 5' = Х аь с приближенно заданными слагаемыми а~ я а~. Если а~ определяет— й=о ся таким образом, что гарантируется малость Ь(а~) для всех Й, то для после- СО довательности а' = (а*)ь=о естественно положить Л(а*) = зпр~ а~ — а'~.
В й РО такой постановке задача неустойчива. Чтобы убедиться в этом, достаточно положить а = аь + б (где б > 0) для й < Л и а~ь = а~с для й з Х 'Тогда для /с суммы ряда 5*.= Е а*, имеем Ь(5*) = ЛЖ Следовательно, как бы ни была а=о мала величина Ь(а*) = б, абсолютную погрешность суммы ряда Я* с помощью выбора М можно сделать сколь угодно большой. Если же положить 47 а~ = аь + Б для всех й, то сумма ряда Я* вообще станет бесконечной, тль ряд станет расходящимся. В то же время, если можно задавать а~~ так, чтобы оказалась ма~ ой вели- ОР О чина Ь(а') = Е ~ а~с — а*), то сь(Я*) = ~ Е (а~с — а*)! ( еХ(а*) ~с в такой ь=о ~=о постановке задача устоичива 5.
Относительная устойчивость решения. Часто требованНе малости абсолютной погрешности является неоправданным или трудно проверяемым. В таких случаях полезно рассмотреть относительную устойчивость решения, определение которой отличается от данного выше определения устойчивости (абсолютной устойчивости) только тем, что Ь(т*) и Л(у*) заменяются на Б(х') и Б(у*) соответственно. СО Пример 3.7. Вернемся к задаче вычисления суммы ряда 5 = Е а~с из а=о примера 3.6.
Предположим, что а~с Ф 0 для всех сс Часто можно гарантировать малость величины Б(а*) = впр(/ а~с — а~ь!/~ а~с!). Тогда Л(а~) ~ ! а~с~ ° Б(а*) и сс О СО поэтому сХ(Я*) ~4 Е / аь! Б(а*). Таким образом, а=о Б(Я') < ~ Е ).„~/) Е .,~ Б("). ~/с= о /с= в (3.4) Следовательно, задача вычисления суммы сходящегося ряда 5 относитель- ОР но устойчива, если он сходится абсолютно (т.е. сходится ряд Е ~ аь).Если же сс= о ряд сходится только условно, т.е. Е ~ а~~ = сс, то задача не является относиа=о тельно устойчивой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
