Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Процесс решения прямой задачи можно рассматривать как математическое моделирование причинно-следственной связи, присущей явлению. Тогда входное данное х характеризует "причины" явления, которые задаются и варьируются в процессе исследования, а искомое решение у — "следствие". Для того чтобы математическое описание было применимо не к единичному явлению, а к широкому кругу близких по природе явлений, в действительности строят не единичную математическую модель, а некоторое параметрическое семейство моделей.
Будем считать, что выбор конкретной модели из этого семейства осуществляется фиксацией значений параметров модели а. Например, в роли таких параметров могут выступать некоторые из коэффициентов, входящих в уравнения. С помощью выбора параметров может производиться указание типа функциональной зависимости между некоторыми из величин.
Наконец, если используемые математические модели разбиты на классы, то параметрам может служить и класс используемой мод пи. Пример 1.2. Для модели (1.1), (1.2) прямую задачу естественно формулировать как задачу вычисления величин и (1), и> (1), х (Т), у (Т) по задаваемым входным данным ц1, а. Параметром модели здесь является величина ускорения свободного падения д.
Ее значение зависит от того, производится ли бросание тела с поверхности Земли на уровне Мирового океана, в глубокой шахте или же на большой высоте. Заметим, что та же модель пригодна для описания движения тела, брошенного на любой другой планете, если значение параметра у для этой планеты известно.. Большую роль играет решение так называемых обратных задач, состоящих в определении входного данного х по данному значению у (параметры модели а, как и в прямой задаче, фиксированы).
Решение обратной задачи — это в определенном смысле попытка выяснить, какие "причины" х привели к известному "следствию" у. Как правило, обратные задачи оказываются сложнее для решения, чем прямые. Пример 1.3. Для модели (1.1), (1.2) обратную задачу можно сформулировать так: по заданным в (1), и (т), х (т), у (т) требуется найти значения и~, в. Заметим, что для однозначного определения а~, а достаточно задать в любой фиксированный момент 1о 1~ О одну из пар величин ( и (то), и (го)) или (х (го), у Ио)) Помимо двух рассмотренных типов задач следует упомянуть еще один тип — задачи идентификации. В широком смысле задача идентификации модели — это задача выбора среди множества всевозможных моделей той, которая наилучшим образом описывает изучаемое явление.
В такой постановке эта задача выглядит как практически неразрешимая проблема. Чаще задачу идентификации понимают в узком смысле, как задачу выбора из заданного параметрического семейства моделей конкретной математической модели (с помощью выбора ее параметров а), с тем чтобы оптимальным в смысле некоторого крите- 11 рия образом согласовать следствия из модели с результатами наблюде- ний. Пример 1А. Применительно к модели (1.1), (1.2) задача идентификации может состоять в определении величины ускорения. свободного падения планеты д по результатам наблюдений за параметрами траектории. Указанные три типа задач (прямые, обратные и задачи идентификации) будем называть аычислитпельны ни .задача аи.
Для удобства изложения в дальнейшем независимо от типа решаемой задачи будем называть набор подлежащих определению величин исколыл решение и и обозначать через у, а набор величин — входным данным и обозначать через х. Пример 1.5. При описании многих явлений используют модель полиномиальной зависнмости между величинами х и у: у = Р„(т) = ао + а~х+ ... + а„х" . (1.3) ао на ао — — ао — у.
Если же из практики известна некоторая информация о зависимости у от х, то определение параметров ао, аь ..., а„, при которых модель (1.3) наилучшим в некотором смысле образом описывает эту зависимость, представляет собой задачу идентификации. Например, если задана таблица значений хь уь то такую задачу в зависимости от ситуации можно решать, используя известные методы итерполяции и наименьших квадратов (см.
гл. 11). Пример 1.6. Нередко входящие в модель функции х (т) и у (т) бывают связаны равенством у (1) = х (г) йт + С о Например, так связаны между собой скорость х (М) и путь у (т) при прямоли— нейном движении. Тогда при фиксированном значении постоянной С прямая 12 Здесь ас, а~, ..., а„— коэффициенты многочлена, являющиеся параметра— ми модели (в число параметров модели можно включить и степень многочлена). При фиксированных значениях параметров прямая задача состоит в вычислении значения многочлена у = Р„(х) по заданному х. В таком случае целью решения обратной задачи является определение по заданному значению у соответствующего ему значения х. Нетрудно видеть, что это есть задача отыскания корней многочлена, отличающегося от Р„(х) заменой коэффициента задача (задача интегрирования) состоит в вычислении первообразной у (т) по заданной функции х (т).
Обратная задача (задача дифференцирования) заключается в вычислении х (т) = у (т)' по заданной функции у (т). Как правило, решение вычислительной задачи не удается выразить через входные данные в виде конечной формулы. Однако это совсем не означает, что решение такой задачи не может быть найдено. Существуют специальные методы, которые называют численныли (или вичислительными).
Они позволяют свести получение численного значения решения к последовательности арифметических операций над численными значениями входных данных. Эти методы были известны давно: в качестве примера, уже ставшего классическим, можно привести открытие Леверье'в 1846 г. новой планеты Нептун.
Однако для решения задач численные методы применялись довольно редко, так как их использование предполагает выполнение гигантского объема вычислений2. Поэтому в большинстве случаев до появления ЭВМ приходилось избегать использования сложных математических моделей и исследовать явления в простейших ситуациях, когда возможно найти аналитическое решение. Несовершенство вычислительного аппарата становилось фактором, .сдерживающим широкое использование математических моделей в науке и технике.
Появление ЭВМ кардинально изменило ситуацию. Класс математических моделей, допускающих подробное исследование, резко расширился. Решение многих, еще недавно недоступных, вычислительных задач стало обыденной реальностью. 3. Проверка качества модели на практике и модификация модели. На этом этапе выясняют пригодность математической модели для описания исследуемого явления.
Теоретические выводы и конкретные результаты, вытекающие из гипотетической математической модели, сопоставляют с экспериментальными данными. Если они противоречат друг другу, то выбранная модель непригодна и'ее следует пересмотреть, вернувшись к первому этапу. Если же результаты совпадают с допустимой для описания данного явления точностью, то модель 1 Урбен Жан Жозеф Леверье (1811 — 1877) — французский астроном. На основании законов небесной механики, используя данные об аномалиях в движении планеты Уран, Леверье рассчитал траекторию движения гипотетиче— ской неизвестной планеты, В том же году немецкий астроном Галле обнаружил Нептун в указанном Леверье месте.
Расчет траектории планеты Нептун потребовал от Леверье нескольких месяцев кропотливой вычислительной работы. 13 можно признать пригодной. Конечно, необходимо дополнительное исследование с целью установления степени достоверности модели и границ ее применимости, На определенном этапе развития науки и техники постепенное накопление знаний приводит к моменту, когда результаты, получаемые с помощью математической модели, вступают в противоречие с данными практики или перестают удовлетворять ее требованиям в смысле точности.
Тогда возникает необходимость модификации модели или же создания принципиально новой, более сложной модели. Таким образом, цикл создания математической модели повторяется многократно. Пример 1.7. Рассмотрим задачу внешней баллистики, т.е. задачу о движении артиллерийского снаряда. Простейшая модель (1.1), (1.2) дает параболическую траекторию движения снаряда, что, как было замечено еще в ХЧП в., противоречит данным практики. Существенным неучтенным фактором здесь является сопротивление воздуха. Приведенная ниже модификация модели Галилея принадлежит И.Ньютону~.
Известно, что величина Г силы 'лобового сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости, т,е, Е = — рсЗ. При этом р = 0.5С5р, где р— плотность воздуха, Я вЂ” площадь поперечного ссс сг сечения, С вЂ” коэффициент лобового сопротивления 6 (для многих задач баллистики С ~ 0.15). ц Обозначим через Гт и г'у горизонтальную и верти— кальную проекции вектора лобового сопротивления. Заметим, что Г~/Г = и(и, Г„~Г = ы/е, и = =~.2 ~+ 2 [р .. 1.2>. С,~ ~* К, с1и с1х АМ с1 с (1.4) с1и~ с1д тп — = -д —,0 ш и2+ и~, — = и, с11 с1с (1.5) 1 Исаак Ньютон (1643 — 1727) — английский физик, механик, астроном и математик, заложивший основы современного естествознания.
14 Пусть лг — масса снаряда. Тогда в силу второго закона Ньютона справедливы уравнения которые необходимо дополнить начальными условиями и (0) = нэ сов а, и (0) = иэ сйп а, .г (0) = О, у (0) = О. (1.6) Полученная модель является более сложной, чем рассмотренная ранее модель (1.1), (1 2), однако она содержит ее как частный случай. Действительно, в случае,9 0 (сопротивление воздуха отсутствует) уравнения (1.4)— (1.6) и (1.1), (1.2) эквивалентны.
Естественно, что модель (1.4) — (1.6) непригодна для решения задач современной баллистики и реально используемые модели значительно сложнее. Заметим, что работа по созданию математической модели, как правило, проводится объединенными усилиями специалистов, хорошо знающих предметную область, и математиков, владеющих соответствующими разделами прикладной математики и способных оценить возможность решения возникающих вычислительных задач. ~ 1 2.
Основные этапы решения ишкенерной задачи с применением ЭВМ Решение серьезной" инженерной задачи с использованием ЭВМ— довольно длительный и сложный процесс. С определенной степенью условности его можно разбить на ряд последовательных этапов. Выделим следующие этапы: 1) постановка проблемы; 2) выбор или построение математической модели; 3) постановка вычислительной задачи; 4) предварительный (предмашинный) анализ свойств вычислительной задачи; 5) выбор или построение численного метода; 6) алгоритмизация и программирование; 7) отладка программы; 8) счет по программе; 9) обработка и интерпретация результатов; 10) использование результатов и коррекция математической модели. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
