Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Такое название вызвано тем, что принятие математической модели и задание исходных данных вносит в решение ошибку, которая не может быть устранена далее. Единственный способ уменьшить эту погрешность — перейти к более точной математической модели и задать более точные исходные данные. Погрешность б„у, источником которой является метод решения задачи, называется погрешностпью .иетода, а погрешность бд, возникающая из-за округлений при вводе, выводе и вычислениях, — вычислительной по1решностью. Таким образом, полная погрешность результа— та решения задачи на ЭВМ бу = у — у' складывается из трех составляющих: неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности, т.е.
бу = б„у + б„у+ б,у. Будем далее исходить из предположения, что математическая модель фиксирована и входные данные задаются извне, так что повлиять на значение величины б„у в процессе решения задачи действительно нельзя. Однако это совсем не означает, что предварительные оценки величины неустранимой погрешности не нужны. Достоверная информация о порядке величины б„у позволяет осознанно выбрать метод решения задачи и разумно задать его точность.
Желательно, чтобы величина погрешности метода была в 2 — 10 раз меньше неустранимой погрешности. Большее значение 6 у ощутимо снижает точность результата, меньшее — обычно требует увеличения затрат, практически уже не влияя на значение полной погрешности. Иногда характер использования результата таков, что вполне допустимо, чтобы величина б„у была сравнима с б„у или даже несколько превышала ее.
Величина вычислительной погрешности (при фиксированных модели, входных данных и методе решения) в основном определяется характеристиками используемой ЭВМ. Желательно, чтобы величина б у была хотя бы на порядок меньше величины погрешности метода и совсем не желательна ситуация, когда она существенно ее превышает. Умение анализировать погрешности при решении прикладной задачи и соблюдать между ними разумный компромисс позволяет существенно экономить используемые ресурсы и является признаком высокой квалификации. у 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрептности В предыдущем параграфе было отмечено, что числа, получаемые при решении на ЭВМ прикладных задач, как правило, являются 24 приближенными. Следовательно, вопрос о томности результатов, т.е. о мере их уклонения от истинных значений, в теории и практике методов вычислений приобретает особое значение.
Начнем его рассмотрение с введения основных понятий злементарной теории погрешностей. Условимся относительно обозначений, которые в дальнейшем будут использоваться при сравнении величин. Кроме привычных знаков !! !! !! !! и !! !! !! « , , будем использовать знаки приближенного равенства " гг " и приближенного неравенства " < ". В случае, когда Ь(а ') = ~ а — а *~. (2.1) Однако по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения.
Действитель— но, если Л(а*) = 0.1, то следует ли считать погрешность большой или нужно признать ее малой? Ответ существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин. Если а гг 0.3, то скорее всего точность приближения невелика; если же а ю 3 ° 10а, то следует признать точность очень высокой. Таким образом, естественно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности (при а ~ О) (а — а ) Ь(а) ""' =-тт — = — тт (2.2) Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.
Заметим, что для приведенного выше примера 6(а') !!г 0.33 = 33% в первом случае и б(а ') и 0.33 10 9 = 0.33 10 7% во втором. Так как значение а неизвестно, то непосредственное вычисление величин Ь(а*) и б(а*) по формулам (2.1), (2.2) невозможно. Более 25 положительные величины а и 6 являются величинами одного порядка (т.е.
10 ' < а/6 < 10), будем использовать обозначение а - 6. Если же а много меньше 6, то будем писать а < 6, что эквивалентно соотношению а/6 < 1. 1. Абсолютная и относительная погрешности. Пусть а — точное (вообще говоря, неизвестное) значение некоторой величины, а* известное приближенное значение той же величины (приолиженное число).
Ошибкой (или погрешностью) приближенного числа а* называют разность а — а* между точным и приближенным значениями. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютнам погрешиость реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности вида ! а — а') ( Ь(а*), (2.З) — 1-р — к г(а*), (2,4) где Ь(а*) и б(а*) — известные величины, которые мы будем называть оерхни ии границалги (или просто границами) абсолютной и относи— тельной погрешностей.
(2.5) Точно так же если величина о(а *) известна, то следует положить Ь(а*) = ~а~ о(а"). (2.6) Поскольку значение а неизвестно, при практическом применении формулы (2.5), (2.6) заменяют приближенными равенствами о(а') н — —;~-, Ь(а') н ~ а*~Э(а*). (2.7) 3 а м е ч а н и е. В литературе по методам вычислений широко используется термин "точность". Принято говорить о точности входных данных и решения, о повышении и снижении точности вычислений и т.д. Мы также будем использовать эту терминологию, за которой скрывается довольно простой смысл.
Точность в качественных рассуждениях обычно выступает как противоположность погрешности, хотя для количественного их измерения используются одни и те же характеристики (например, абсолютная и относительная погрешности). Точное значение величины — это значение, не содержащее погрешности. Повышение точности воспринимается как уменьшение погрешности, а снижение точности — ' как увеличение погрешности. Часто используемая фраза "требуется найти решение с заданной точностью ео означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины е. Вообще говоря, следовало бы говорить об абсолютной точности и относительной точности, но часто этого не делают, считая, что из контекста ясно, как измеряется величина погрешности.
Если величина Ь(а*) известна, то неравенство (2.4) будет выполнено, если положить 2. Правила записи приближенных чисел. Пусть приближенное число а* задано в виде конечной десятичной дроби: а" = о„о„-1 ... из ЯН " р . Значащими цифрали числа а" называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Пример 2.1.
У чисел а* = 0.0103 и а* = 0.0103000 значащие цифры подчеркнуты. Первое число имеет 3, а второе — 6 значащих цифр. Значащую цифру числа а ' называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Пример 2.2. Если Ь(а') = 2 ° 10 в, то число а* = 0.0103000 имеет 4 верные значащие цифры (они подчеркнуты).
Следует отметить, что широко распространенной ошибкой при записи приближенных чисел является отбрасывание последних значащих нулей (даже если они представляют собой верные цифры). 3 а м е ч а н и е. Верная цифра приближенного числа, вообще говоря, не обязана совпадать с соответствующей цифрой в записи точного числа. Таким образом, термин "верная цифра" не следует понимать буквально (см. пример 2.3). Пример 2.3. Пусть а = 1.00000, а* = 0.99999. Тогда Ь(а*) = 0.00001 и у числа а все подчеркнутые цифры — верные, хотя они и не совпадают с соотвествующими цифрами числа а. Количество верных значащих цифр числа тесно связано с величиной его относительной погрешности.
Приведенные ниже утверждения позволяют в дальнейшем связывать точность числа с количеством его верных значащих цифр и трактовать потерю точности как потерю верных цифр. П р е д л о ж е н и е 2.1. 1о. Если число а содержит У верных значащих цифр, то справедливо неравенство б(а') < (10~1 — 1) 1 н 10 ~'. 2о. Для то~о чтобы число а* содержало У верных значащих цифр, достаточно, чтобы было выполнено неравенство б(а*) ~ <(10~У+1) ' ~ 10'".
Зо. Если число а ' имеет ровно У верных значащих цифр, то 10 д~' < б(а*) < 10 ~+' и тамил образол б(а") - 10 'ч. Пример 2.4. Что можно сказать об относительной погрешности числа а*, если оно содержит 3 верные цифры? В силу утверждения 1о имеем 6(а *) < 10 т = 1%. Пример 2.5. С какой относительной точностью следует найти число а*, чтобы верными оказались 6 значащих цифр? Из утверждения 2о следует, что достаточно найти а* с относительной точностью е н 10 е. Заметим, что границы абсолютной и относительной погрешностей принято записывать с одной или двумя значащими цифрами. Ббльшая точность в записи этих величин, как правило, не имеет смысла, так как обычно они являются довольно грубыми оценками истинных значений погрешностей, и кроме того, для практического использования часто бывает достаточно знать только их порядок.
Пример 2.6. Информация о погрешности вида б(а*) и 0.288754. 10 ь практически равноценна информации б(а ) н 3 10 е, причем последняя вызывает больше доверия. Скорее всего, вполне удовлетворительной в данном случае является и запись б(а') - 10 е. Неравенство (2.3) эквивалентно двойному неравенству а' — Ь(а*) ч а ч а*+ Л(а') и поэтому тот факт, что число а* является приближенным значением числа а с верхней границей абсолютной погрешности Ь(а*) (с абсо- лютной точностью е = Ь(а*)), принято записывать в виде а= а ~Ь(а ). Как правило, числа а* и Ь(а') указывают с одинаковым числом цифр после десятичной точки.
Пример 2Л. Пусть для числа а известны приближенное значение а = 1.648 и граница абсолютной погрешности Ь(а*) = 0.002832. Тогда можно записать а = 1.648 ~ 0.003. Записи вида а = 1.648 ~ 0.002832 или а = = 1.648 ~ 0.1 являются неестественными. 28 Из неравенства (2.4) следует, что значение а заключено примерно между а*(1 — о(а')) и а'(1 + о(а*)). Поэтому тот факт, что число а' является приближенным значением числа а с границей относительной' погрешности о(а ) (с относительной точностью е = о(а*)), принято записывать в виде а = а'(1 =~ б(а*)).
Пример 2.8. Оценим точность часто'используемого в простейших расчетах приближения т = 3.14 к числу г. Известно, что ~г = 3.14159..., поэтому л'— — х' = 0.00159... Следовательно, можно принять Л(~г') = 0.0016 и о(х ) н и 0,0016/3.14 н 0.00051 = 0.05196. Итак, зг = 3.14 ( 1 ~ 0.051%). 3 а м е ч а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
